Verze z 4. 12. 2016, 00:22

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. 
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. 
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. 
 
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. 
 
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}
Řešte počáteční úlohu:
\begin{eqnarray*}
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\
y(0) & = & 2 \\
\dot{y}(0) & = &1 \\
\end{eqnarray*}
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. 
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci 
$$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$:
$$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$
$$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t)$$
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. 
Nyní již můžeme dosadit 
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = 
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. 
Úloha tedy přešla na tvar: 
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. 
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. 
 
 
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce 
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. 
V našem případě tedy řešíme rovnici 
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru 
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$
 
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F  =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$
 
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:
 
\subparagraph{Výpočet (2)}
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. 
 
\subparagraph{Výpočet (3)}
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right)\right)$$
 
\subparagraph{Výpočet (1)}
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde  $f,g \in \D'_{reg}$ a  $\nf f \subset  \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. 
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. 
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). 
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. 
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na  $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. 
 
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...
 
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:
 
$$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z)  = 
\displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$
 
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.
Tento výsledek by neměl být překvapivý. 
 
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $  a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že 
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq  \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak 
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. 
 
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau  
=  \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$
 
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. 
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right) +
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$
 
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. 
\begin{theorem}
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení diferenciální rovnice tvaru 
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}U' +a_n u  = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$
kde $a_k = const.$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. 
 
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:
\begin{enumerate}
\item 
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: 
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. 
 
\item Pro řešení klasické úlohy platí 
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \foral k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.
 
\begin{proof}
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.
 
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \espilon \ast F$, kde  $\espilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak 
$$\tilde{u} = \espilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast  \delta^{(r)}  = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast  \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)}  =\Theta(t)Z^{(r)}$. 7
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že  $(\espilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. 
 
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. 
 
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je
 $$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: 
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.
 
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný
    \begin{remark}
    Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. 
    \end{remark}
Díky této poznámce můžeme psát:
\begin{eqnarray*}
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau =  \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
 & \vdots & \\
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+  \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau
\end{eqnarray*}
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy plyne z aplikace operátoru  $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$té derivaci) 
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau  \right)  =  \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. 
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud snadno vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$ 
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Parciální diferenciální rovnice}
\begin{remark}
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuelně okrajové podmínky. 
\end{remark}
 
Uvedmě pro ilustraci této poznámky následující příklady:
\begin{enumerate}
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. 
\end{enumerate}
 
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru
\begin{equation*}
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)
\end{equation*}
Je-li $\tilde{b}(x,t)$, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }
 
\begin{equation}
\label{metoda_charakteristik}
a(x,t) + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x)
\end{equation}
 
\begin{remark}
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. 
\begin{enumerate}
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. 
tyto křivky zveme {\it charakteristiky}
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno
$$v(t) = u(X(t),t),$$
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení 
systému ODR. 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s)) = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. 
\end{remark}
 
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}
\begin{enumerate}
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici  $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. 
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. 
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. 
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:
$$ u(x,t) = \left. {x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}
\end{enumerate}
 
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:
 
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$
Postupujme dle naznačeného postupu:
\begin{enumerate}
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.
\item
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$
\item
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t}   \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$
Tuto rovnici řešíme pohledem:
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$
Po dosazení do předpisu máme 
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow  A = \frac{3}{2}x_0 $$
 
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$
Tedy řešení je tvaru:
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$
\item 
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$
\end{enumerate}
 
\paragraph{Obecnost metody}
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. 
\begin{enumerate}
 
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně  není vždy možné. 
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x)$$
Pak v  3 stačí řešit rovnici 
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0)$$
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x)$$
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0$$
Pak řešíme rovnici 
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0)$$
\end{enumerate}
 
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u$$
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$,  $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$ kde $G\subset \R^n$.
 
\begin{define}
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A^{T}(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. 
 
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0,-1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci.  
\end{define}
 
\begin{remark}
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová. 
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová.  
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.
\end{remark}
Nyní uveďme  několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:
\begin{itemize}
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor
\end{itemize}
 
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}
Uvažujme rovnici tvaru
\begin{equation}
\label{pdr}
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 
\end{equation}
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. 
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\eta}{x} $$
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\eta}{y} $$
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. 
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transfomraci souřadnic přejde do tvaru
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pt{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + \left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} 
 + \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pt{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + \left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right}_{II} +$$
  $$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + 
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)$$
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni 
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. 
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme 
$$\A = \left( 
\begin{array}{cc}
a & \frac{b}{2} \\
\frac{b}{2} & c
\end{array} 
\right).$$
Pak rovnice \ref{pdr} je 
\begin{enumerate}
\item {\it Parabolická}
 
dle definice právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. 
 
\item{\it Eliptická}
 
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. 
Pro vlastní čísla matice 2x2 platí vztah 
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}$$
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. 
Pro  $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice  $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $
 má dva komplexně sdružené kořeny. 
 
\item{\it Hyperbolická}
 
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, 
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.
 
\end{enuemrate}
 
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$
\paragraph{Parabolická rovnice}
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice  $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. 
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = 
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$