Verze z 27. 11. 2016, 21:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. 
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. 
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. 
 
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. 
 
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}
Řešte počáteční úlohu:
\begin{eqnarray*}
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\
y(0) & = & 2 \\
\dot{y}(0) & = &1 \\
\end{eqnarray*}
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. 
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci 
$$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$:
$$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$
$$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t)$$
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. 
Nyní již můžeme dosadit 
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = 
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. 
Úloha tedy přešla na tvar: 
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. 
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. 
 
 
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce 
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. 
V našem případě tedy řešíme rovnici 
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru 
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$
 
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F  =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$
 
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:
 
\subparagraph{Výpočet (2)}
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. 
 
\subparagraph{Výpočet (3)}
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right)\right)$$
 
\subparagraph{Výpočet (1)}
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde  $f,g \in \D'_{reg}$ a  $\nf f \subset  \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. 
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. 
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). 
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. 
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na  $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. 
 
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...
 
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:
 
$$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z)  = 
\displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$
 
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.
Tento výsledek by neměl být překvapivý. 
 
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $  a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že 
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq  \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak 
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. 
 
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau  
=  \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$
 
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. 
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right) +
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$
 
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. 
\begin{theorem}
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení diferenciální rovnice tvaru 
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}U' +a_n u  = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$
kde $a_k = const.$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. 
 
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:
\begin{enumerate}
\item 
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: 
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. 
 
\item Pro řešení klasické úlohy platí 
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \foral k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.
 
\begin{proof}
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.
 
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \espilon \ast F$, kde  $\espilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak 
$$\tilde{u} = \espilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast  \delta^{(r)}  = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast  \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)}  =\Theta(t)Z^{(r)}$. 7
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že  $(\espilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. 
 
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. 
 
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je
 $$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: 
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.
 
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný
    \begin{remark}
    Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. 
    \end{remark}
Díky této poznámce můžeme psát:
\begin{eqnarray*}
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau =  \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
 & \vdots & \\
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{n-2}(t-t)}_{Z^{n-2}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{n-1}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{n-1}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{n-1}(t-t)}_{Z^{n-1}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{n}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+  \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{n}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau
\end{eqnarray*}
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy plyne z aplikace operátoru  $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$té derivaci) 
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau  \right)  =  \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. 
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jendoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do poč. podmínek
Proto použijeme člen (II) a aplikujmeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud snadno vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$ 
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. 
\end{theorem}