Verze z 27. 11. 2016, 19:29

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. 
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast \f$ řeší rovnici $L u = f $. 
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. 
 
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. 
 
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}
Řešte počáteční úlohu:
\begin{eqnarray*}
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\
y(0) & = & 2 \\
\dot{y}(0) & = &1 \\
\end{eqnarray*}
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. 
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci 
$$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$:
$$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$
$$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t)$$
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. 
Nyní již můžeme dosadit 
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) +  \delta(t) +  2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = 
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. 
Úloha tedy přešla na tvar: 
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. 
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. 
 
 
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce 
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. 
V našem případě tedy řešíme rovnici 
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru 
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$
 
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F  =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$
 
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:
 
\subparagraph{Výpočet (2)}
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. 
 
\subparagraph{Výpočet (3)}
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right)\right)$$
 
\subparagraph{Výpočet (1)}
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde  $f,g \in \D'_{reg}$ a  $\nf f \subset  \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. 
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. 
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). 
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. 
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na  $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. 
 
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...
 
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:
 
$$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z)  = 
\displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$
 
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.
Tento výsledek by neměl být překvapivý. 
 
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $  a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že 
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq  \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak 
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. 
 
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau = 
=  \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$
 
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. 
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right) +
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$