01RMF:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 58: | Řádka 58: | ||
\subparagraph{Výpočet (1)} | \subparagraph{Výpočet (1)} | ||
+ | Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. | ||
+ | Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit: | ||
+ | $$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$ | ||
+ | O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. | ||
+ | (Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). | ||
+ | $$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$ | ||
+ | Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. | ||
+ | Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ rovněž, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. | ||
+ | |||
+ | Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám... | ||
+ | |||
+ | Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působeí regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci: | ||
+ | |||
+ | $$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z) = | ||
+ | \displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$ |
Verze z 27. 11. 2016, 19:11
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR} V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li $$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$ pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast \f$ řeší rovnici $L u = f $. Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. \section{Lineární ODR s konstantními koeficienty} Řešte počáteční úlohu: \begin{eqnarray*} \ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\ y(0) & = & 2 \\ \dot{y}(0) & = &1 \\ \end{eqnarray*} Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$. Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci $$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$ Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$: $$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$ $$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$ Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. Nyní již můžeme dosadit $$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = \underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$ Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. Úloha tedy přešla na tvar: $$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$ Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. \paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$} Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce $Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. V našem případě tedy řešíme rovnici $$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$ Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru $$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$ \paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy} Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť. $$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} + \underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$ Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích: \subparagraph{Výpočet (2)} $$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$ Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. \subparagraph{Výpočet (3)} $$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right)\right)$$ \subparagraph{Výpočet (1)} Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit: $$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$ O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. (Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). $$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$ Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ rovněž, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám... Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působeí regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci: $$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z) = \displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$