Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální transformace}
Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě.
V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem.
Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí.
\section{Motivace}
Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru.
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$.
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce.
\begin{define}
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že
pro $f\in L^1$ definujeme
$$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$
\end{define}
\begin{remark}
V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí.
\footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.}
\begin{enumerate}
\item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$}
\begin{proof}
Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice:
$$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq
\displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$
Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$.
\end{proof}
\item {Je-li $f\in L^1$, pak odtud neplyne, že $\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R^n)$}
\begin{proof}
$$\left| \displaystyle \int_{\R^n} \Ft{f(x)}{\xi} \dd \xi \right| = \left | \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x e^{\i x\cdot \xi}f(x) \right| \leq
\displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}_{=1} \underbrace{\left \vert f(x)\right\vert}_{<+\infty} = +\infty.$$
\end{proof}
Toto je možné samozřejmě ilusstrovat konkrétním příkladem, ale nebudeme to dělat. Je to v podstatě zbytečné. Je důležité, že jsme objevili první nepříjemnou vlastnost námi definovaného zobrazení $\F$.
Totiž nevíme, kam zobrazeuje, resp. co je jeho oborem hodnot. Tento problém bude muset náš nový prostor nějak elegantně vyřešit.
\item {\it Je-li $f\in L^1$ s komapktním nosičem, pak odtud neplyne, že $\nf \Ft{f(x)}{\xi}$ je kompakt.}
Tuto vlastnost ukážeme na konkrétním příkladě. Za funkci $f(x)$ volme charakteristickou funkci intervalu $[0,1]$, tzn. $\chi_{[0,1]}(x)$. Pak
$$\Ft{\chi_{[0,1]}}{\xi} = \displaystyle \int_0^1 e^{\i x\cdot \xi} \dd x = \displaystyle \int_0^1 \cos{x\xi} \dd x + \i \displaystyle \int_0^1 \sin{x\xi} \dd x = $$
$$ = \left[ \frac{1}{\xi} \sin{x\xi}\right]_0^1 -\i \left[ \frac{1}{\xi} \cos{x\xi}\right]_0^1 = \frac{1}{\xi} \sin \xi - \frac{\i}{\xi} (\cos \xi -1)$$
Tato funkce zcela určitě nemá omezený nosič.
\end{enumerate}
Vidíme tedy, že máme sice nějakou transfomaci, ale nemůžeme ji použít na prostoru $\D'$, což bychom chtěli. Můžete namítat, že by možná bylo snazší najít jinou transformaci,
ale vězte, že tato nám dává mocný nástroj pro výpočet fundamentálních řešení parciálních diferenciálních rovnic a navíc velmi zjednodušuje jejich řešení a usnadňuje výpočty konvolucí, neboť
$$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}f(x)}{\xi} = C \xi \Ft{f(x)}{\xi}$$
$$ \Ft{f\ast g}{\xi} = \Ft{f(x)}{\xi} \cdot \Ft{g(x)}{\xi}$$
Tedy zde vidíme síle Fourierovy transformace. Ta převádí diferenciální problém na problém algebraický, nesrovnatelně jednodušeji řešitelný a konvoluci převádí na prosté násobení.
K těmto vlastnostem časem dojdeme a budou odvozeny.
Nyní už jen pár vět k zamyšlení. Zkuste si zamyslet, proč obraz derivace při $\F$ vypadá tak, jak vypadá. Pokud budeme uvažovat nějaký lineární operátor $L =\frac{\dd}{\dd x}$ na nějakém
vektorovém prostoru (třeba zde na prostoru funkcí), tak jeho vlastní funkce (vektory) splňují rovnici
$$ L f = \lambda f$$
a tedy $f(x) = c e^{\lambda x}$ pro libovolné $\lambda \in \C$. Pak bychom mohli tyto funkce považovat za jistou \uv{bázi} tohoto prostoru a zkoumat Fourierovy koeficienty v této bázi.
Dostali bychom
$$ \left \langle f, e^{\lambda x } \right \rangle =\displaystyle \int_{\R} f(x) e^{\lambda x} \dd x$$
Zde už je vidět jistá silná podobnost s předpisem pro Fourierovu transformaci a proto o ní můžeme tvrdit, že Fourierova transformace nezkoumá přímo chování prvnku, ale chování jeho souřadnic v nějaké bázi.
\end{remark}
\section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí}
V minulé sekci jsme narazili na problém, že fourierovský obraz nějaké funkce nemusí být integrabilní. Proto zavedeme jeden pojem, který již, jak se později ukáže, tuto vlastnost zajistí.
\begin{define}
Buď $f:\R^n \to \R$ reálná funkce. Pak tuto funkci nazveme
\begin{enumerate}
\item {\bf rychle klesající}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} |x^{\aplha}f(x)| < + \infty $;
\item {\bf pomalu rostoucí}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \left | \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right| < +\infty$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\S(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky
\begin{enumerate}
\item $f \in \Ci (\R^n);
\item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \mathrm{sup}_{\R^n} |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
$\S$ je někdy též nazýván prostorem testovacích funkcí s otevřeným nosičem.
\end{remark}
