Verze z 9. 11. 2016, 23:02

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální transformace}
Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě.
V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem.
Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. 
 
\section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí}
\subsection{Motivace}
Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. 
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. 
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce.
\begine{define}
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že 
pro $f\in L^1$ definujeme
$$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$
\end{define}
 
\begin{remark}
V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí. 
\footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.}
\begin{enumerate}
\item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$}
\begin{proof}
Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice:
$$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert  \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq \displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}{=1}
\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$
Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$. 
\end{proof}
\item
\end{enumerate}
\end{remark}