Verze z 9. 11. 2016, 22:50

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální transformace}
Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě.
V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem.
Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. 
 
\section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí}
\subsection{Motivace}
Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. 
Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. 
Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce.
\begine*{define}
Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobraazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že 
pro $f\in L^1$ definujeme
$$Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$
\end*{define}