Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Zobecněné funkce}
V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce.
Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil.
Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a~některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány.
\section{Zavedení zobecněných funkcí}
\begin{define}
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých,
tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$.
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left( f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item {\it Rovnost zobecněných funkcí} (tj. $f = g$ v $\D'$) nastává právě tehdy, když $\forall \phi \in \D $ platí, že $(f,\phi) = (g,\phi)$.
\item $\D'$ je lineární vektorový prostor s~přirozeně definovanými operacemi sčítání a~násobení, tzn, $\forall f ,g \in \D'$ definujme sčítání
$$ (f+g,\phi) := (f,\phi) + (g,\phi) \: \forall \phi \in \D $$
a pro $\alpha \in \mathbb{C}$ a pro $f\in \D'$ definujeme násobení
$$ (\alpha \cdot f,\phi) := \alpha (f,\phi) \: \forall \phi \in \D. $$
\end{enumerate}
\end{remark}
Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$~značně ovlivněno
(kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad $\D$). Z~toho důvodu nyní definujeme konvergenci
v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a~zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu.
\begin{define}
{\bf Multiindexem} $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$.
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $.
Definujme rovněž operátor
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
\end{define}
\begin{define}
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
právě když
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. \left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence}
a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci,
která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat
jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
\begin{proof}
Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na funkci $\phi$ pomocí nulté derivace.
Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a~že $\nf \phi$ má být kompakt.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Příklad zobecněné funkce}
{\bf Diracova $\delta$-funkce}
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.
$$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0). $$
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrightarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funkcionál,
neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$.
\item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} ) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0)
= \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$
\item[{\it Spojitost:}] Abychom dokázali spojitost námi definovaného funkcionálu, uvažujme konvergentní posloupnost
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D$, která konverguje $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
Chceme ukázat, že odtud plyne, že v~$\mathbb{C}$~konverguje číselná posloupnost$\left(\delta, \phi_n\right) \longrightarrow \left(\delta, \phi\right)$.
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$
je totiž testovací, neboť její nosič je pouze sjednocením nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
Pak z toho, že posloupnost konverguje plyne, že
\begin{enumerate}
\item $\left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
\item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$.
\end{enumerate}
Druhá podmínka platí pro všechny multiindexy, tedy speciálně i~pro nulový. Pak tedy dostáváme $\phi_n \sk{\R^n} 0 \Rightarrow \phi_n(x) \stackrel{\R^n}{\rightarrow} 0$ pro všechna $x\in \R^n$.
Pokud nyní za $x$ volím 0, dostávám tvrzení, které jsem chtěl dokázat, neboť $\underbrace{\lim_{n\to\infty} \left(\delta, \phi_n \right)}_{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \phi_n(0) = 0} = \left(\delta, 0 \right) = 0$, přičemž poslední rovnost plyne z linearity funkcionálu.
\end{enumerate}
\noindent Tímto jsme tedy dokázali, že {\it Diracova $\delta$-funkce} je zobecněnou funkcí. Obdobně se dá ukázat, že i~{\it centrovaná Diracova $\delta$-funkce}\footnote{\left(\delta_{x_0}, \ \phi\right) := \phi(x_0)} je zobecněná. Důkaz je zcela totožný, až na poslední krok, kdy se místo 0 volí $x_0$.
\subsection{Souvislost mezi klasickými funkcemi a zobecněnými funkcemi}
V následujícím odstavci bychom chtěli ukázat, že každé klasické funkci $f$ můžeme přiřadit jistou zobecněnou funkci $\tilde{f}$. Jako množinu funkcí $f$, ke které
budeme vytvářet množinu zobecněných funkcí, vezměme lokálně integrabilní funkce na $\R^n$. Pro tyhle funkce jsme již ukázali, že integrál
$\displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x$ konverguje pro každou $\phi \in \D(\R^n)$. Pro tuhle hezkou vlastnost budeme definovat zobecněnou funkci (tj. funkcionál)
následovně:
$$\left(\tilde{f},\phi \right) := \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x.$$
Z konvergence nám okamžitě plyne fakt, že $\tilde{f}:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ je funkcionál.
Nyní, podobně jako v předešlém případě, dokážeme, že se jedná o zobecněnou funkci.
\begin{enumerate}
\item[{\it Linearita:}] Buďte $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$\left( \tilde{f}, \phi + \alpha \psi \right) = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)(\phi + \alpha \psi) (x) \dd x = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x) \dd x +
\alpha \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\psi(x) = \left(\tilde{f},\phi \right) + \alpha \left(\tilde{f},\psi \right). $$
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( \tilde{f},\phi_n \right) \longrightarrow 0 \mbox{ pro } n \to +\infty$.
Tedy platí, že $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\tilde{f},\phi \right) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi_n(x) \dd x= 0$?
Pokud by bylo možné zaměnit limitu a integrál, pak bychom měli $\displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x) \phi_n (x) \dd x
\stackrel{\phi_n(x) \to 0}{=} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\cdot 0 \dd x = 0$. Abychom mohli záměnu provést, je třeba ověřit podmínky věty o záměně, ale prakticky nám stačí nalézt
integrabilní majorantu, která nezávisí na $n$. Tohle bude ukázáno na cvičení.
\end{enumerate}
\begin{define}
O~zobencněné funkci $\tilde{f}$ řekneme, že je {\bf regulární zobecněnou funkcí}, ozn. $\tilde{f} \in \D'_{reg}$, pokud existuje klasická funkce~$f$~taková,
že $(\tilde{f},\phi) := \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \phi (x) \dd x \: \forall \phi \in \D $. Klasickou funkci~$f$~pak nazýváme {\bf generátorem zobecněné funkce~$~\tilde{f}$}.
\end{define}
V následující části se budeme věnovat diskusi ohledně jednoznačnosti přiřazení klasické funkci zobecněnou regulární funkci, tj. bude nás zajímat, jestli je možné ke každé regulární
zobecněné funkci $\tilde{f}$ najít klasickou funkci $f$. Obráceně to jde, jak je vidno z definice regulární zobecněné funkce. Vyslovíme obecnou větu, kterou nedokážeme v plné obecnosti. Dokážeme její důsledek ( ten je ale v~podstatě totožný s~tvrzením věty) a se zesílenými předpoklady. Zájemci o~důkaz věty v~plném znění jej naleznou ve skriptech prof. Šťovíčka. Než ale větu vyslovíme a dokážeme,
připravíme si dvě lemmata a~jeden výsledek z~funkcionální analýzy, které pak pro její důkaz využijeme:
\begin{lemma}[spojitost skalárního součinu]
\label{L1}
Buď $\H $ Hilbertův prostor a~nechť $\{x_n \} _{n\in\mathbb{N}} \subset \H$ taková, že $x_n \to x \in \H$. Pak
$\langle x_n,y \rangle \to \langle x,y\rangle$ pro $n \to + \infty$ pro všechna $y\in \H$.
\begin{proof}
Nejprve přepíšeme výraz $\langle x_n, y\rangle = \langle x_n - x +x ,y \rangle = \langle x_n - x,y \rangle + \langle x,y \rangle$. Využijeme konvergence posloupnosti, tzn.
$x_n \to x \in \H \Leftrightarrow \Vert x_n - x \Vert \to 0 $ v $\mathbb{C}$. Pak na výraz $\langle x_n - x,y \rangle $ aplikujeme Schwarzovu nerovnost, tedy
$\vert \langle x_n - x,y \rangle \vert \leq \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y \Vert$. Jelikož je $\Vert y \Vert < + \infty$, máme lemma dokázáno, neboť limitním
přechodem pro $n \to + \infty$ získáme $\langle x_n, y\rangle \stackrel{n \to + \infty}{\longrightarrow} \langle x,y\rangle$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
Nechť $\langle a,b\rangle = 0$ pro všechna $b\in M$, kde $\overline{M} = \H$. Pak $a=0$ v $\H$.
\begin{proof}
Důkaz provedeme pro dva případy:
\begin{enumerate}
\item $M=\H$, pak $\langle a,h \rangle = 0$ pro libovolné $h\in \H$ a~tedy i~pro $h=a$. Pak ale $\langle a,a \rangle = 0$~a odtud~z~positivní definitnosti skalárního součinu plyne, že $a =0 $~v~$\H$.
\item $M\subset \H, \ \overline {M} = \H$. Tato vlastnost implikuje, že pro libovolné $h \in \H$ existuje $\{b_n \}_{n\in\mathbb{N}} \subset M $ taková, že $b_n \to h \in \H$.
Pak $\forall n \in\mathbb{N} $ máme $0=\langle a,b_n\rangle \stackrel{\mbox{\scriptsize \ref{L1}}{\longrightarrow} \langle a, \lim b_n \rangle = \langle a,h \rangle$ pro libovolné $h\in \H$.
Zde již využijeme první část a máme tvrzení dokázáno.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
Následující výsledek pochází z funkcionální analýzy a dokazovat jej nebudeme:
\begin{theorem}
\label{Dscarkou}
Buď $\D$ prostor testovacích funkcí s~normou z~$L^p$. Pak $\D$ je v $L^p$ hustý, tedy $\overline{\D} = L^p.$
\end{theorem}
Nyní už věta, jejíž důsledek chceme dokázat:
\begin{theorem}[o jednoznačnosti]
Buďte $f,g \in L^1_{loc}(\R^n)$ a~$\tilde{f},\tilde{g} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = \tilde{g} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ skoro všude na $\R^n$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[důsledek]
Buďte $f\in L^2(\R^n)$ a~$\tilde{f} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n $.
\begin{proof}
Klasicky dokážeme dvě implakce
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Triviální
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme tedy $\tilde{f}=0$~v~$\D' \Leftrightarrow (\tilde{f}, \phi ) = (0, \phi) =0$ pro všechna $\phi \in \D$.
To ale znamená (dle definice akce) $\forall \phi \in \D: \: 0= \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x) \dd x = \langle f, \phi \rangle_{L^2(\R^n)} $ \footnote{Správně bychom měli psát $\langle f,\overline{\phi} \rangle$, ale je to jedno. } Nyní už máme skalární součin (z~tohoto důvodu jsme požadovali kvadratickou integrabilitu~$f$), takže využijeme druhého lemmatu a věty \ref{Dscarkou}. Pak totiž tyhle podmínky zaručují $f = 0$ v $L^2(\R^n)$, tedy $f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Následující poznámky můžeme chápat jako důsledky a drobná pozorování, která z této věty plynou:
\begin{enumerate}
\item Tato věta nám dává odpověď na otázku, jaká je souvislost mezi zobecněnými funkcemi a~klasickými funkcemi a~umožňuje
zahrnout klasické funkce do funkcí zobecněných, resp. je takto elegantně propojit. Toto nás tudíž opravňuje vynechávat vlnku ve značení
a~má smysl si například klást otázku, zda $x^n \in \D'$. Odpověď je ano, protože $x^n$ je spojitá funkce, tedy $x^n \in L^1_{loc}$ a~tedy $x^n \in \D'$.
\item Máme $\tilde{f} = \tilde{g}$ v $\D'$ definovanou jako $(f,\phi) = (g,\phi) \: \forall \phi \in \D$. Nyní jsme k tomuto navíc ukázali, že
$\forall \tilde{f}, \tilde{g} \in \D'_{reg}$ platí, že $(\tilde{f},\phi) = (\tilde{g},\phi) \Rightarrow \tilde{f} = \tilde{g} \mbox{ v } \D'$, ale i~fakt, že~$f=g \mbox{ v } L^2.$
Tímto jsme zobecnili pojem \uv{rekonstrukce funkce z testovací funkce}
\item Velikost množiny $\D$ je zásadní. Zkuste si vzít za prostor $\D$ např. množinu všech konstantních funkcí a provést naši konstrukci znova.
\end{enumerate}
\end{remark}
\subsection{Příklady}
Na cvičeních jsme ukázali, že funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} \exp\left(-\displaystyle \frac{4}{1-\left(\frac{x}{n} \right)^2}\right), &\mbox{pro } x\in\left[-a,a\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro ostatní } x. \end{array}\right $
je testovací funkcí. Podívejme se, jak se chová integrál
$\displaystyle \int^x_{+\infty}\phi_{\left[-a,a\right]}(y) \dd y$. Tato nová funkce od x je až do $-a$ nulová a od $a$ konstantní.
Zaveďme jistou speciální funkci:
\begin{define}
{\bf Heavisideova funkce $\Theta(x)$} je funkce $\Theta: \R \to \{0,1\}$ definovaná následovně:
$$\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } x\geq0, \\[.2em] 0, &\mbox{pro } x<0. \end{array}\right.$$
\end{define}
Definujeme-li ještě opraci konvoluce funkcí, můžeme použít pro náš integrál elegantní zápis.
\begin{define}
Buďte $f,g$ klasické funkce integrabilní s kvadrátem. Pak {\bf konvolucí funkcí $f$ a $g$}, kterou označujeme $f\ast g$, rozumíme
$f \ast g := \displaystyle \int_{\R} f(y) g(x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R}g(y)f(x-y) \dd y. $$
\end{define}
\begin{remark}
Konvoluce funkce a Heavisideovy funkce je vlastně \uv{vyhlazením} Heavisideovy funkce danou funkcí.
\end{remark}
Ve smyslu této definice je pak možno náš integrál psát jako $\Theta(x) \ast \phi_{\left[-a,a\right]}$. Pokud bychom nyní udělali konvoluci funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}$
a~\uv{obrácené} Heavisideovy funkce, tj. funkce, která přiřazuje jedničku všem $x<0$ a provedli součin těchto dvou integrálů, získáme opět testovací funkci.
Toto tvrzení, zformulované níže, bude dokázáno na cvičeních, ale je zřejmé.
\begin{theorem}
Nechť $f \in L^1_{loc}$ a buď $\epsilon >0$. Pak $f(x) \ast \phi_{\left[-\epsilon, \epsilon\right]} (x) \in \Ci$.
\end{theorem}
\vspace{1cm}
{\bf Příklady zobecněných funkcí}
\begin{enumerate}
\item Již jsme dokázali, že $\delta_{x_0} \in \D'$.
\item Ukázali jsme, že $\D'_{reg} \subset \D'$.
\item Zobecnění Diracovy $\delta$-funkce do $\R^n$
\begin{define}
Nechť je $S$ je po částech hladká nadplocha v $\R^n$ a $\nu(x)$ je funkce spojitá na $S$. Definujme
$$\left( \nu \delta_S , \phi \right):= \displaystyle \int_S \nu(x)\phi(x) \dd S \: \forall \phi \in \D.$$
Funkcionál $\nu\delta_S$ nazýváme {\bf jednoduchou vrstvou}.
\end{define}
I tento funkcionál je zobecněnou funkcí, tj. $\nu\delta_S \in \D'$ (cvičení)
\item Vyvstává otázka, zda je libovolné funkci možné přiřadit zobecněnou funkci, tj. funkcionál, který by měl podobné chování?
Například bychom chtěli vyřešit problém, který vyvstane, když chceme funkci $f(x) = \frac{1}{x}$ přiřadit zobecněnou funkci. Narážíme na problém, neboť
$\frac{1}{x} \notin L^1_{loc}(R)$, a proto $\frac{1}{x}$ nelze chápat jako zobecněnou funkci.
Cítíme ale, že by bylo vhodné, abychom nějakou takovou zobecněnou funkci měli.
Proto provedeme tzv. {\it regularizaci} této funkce, která by náš problém mohla odstanit.
Vidíme, že problematickým bodem v definičním oboru (a tedy i při integraci) je 0.
Zkusíme tedy definovat funkcionál, který by \uv{suploval} funkci $\frac{1}{x}$ následovně:
$$ \left( P\frac{1}{x}, \phi(x) \right) := \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+} \displaystyle \int_{\R \backslash (-\epsilon,\epsilon)} \frac{\phi(x)}{x}\dd x $$
Tato limita se běžně označuje jako $V_p\displaystyle \int_{\R} \frac{\phi(x)}{x}\dd x$ a nazývá se {\it integrál ve smyslu hlavní hodnoty}.
Na cvičeních bude ukázáno, že tímto krokem dojde k odstranění našeho problému, tj. $P\frac{1}{x}\in \D'$ a že se zachovávají vlastnosti, které
platily pro klasické funkce (např. $x^n P\frac{1}{x} = x^{n-1}$ v $\D'$ pro $n \geq 1$).
\end{enumerate}
Zabývejme se nyní otázkou, jestli jsou veškeré rozbecněné funkce zobecněnými regulárními funkcemi, ekvivalentně jestli je množina $\D' \backslash \D'_{reg}$ neprázdná.
Pokud nějaká taková zobecněná funkce existuje, nazvěme ji {\it singulární zobecněnou funkcí}.
\begin{theorem}
Diracova $\delta$-funkce je singulární zobecněnou funkcí, tj. $\delta \in \D' \backslash \D'_{reg}$.
\begin{proof} (pro jednoduchost a ilustrativitu tohoto tvrzení předpokládejme $\D'(\R^1)$) \\
{\it Sporem:} Nechť $\exists f\in L^1_{loc}$ taková, že $\left( \tilde{f},\phi \right) = \left( \delta, \phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
Zároveň z definice Diracovy funkce máme $\phi(0) = \left(\delta, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R}f(x)\phi(x) \dd x$ pro všechna $\phi \in \D$.
Buď nyní $\eta(x) = x^2\in \Ci$. Pak zjevně $\eta\phi \in \D$ pro všechna $\phi \in \D$. Zároveň víme, že
$(\eta\phi)(0) = 0 = \displaystyle \int_{\R} f(x) \eta(x) \phi(x) \dd x$ pro všechna $\phi \in \D$. Odtud ale plyne, že
$(f\eta)(x) = 0$ skoro všude a~tudíž $f = 0$ skoro všude. Tohle je ale spor, neboť v~tuto chvíli by Diracova funkce byla vždy nulová.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Zavedení základních operací v $\D'$}
Cílem této části bude zavést operace na prosotru $\D'$ tak, aby co nejvíce odpovídaly operacím na prostoru klasických funkcí. Například nás bude zajímat,
jestli je možné zaměnit derivaci v~$\D$ a~v~$\D'$.
\subsection{Derivace v $\D'$}
Budeme chtít, aby bylo jedno, jestli funkci $f$ nejdříve zderivuji (v $\D$) a~pak z~ní vytvořím
zobecněnou funkci $\widetilde{f'}$, nebo jestli nejprve vytvoříme z klasické funkce $f$ funkci zobecněnou $\tilde{f}$ a~tu zderivujeme v $\D'$,
tj. chceme, aby platilo, že $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$.
Zdálo by se přirozené pro $f \in \D'$ zavést tuto derivaci $f' \in \D'$ takto:
$$ \left( f', \phi\right) := \left(f, \phi ' \right) \mbox{ pro všechny } \phi \in \D.$$
Tato definice je intutitvní (nikoliv však na první pohled), ale bohužel špatná.
Abychom tedy nalezli ekvivalent derivace, je třeba se držet striktně našich požadavků.
Proto požadujeme, aby platilo $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$, tj. $\left(\left(\tilde{f}\right)', \phi \right) = \left(\widetilde{f'}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} f'(x)\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} \left[ f(x)\phi(x) \right]^{+\infty}_{-\infty} - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x)' \dd x = - \left(\tilde{f},\phi'\right). $
Tedy tímto můžeme definovat derivaci v $\D'$, která je kompatibilní s~derivací v~klasickém smyslu.
\begin{define}
Buď $f \in \D'(\R).$ Pak derivaci $f'$~v~$\D'(\R)$ definujeme předpisem
$$ (f',\phi):= - (f, \phi') \mbox{ pro libovolné } \phi \in \D. $$
\end{define}
Nyní ověříme, že takto definovaná derivace zobecněné funkci $f$ přiřadí opět zobecněnou funkci $f'$. Abychom tohle dokázali, je třeba ukázat, že jsou splněny tři podmínky:
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] Že se jedná o funkcionál je zřejmé, neboť derivace je definovaná jako $-\left(f, \phi'\right)$ a vzhledem k faktu, že $\phi'\in \D$. Odtud již potom
plyne, že $\vert -\left(f, \phi'\right) \vert < + \infty $, čímž je dokázána dobrá definice funkcionálu.
\item[{\it Linearita:}] Buďte $ \phi, \psi \in \D(\R)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak
$$ \left(f',\phi + \alpha \psi \right) = - \left(f, \left(\phi + \alpha \psi \right)'\right) = -\left(f,\phi' \right) -\alpha \left(f,\psi'\right) = \left(f',\phi\right) + \alpha \left(f',\psi\right)$$
Při dokazování jsme využili nejprve definici derivace v~$D'(R)$ a~následněě faktu, že $f$~je zobecněná.
\item[{\it Spojitost:}] Nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$. Pak chceme ukázat, že $\left(f', \phi_n\right) \to \left(f',0\right) = 0$ v~$\mathbb{C}$. Proto
$$ \limits \lim_{n \to +\infty} \left(f', \phi_n \right) = \limits \lim_{n \to +\infty}\left[ -\left(f, \phi'_n\right)\right] = (f, \underbrace{\limits \lim_{n \to +\infty} \phi'_n}_{0}) = 0$$
První úprava je jen přepsání výrazu v limitě dle definice. Ve druhém kroku bychom chtěli využít spojitosti zobecněné funkce $f$.
Proto musíme ověřit, že platí implikace $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \phi'_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 $.
Toto ale platí, neboť posloupnost funkce $\phi'_n $ mají stejnoměrně omezené nosiče. Tato vlastnost plyne z~inkluze $\nf \phi'_n \subset \nf \phi_n$ pro libovolné $n$.
Druhá podmínka, tj. podmínka na stejnoměrnou konvergenci všech derivací, je splněna triviálně díky konvergenci $\phi_n$ v $\D$.
\end{enumerate}
Tedy jsme našli zobrazení na prostoru $\D'(R)$, které libovolné funkci $f\in \D'(R)$ přiřadí $f \longmapsto f' \in \D'(R)$. Tento postup mohu očividně opakovat a~vždy získám zobecněnou funkci.
\begin{theorem}
Každá zobecněná funkce $f$ má všechny derivace.
\begin{proof}
Vizte poznámku výše.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Derivaci jsme zavedli pouze pro $f\in \D'(\R)$. Pokud bychom chtěli provést rozšíření, stačí si uvědomit, že za každý další řád derivace přibude pouze další znaménko \uv{$-$}.
Proto můžeme definovat derivaci pro libovolnou $f \in \D' (\R^n)$ následovně:
$$ \left(D^{\alpha} f, \phi\right): = (-1)^{\vert \alpha \vert} \left( f, D^{\alpha} \phi \right) $$.
\end{remark}
{\bf Příklad}
Najděte $\vert x \vert '$ v $\D'(\R)$. Zjevně hledáme zobecněnou funkci $f$ takovou, že \left($\vert x \vert ', \phi \right) = \left (f, \phi \right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
Nejprve se přesvědčíme, že notace $\vert x \vert '$ dává dobrý smysl. Zjevně ano, protože $\vert x \vert \in \D'$, což plyne z faktu, že $\vert x \vert $ je jako klasická funkce lokálně integrabilní na $\R$.
Nyní již hledejme funkci $f$:\footnote{V tomto příkladu budeme pro větší přehlednost používat označení vlnkou pro zobecněnou funkci vytvořenou z~lokálně integrabilní funkce.}
$$\left( \widetilde{\vert x \vert} ' , \phi(x) \right) = - \left( \widetilde{\vert x \vert}, \phi'(x) \right) = - \displaystyle \int_\R \!\vert x \vert \phi'(x) \dd x =
- \displaystyle \int_{- \infty}^0 \!\underbrace{\vert x \vert}_{-x} \phi'(x) \dd x - \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! \underbrace{\vert x \vert}_{x} \phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} $$
$$= \underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]_{- \infty}^0}_{= 0} - \displaystyle \int_{- \infty}^0\! 1 \cdot \phi(x) \dd x -
\underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]^{+ \infty}_0}_{= 0} + \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! 1 \cdot \phi \dd x = \displaystyle \int_{\R} \sgn (x) \phi(x) \dd x = \left(\widetilde{\sgn (x)}, \phi(x) \right). $$
Tímto jsme dokázali, že $\widetilde{\vert x \vert} ' = \widetilde {\sgn(x)}$ v~$\D'(\R)$.
\subsection{Regulární lineární transformace}
\begin{define}
Buď $f\in \D'$, dále $\A \in \R^{n,n}$ regulární matice a $\bb \in \R^n$ vektor. Pak definujeme {\bf regulární lineární transformaci $g^{f}_{\A, \bb}$ } zobecněné funkce $f$ vztahem:
$$\left(g^{f}_{\A, \bb}, \phi \right) := \left( \phi, \psi^{\phi}_{\A, \bb} \right). $$
Přičemž $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) := \frac{1}{\vert \det \A \vert}\phi\left(\A^{-1}(x-b)\right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
\end{define}
\begin{remark}
Tato definice je korektní, neboť $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) \in \D \Leftrightarrow \phi \in \D$. Tato transformace funkce $\phi$ neovlivní její hladkost a~support se jen regulárně transformuje,
tj. posune se anebo se přeškáluje.
\end{remark}
\begin{remark}
Obvykle se tato transformace zapisuje ale poněkud odlišně:
$$ \left( f (\A x+\bb), \phi(x) \right):=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right).$$
\end{remark}
Tato notace je rozumná, jen je třeba si uvědomit, že zobecněná funkce $f\in \D'$ nemá argument $x$, ale jistou funkci! V následujícím odstavci pochopíme, proč se tato notace používá a~že je vlastně velmi přirozená. Naším cílem je totiž získat zobecněnou funkci takovou, aby $\widetilde{f(\A x+\bb)} = \tilde{f}(\A x+\bb)$.
Z~této podmínky pak totiž dostaneme:
$$ \left(\tilde{f}(\A x+\bb), \phi(x) \right) = \left(\wildetilde{f(\A x+\bb)}, \phi(x) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(\A x+\bb)\phi(x) \dd x = \left\{
\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize transformace} \\
y = \A x + \bb \\
x = \A^{-1}(y-b) \\
\vert \mathcal{J} \vert = \frac{1}{\vert \det \A \vert}\\
\end{array}
\right\} =$$
$$ = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \displaystyle \int_{\R^n} f(y) \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \dd y = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left(\tilde{f}(x), \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \right). $$
Opět ověříme, že regulární transformace je operace, která zobecněnou funkci zobrazuje na zobecněnou funkci.
\begin{theorem}
Buď $f \in \D'$. Pak $f(\A x+\bb) \in \D'$.
\begin{proof}
Opět stačí ověřit tři podmínky.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] zřejmné;
\item[{\it Linearita:}] opět zřejmá, plyne z linearity $f$;
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) \to 0$. Tedy
$$\limits \lim_{n \to + \infty} \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) = \limits \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right) = $$
$$=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \underbrace{\limits \lim_{n \to + \infty}\phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)}_{=0} \right) = 0. $$
V první rovnosti jsme jen použili definici, ve druhé jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a~faktu, že pokud $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,
tak i~$\psi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,kde $\psi_n = \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)$. V~další se pak jen využije stejnoměrné konvergence funkcí $\phi_n$ k nule.
Odtud již plyne bodová konvergence k nule a~poslední rovnost je důsledkem linearity $f. $
\end{proof}
\end{theorem}
Tímto jsme získali zajímavý nástroj, pomocí kterého můžeme zkoumat např. posunutí zobecněných funkcí (to se děje volbou nulové matice $\A$).
Rovněž sudost a lichost zobecněných funkcí lze takto vyšetřovat. Toto si ukážeme na následujícím příkladu, kde určíme, jestli je Diracova funkce sudá.
{\bf Příklad}
Je Diracova funkce sudá, tj. platí, že $\delta(-x) = \delta(x)$ v $\D'$?
Vyjdeme z~rovnosti v~$\D'$, tj. ověřujeme, zda platí, že $(\delta(x), \phi(x) ) = (\delta(-x), \phi(x) )$.
Upravujeme nejprve pravou stranu výrazu:
$$(\delta(-x), \phi(x) ) \stackrel{\A = \mathbb{I},\\ \bb = 0}{=} (\delta, \phi) = \phi(0) $$
Nyní upravíme levou stranu a využijeme toho, že tentokrát je $\A = -\mathbb{I}$ a $\bb=0$.
$$(\delta(-x), \phi(x) ) = \frac{1}{1} (\delta(x), \underbrace{\phi(-x)}_{\psi(x)}) = (\delta, \psi) = \psi(0) = \phi(0).$$
Tímto je dokázáno, že Diracova funkce je sudá funkce.
\subsection{Násobení hladkou funkcí v $\D'$}
Opět bychom chtěli vytvořit operaci násobení hladkou funkcí, která by pro $a\in \Ci$ a $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ splňovala následující: $\tilde{a}\cdot\tilde{f} = \widetilde{a \cdot f}$.
Z této podmínky dostáváme:
$$\left(\tilde{a}\cdot\tilde{f}, \phi \right) = \left(\widetilde{a \cdot f}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} a(x)f(x)\phi(x) \dd x =
\displaystyle \int_{\R} f(x)\underbrace{a(x)\phi(x)}_{\in \D} \dd x = \left(\tilde{f}, a\phi \right).$$
Z tohoto důvodu jsme při zavedení testovacích funkcí diskutovali možnost jejich násobení hladkou funkcí.
\begin{define}
Buď $a\in \Ci$ a $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a nechť $f\in \D'$. Pak definujeme $\left(\tilde{a}\cdot f, \phi \right) : = \left( f, a\phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
\end{define}
Není možné zeslabit předpoklad na $a \in \Ci$, kvůli požadavku, aby $a\phi \in \D$. Z~tohoto důvodu není možné například vynásobit dvě Diracovy funkce.
\begin{theorem}
Buď $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a $a\in \Ci$ a nechť $f \in \D'$. Pak $\tilde{a}\cdot f \in \D'$.
\begin{proof}
Důkaz je v~podstatě identický jako u předchozích operací a~čtenář si jej může provést sám jako domácí cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Vlastnosti operací v $\D'$}
V~této sekci se budeme zabývat vlastnostmi operací nad prostorem zobecněných funkcí. Ukážeme si, že nad prostorem zobecněných funkcí lze formulovat podobné vět jako v~matematické analýze
(např. věty o~záměně) a~že se tyto věty dají formulovat oproštěné od veškerých sáhodlouhých předpokladů a~rovněž jejich důkazy jsou vyloženě triviální.
\subsection{Limita v $\D'$}
Nejprve ještě definujeme pojem intuitivní, ale dosud korektně neformulovaný:
\begin{define}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí. Řekneme, že
{\bf posloupnost zobecněných funkcí $f_n$ konverguje v $\D'$ k zobecněné funkci $f \in \D$}, ozn. $f_n \to f$, právě tehdy když $\forall \phi \in \D$ platí,
že $(f_n,\phi) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost.
\end{define}
Když známe pojem konvergence, můžeme zavést i pojem limity v $\D'$ (jedná se téměř o totéž)
\begin{define}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že
{\bf limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$}, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$.
\end{define}
\begin{theorem}[o záměně limity a derivace]
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$. Pak $\left (\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n\right)' = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (f_n)'$ v $\D'$.
\begin{proof}
Zvolme libovolnou $\phi \in \D$. Pak
$$ \left((\lim_{n \to + \infty} f_n)', \phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=} - \left(\lim_{n \to + \infty} f_n, \phi' \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=}
- \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f_n,\phi '\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=}$$
$$= \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f'_n,\phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \left(\lim_{n \to + \infty} f'_n, \phi \right)$$
\end{proof}
\end{theorem}
Na následujícím příkladu si ukážeme užitečnost této věty.
{\bf Příklad}
Vypočtěte limitu $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \cos nx$ v $\D'$. Zjevně má smysl se zabývat touto otázkou, neboť $\cos nx \in L^1_{loc}$.
Pokud se pokusíme tuto limitu počítat zu definice, brzy narazíme na integrál, který nebudeme schopni spočítat. Proto se nejprve zabývejme
následující limitou v $\D'$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sin nx$.
$$\left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}, \phi(x) \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \limits \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx, \phi(x) \right) =
\limits \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{n} \sin nx \phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize záměna}}{=} \displaystyle \int_{\R} 0 \dd x = 0$$
Odtud vidíme, že $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \sin nx = 0$. Proto nyní využijeme věty, kterou jsme dokázali, a s její pomocí máme
$$0= \left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}\right)' \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta}} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx\right)' = \lim_{n \to +\infty}
\cos nx $$
Tímto jsme vypočítali limitu, kterou bychom jinak spočíst nedokázali. Je vhodné si povšimnout, že v poslední úpravě jsme využili naší definice derivace a faktu, že $\sin nx \in L^1_{loc}$.
\begin{theorem}
Buďte $\{f__n\}_{n\in \mathbb{N}}, \{g__n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset D'$ a nechť jsou $f,g \in \D'$ takové, že $f_n \to f$ a $g_n \to g$. Pak
\begin{enumerate}
\item $f_n + g_n \to f+g \mbox{ v } \D'$;
\item $\tilde{a}\cdot f_n \to \tilde{a} \cdot f \mbox{ pro libovolnou } a\in \D'_{reg}, a\in \Ci$;
\item $f'_n \to f'$;
\item $f_n(\A x + \bb) = f(\A x + \bb)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkaz je ponechán čtenáři jako cvičení. Princip důkazu je ale vždy stejný. Jen se dle definice rozepíše levá strana a její působení na funkci $\phi$ a následně se upravuje dle definic.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Identity kalkulu}
V této sekci zformulujeme pro zobecněné funkce již známá tvrzení z matematické analýzy.
\begin{theorem}[o derivaci složené funkce]
Buďte $f,g \in D'(\R)$ a $0\neq A, b$ konstanty. Pak
$$\left[f(Ax+b)\right]' = A \cdot f'(Ax+b) $$
\begin{proof}
Upravujme levou stranu výrazu:
$$ \left(\left[f(Ax+b)\right]', \phi \right) = - \left( f(Ax+b), \frac{\dd \phi}{\dd x} \right) = -\frac{1}{\| A \|} \left(f(y), \left \frac{\dd \phi}{\dd x} \right|_{x = A^{-1}(y-b)} \right) = (\ast)$$
Na pravé straně jsme tentokrát nedostali přesně ten výraz, který bychom rádi, ale drobným trikem si k němu pomůžeme. Potřebujeme totiž výraz
$$\frac{\dd }{\dd y} \phi( A^{-1}(y-b) ) = \left \frac{\dd \phi}{\dd x}\right|_{x = A^{-1}(y-b)} \undebrace{\frac{\dd }{\dd y}( A^{-1}(y-b) )}_{\frac{1}{A}}$$
Odtud již nyní ale můžeme snadno dosadit do námi upravovaného výrazu $(\ast)$:
$$ (\ast) = -\frac{A}{|A|} \left(f(y), \frac{\dd }{\dd y}\left( A^{-1}(y-b)\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize derivace}}{=} \frac{A}{|A|} \left(f'(y), \phi\left(A^{-1}(y-b)\right) \right) =
A \cdot \left(f'(Ax+b), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je snadno nahlédnutlné, jak by se vztah změnil, pokud bychom uvažovali $\R^n$ a derivovali dle konkrétní proměnné.
\end{remark}
\begin{theorem}[Leibnitzovo pravidlo]
Buďte $f\in D'(\R)$, $\tilde{a} \in \D'_{reg}(\R)$ a nechť $a \in \Ci$. Pak
$$(a\cdot f)' = a'\cdot f + a \cdot f' $$
\begin{proof}
Důkaz začíná neintuitivně (tentokrát neupravujeme levou stranu), ale je triviální\footnote{Z čisté lenosti nebudeme v důkaze psát $a\cdot f$, ale jen stručně $af$ atp.}:
$$(af', \phi) = (f', a\phi) = - (f, (a\phi)' ) = -(f, a'\phi + a\phi ') = -(f, a'\phi) - (f,a\phi') = $$
$$=-(a'f,\phi) -(af, \phi') = -(a'f,\phi) + ((af)',\phi) = (((af)' - a'f),\phi)$$
Odtud již plyne dokazované tvrzení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pokud bychom postupovali dále matenatickou indukcí, rozšířili bychom tvrzení i pro n-tou derivaci
\end{remark}
\begin{theorem}[o záměně parciálních derivací]
Buď $f\in D'(\R^n)$. Pak
$$\frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} f = \frac{\partial ^2}{\partial x_l \partial x_k} f.
\footnote{\frac{\partial^2 }{\partial x_k \partial x_l} f(x) = \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_l}}$$
\begin{proof}
$$\left(\frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} f(x), \phi(x) \right) = - \left(\frac{\partial }{ \partial x_l} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_k} \phi(x) \right) = \left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial x_k \partial x_l} \phi(x) \right) \stackrel{\phi \in \Ci}{=}$$
$$ = - \left(\frac{\partial }{ \partial x_k} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial ^2}{\partial x_l \partial x_k} f(x), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\end{proof}
