Verze z 4. 10. 2016, 22:41

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Testovací funkce}
\section{Úvod do problematiky}
 
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. 
\end{define}
 
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. 
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ 
\end{define}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$ 
\end{remark}
 
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. 
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále 
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. 
 
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme 
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. 
$\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$. 
\begin{remark}
Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists  x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$. 
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá 
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát 
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi ' \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '}  \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x \geq \varepsilon \displaystyle \int_\R \phi' \dd x > 0.$
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. 
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor}
 
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, 
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení 
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n}  f(x) \overline{g(x)} \dd x$. 
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. 
 
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: 
\begin{enumerate}
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C}  $;
\item Musí být lineární v 1. argumentu;
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline {$\langle g,f \rangle} pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}(\R^n)$
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. 
\end{enumerate}
 
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část 
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. 
Jsou to všechny nulové funkce, které mohou být nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$.
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. 
 
\subsection {Zavedení $L^2$}
 
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:
\begin{define}
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Pak relaci $\sim$ definujeme následovně: 
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$ s. v. (tj. skoro všude, tedy se liší nejvýše na množině nulové míry). 
\end{define}
 
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). 
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. 
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem.