Verze z 4. 10. 2016, 19:07

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Testovací funkce}
 
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. 
\end{define}
 
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. 
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ 
\end{define}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$ 
\end{remark}
 
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. 
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále 
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. 
 
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme 
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. 
$\displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$. 
\begin{remark}
Tahle věta nám má ukázat, že dává smysl testovat funkce pomocí testovacích funkcí.
\end{remark}
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists  x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x = 0$. 
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá 
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát 
$\int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi ' \dd x = \int_{\nf \phi '}  \left( f(x)-g(x) \right)\phi \dd x \geq \varepsilon \int_\R \phi' \dd x > 0.$
\end{proof}
 
\end{theorem}