Verze z 3. 10. 2016, 22:03

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Motivace}
\section{Problém s Diracovou \delta  -funkcí}
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. 
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým 
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její 
definici: 
 
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$
a zároveň požadujeme
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$
 
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž 
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme 
 
$$ \mathcal{L}\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$
protože naše funkce je nulová až na množině nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v průběhu tohoto skripta odstranit. 
 
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. 
Dostaneme pak totiž zajímavé vlastnosti těchto funkcí, jako například tu, že každá zobecněná funkce má všechny derivace. 
 
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého 
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. 
 
\section{Koncept testování funkcí}