Zobrazení zdroje stránky 01PRA1 2:Kapitola11

%\wikiskriptum{01PRA1_2}

\section{Základní pojmy ze statistiky}

\begin{itemize}
\item $\Omega$\dots populace;
\item $\omega\in\Omega$\dots individuum (element).
\item $X$\dots borelovsky měřitelná funkce na $\Omega$, číselná
charakteristika sledované vlastnosti.
\item $\omega^{(n)}=(\omega_1,\dots,\omega_n)$ náhodný výběr z
populace $\Omega$ šířky $n$.
\item $\Omega^{(n)}$ všechny náhodné výběry.
\end{itemize}

\begin{define}
Buď $\mathbf X=\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$,
$X_j(\omega^{(n)})=X(\omega_j)$, $X_j$ je nezávislé $j$-té pozorování
$X$ na $\omega^{(n)}$.
\end{define}

\begin{define}
Buďte $X$ náhodné veličiny s~rozdělením $F_X$, $X_1\dots,X_n$
nezávislá pozorování $X$, $F_{X_j}=F_X$. Potom definujeme:
\begin{enumerate}
\item Výběrový průměr $\overline{X_n}$;
\item Výběrový rozptyl
\[\widehat\sigma_n^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X_n})^2,\]
\[s_n^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X_n})^2;\]
\item Výběrová směrodatná odchylka $\widehat\sigma_n$, $s_n$;
\item Výběrový $p$-kvantil $x_p:F_X(x_p)=p$, $\widehat{X_p}=X_{[np]}$;
\item Výběrový medián
\[
\tilde X=
\begin{cases}
X_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}&\text{pro $n$ liché}\\
\frac{X_{\left[\frac{n}{2}\right]}+X_{\left[\frac{n}{2}+1\right]}}{2}&
\text{pro $n$ sudé}
\end{cases};
\]
\item Výběrový obecný moment
\[m_k'=\frac1n\sum_{i=1}^n X_j^k;\]
\item Výběrový centrální moment
\[m_k=\frac1n\sum_{j=1}^n(X_j-\overline{X_n})^k;\]
\item Výběrové rozpětí
\[\max_{i\in\hat n} X_i-\min_{i\in\hat n} X_i;\]
\item Empirická distribuční funkce
\[F_n(X_1,\dots,X_n,x)=\frac1n\sum_{i=1}^n\chf_{(-\infty,x)}(X_i)\]
\end{enumerate}
\end{define}

\begin{theorem}[Glivenko-Cantelli]
Kolmogorovská vzdálenost $K(F_n,F_X)\ksj 0$.
\end{theorem}