01NUM1:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Vlatní čísla a vektory matic}“) |
(Věty do 13) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01NUM1} | %\wikiskriptum{01NUM1} | ||
\section{Vlatní čísla a vektory matic} | \section{Vlatní čísla a vektory matic} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Lokalizace vlastních čísel} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Gershgorin] | ||
+ | \label{Gershgorin} | ||
+ | Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom | ||
+ | \[ \sigma ( \matice A) \subset \mathcal S_{\mathcal R} = \bigcup_{i = 1}^n \mathcal R_i \] | ||
+ | kde definujeme | ||
+ | \[ \mathcal R_i = \left\{ z \in \mathbbm C \; \Big | \; \lvert z - \matice A_{ii} \rvert \leq \sum_{j = 1, j \neq i}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \right\} \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 6.1} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Aposteriorní odhad chyby} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{AposterioriEigenvalue} | ||
+ | Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je hermitovská. Nechť \( \hat \lambda \) a \( \hat{\vec x} \neq \vec 0 \) jsou napočítané aproximace vlastního čísla \( \lambda \) a vlastního vektoru \( \vec x \). Pro reziduum | ||
+ | \[ \vec r = \matice A \hat{\vec x} - \hat \lambda \hat{\vec x} \] | ||
+ | potom platí | ||
+ | \[ \min\limits_{\lambda_i \in \sigma ( \matice A )} \left\lvert \hat \lambda - \lambda_i \right\rvert \leq \frac{\lVert \vec r \rVert_2}{\left\lVert \hat{\vec x} \right\rVert_2} \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 6.2} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Mocninná metoda} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{MocninnaMetodaVektor} | ||
+ | Vektor \( \vec x^{(k)} \) z mocninné metody lze vyjádřit jako | ||
+ | \[ \vec x^{(k)} = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Z definice posloupností v mocninné metodě plyne: | ||
+ | \[ \vec x^{( k )} = \frac{1}{\rho_k} \matice A \vec x^{( k - 1 )} = \dots = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{MocninnaMetodaNejvetsiEigenvalue} | ||
+ | \todo{Zkontrolovat, hlavně Příslušný vlastní vektor} | ||
+ | Nechť matice \( \matice A \) má jedno vlastní číslo \( \lambda \) s \todo{nebo algebraickou?} geometrickou násobností \( r \), které má největší absolutní hodnotu. Nechť \( \vec y^{( 1 )}, \dots, \vec y^{( r )} \) jsou příslušné vlastní vektory. Nechť \( s \in \hat r \) a \( \vec x^{( 0 )} \) takový, že \( \braket{\vec x^{( 0 )} | \vec y^{( s )}} \neq \vec 0 \). Potom | ||
+ | \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \rho_k = \lvert \lambda \rvert \] | ||
+ | \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} = \vec y^{( s )} \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 6.4} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{7} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{MocninnaMetodaNejvetsi2Eigenvalues} | ||
+ | \todo{Věta 6.8 - srozumitelně a jednoznačně} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 6.8} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Výpočet kompletního spektra matice} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{12} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{SpektrumFrobenia} | ||
+ | \todo{Věta 6.13} | ||
+ | \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} | ||
+ | Bez důkazu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 27. 12. 2015, 16:33
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Kubuondr | 26. 11. 2016 | 17:56 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 22:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 17:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 22:32 | preamble.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Kubuondr | 30. 1. 2017 | 18:14 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Kubuondr | 10. 12. 2016 | 15:17 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Kubuondr | 30. 1. 2017 | 12:27 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 11:41 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:13 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 16:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 18:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Vlatní čísla a vektory matic} \subsection{Lokalizace vlastních čísel} \begin{theorem}[Gershgorin] \label{Gershgorin} Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom \[ \sigma ( \matice A) \subset \mathcal S_{\mathcal R} = \bigcup_{i = 1}^n \mathcal R_i \] kde definujeme \[ \mathcal R_i = \left\{ z \in \mathbbm C \; \Big | \; \lvert z - \matice A_{ii} \rvert \leq \sum_{j = 1, j \neq i}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \right\} \] \begin{proof} \todo{Důkaz 6.1} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Aposteriorní odhad chyby} \begin{theorem} \label{AposterioriEigenvalue} Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je hermitovská. Nechť \( \hat \lambda \) a \( \hat{\vec x} \neq \vec 0 \) jsou napočítané aproximace vlastního čísla \( \lambda \) a vlastního vektoru \( \vec x \). Pro reziduum \[ \vec r = \matice A \hat{\vec x} - \hat \lambda \hat{\vec x} \] potom platí \[ \min\limits_{\lambda_i \in \sigma ( \matice A )} \left\lvert \hat \lambda - \lambda_i \right\rvert \leq \frac{\lVert \vec r \rVert_2}{\left\lVert \hat{\vec x} \right\rVert_2} \] \begin{proof} \todo{Důkaz 6.2} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Mocninná metoda} \begin{theorem} \label{MocninnaMetodaVektor} Vektor \( \vec x^{(k)} \) z mocninné metody lze vyjádřit jako \[ \vec x^{(k)} = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \] \begin{proof} Z definice posloupností v mocninné metodě plyne: \[ \vec x^{( k )} = \frac{1}{\rho_k} \matice A \vec x^{( k - 1 )} = \dots = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{MocninnaMetodaNejvetsiEigenvalue} \todo{Zkontrolovat, hlavně Příslušný vlastní vektor} Nechť matice \( \matice A \) má jedno vlastní číslo \( \lambda \) s \todo{nebo algebraickou?} geometrickou násobností \( r \), které má největší absolutní hodnotu. Nechť \( \vec y^{( 1 )}, \dots, \vec y^{( r )} \) jsou příslušné vlastní vektory. Nechť \( s \in \hat r \) a \( \vec x^{( 0 )} \) takový, že \( \braket{\vec x^{( 0 )} | \vec y^{( s )}} \neq \vec 0 \). Potom \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \rho_k = \lvert \lambda \rvert \] \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} = \vec y^{( s )} \] \begin{proof} \todo{Důkaz 6.4} \end{proof} \end{theorem} \setcounter{define}{7} \begin{theorem} \label{MocninnaMetodaNejvetsi2Eigenvalues} \todo{Věta 6.8 - srozumitelně a jednoznačně} \begin{proof} \todo{Důkaz 6.8} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Výpočet kompletního spektra matice} \setcounter{define}{12} \begin{theorem} \label{SpektrumFrobenia} \todo{Věta 6.13} \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem}