01NUM1:Kapitola5: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Všechny věty)
(Zrušena verze 5760 od uživatele Dedicma2 (diskuse))
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
−
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
+
\section{Iterativní metody}
  
−
\subsection{Trojúhelníkové matice}
+
\subsection{Iterativní metody obecně}
  
−
\setcounter{define}{21}
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{SoucinTrojuhelniku}
+
\label{KIterativniMetody}
−
Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice {AB} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
+
Iterativní metoda tvaru
−
\[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \]
+
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B^{( k )} \vec x^{( k )} + \vec c^{( k )} \]
 +
splňující
 +
\[ \vec x^* = \matice B^{( k )} \vec x^* + \vec c^{( k )} \]
 +
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
 +
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^k \matice B^{( i )} = \Theta \]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a \( \matice B_{kj} = 0, \; \forall k < j \).
+
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} - \vec x^* = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1)} \vec x^{( k -1 )} + \vec c^{( k - 1 )} - \matice B^{( k - 1 )} \vec x^* + \vec c^{( k - 1 )} = \]
−
Tudíž:
+
\[ = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1 )} ( \vec x^{( k -1 )} - \vec x^* ) = \dots = \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^{k - 1} \matice B^{( i )} ( \vec x^{( 0 )} - \vec x^* ) \]
−
\[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
+
což je rovno nule pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) právě tehdy, je-li splněna podmínka z věty.
−
což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii} \) pro \( i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
−
+
 
 +
\subsection{Stacionární iterativní metody}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{InverzeTrojuhelniku}
+
\label{KStacionarniIterativniMetody}
−
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
+
Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
−
\[ \forall i \in \hat n, \; (\matice A^{-1})_{ii} = (\matice A_{ii})^{-1} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \]
+
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
 +
splňující
 +
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
 +
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
 +
\[ \lim_{k \rightarrow \infty } \matice B^k = \Theta \]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
Označíme \( \matice B = \matice A^{-1} \) a vyjdeme ze vztahu \( \matice A \matice B = \matice I \). Protože je matice \( \matice A \) dolní trojúhelníková a regulární, platí \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a \( \matice A_{ii} \neq 0, \; \forall i \in \hat n \). Proto:
+
\( \matice B^k = \prod_{i = 0}^k \matice B \) a tedy platnost této věty plyne přímo z \ref{KIterativniMetody}.
−
\[ \matice I_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
+
−
\begin{enumerate}[(1)]
+
−
\item \( \matice B \) dolní trojúhelníková
+
−
\\ indukcí podle \( i \) při pevném j
+
−
\begin{itemize}
+
−
\item \( i = 1 \), \( 1 < j \)
+
−
  \[ \matice I_{ij} = 0 = \sum_{k=1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^1 \matice A_{1k} \matice B_{kj} = \underbrace{\matice A_{11}}_{\neq 0} \matice B_{1j} \Rightarrow \matice B_{1j} = 0, \; \forall j > 1 \]
+
−
\item \( i \rightarrow i + 1 \), \( i + 1 < j \)
+
−
\\Indukční předpoklad: \( \matice B_{kj} = 0, \; \forall k \leq i \)
+
−
  \[ \matice I_{i + 1, j} = 0 = \sum_{k = 1}^{i + 1} \matice A_{i + 1, k} \matice B_{kj} = \sum_{k = i + 1}^{i + 1} \matice A_{i + 1, k} \matice B_{kj} = \underbrace{\matice A_{i + 1, i + 1}}_{\neq 0} \matice B_{i + 1, j} \Rightarrow \matice B_{i +1, j} = 0, \; \forall j > i + 1 \]
+
−
\end{itemize}
+
−
\item Prvky na diagonále \( \matice B \)
+
−
\\ Jelikož je matice \( \matice B \) dolní trojúhelníková, plyne přímo z \ref{SoucinTrojuhelniku}:
+
−
\[ \matice I_{ii} = 1 = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \Rightarrow \matice B_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii}} \]
+
−
\end{enumerate}
+
−
Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\subsection{Rozklad matice na horní a dolní trojúhelníkovou}
 
−
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{LDR}
+
\label{KStacionarniIterativniMetodySpektrum}
−
Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu:
+
Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
−
\[ \matice A = \matice {LDR} \]
+
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
−
kde:
+
splňující
−
\begin{itemize}
+
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
−
\item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
+
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
−
\item \( \matice D \) je diagonální matice
+
\[ \rho ( \matice B ) < 1 \]
−
\item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
+
−
\end{itemize}
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
\begin{enumerate}[(1)]
+
Plyne z \ref{GeomKSpektrum} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}.
−
\item existence
+
−
\\Důkaz indukcí podle \( n \)
+
−
\begin{itemize}
+
−
\item \( n=1 \)
+
−
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice I (\matice A_{11} ) \matice I \)
+
−
  kde \( \matice L = \matice I \) a \( \matice R = \matice I \)
+
−
\item \( n \rightarrow n + 1 \)
+
−
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A =
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice A' & \vec v \\
+
−
  \vec u^T & \alpha \\
+
−
  \end{pmatrix}
+
−
  \Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'}
+
−
  \\ \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad:
+
−
  \[ \begin{pmatrix}
+
−
  \matice L' & \vec 0 \\
+
−
  \vec l^T & 1 \\
+
−
  \end{pmatrix}
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice D' & \vec 0 \\
+
−
  \vec 0^T & d_{n+1} \\
+
−
  \end{pmatrix}
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice R' & \vec r \\
+
−
  \vec 0^T & 1 \\
+
−
  \end{pmatrix} =
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice {L' D'} & \vec 0 \\
+
−
  \vec l^T \matice D' & d_{n+1} \\
+
−
  \end{pmatrix}
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice R' & \vec r \\
+
−
  \vec 0^T & 1 \\
+
−
  \end{pmatrix} =\]
+
−
  \[=
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\
+
−
  \vec l^T \matice {D' R'} & \vec r \vec l^T \matice D' + d_{n+1} \\
+
−
  \end{pmatrix} =
+
−
  \begin{pmatrix}
+
−
  \matice A' & \vec v \\
+
−
  \vec u^T & \alpha \\
+
−
  \end{pmatrix}\]\(
+
−
  \\ \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v
+
−
  \\ \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u
+
−
  \\ d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D'
+
−
\)
+
−
\end{itemize}
+
−
\item jednoznačnost
+
−
\\ Důkaz sporem, předpokládáme, že existují 2 různé rozklady
+
−
\\ \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
+
−
\\ \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
+
−
\\ \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \)
+
−
kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice podle \ref{SoucinTrojuhelniku} a \ref{InverzeTrojuhelniku}.
+
−
\\ \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I
+
−
\\ (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2
+
−
\\ \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2
+
−
\\ \matice D_1 = \matice D_2 \) \qedhere
+
−
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
−
 
−
\begin{remark*}
 
−
Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \)
 
−
\end{remark*}
 
  
−
 
−
\subsection{Rozklady matic}
 
−
 
−
\setcounter{define}{33}
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{HouseholderHermUnit}
+
\label{KStacionarniIterativniMetodyNorma}
−
Householderova reflekční matice je hermitovská a unitární.
+
Postačující podmínkou pro to, aby stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
 +
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
 +
splňující
 +
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
 +
konvergovala pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) je
 +
\[ \exists \; \text{maticová norma} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \lVert \matice B \rVert < 1 \]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
\begin{enumerate}[(1)]
+
Plyne z \ref{GeomKNorma} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}.
−
\item Hermitovskost (\( \matice H^*( \vec w ) = \matice H( \vec w ) \))
+
−
  \[ \matice H^*( \vec w ) = ( \matice I - 2 \vec w \vec w^*) = \matice I^* - 2 ( \vec w \vec w^* )^* = \matice I - 2 \vec w \vec w^* = \matice H ( \vec w ) \]
+
−
\item Unitarita (\( \matice H^*( \vec w ) = \matice H^{-1}( \vec w ) \))
+
−
  \\ Díky hermitovskosti matice a vztahu \( \vec w^* \vec w = \braket{\vec w | \vec w } = {\lVert \vec w \rVert}^2 = 1 \) platí:
+
−
  \[ \matice H( \vec w ) \matice H^*( \vec w ) = \matice H( \vec w ) \matice H( \vec w ) = \matice I - 4 \vec w \vec w^* + 4 \vec w \vec w^* \vec w \vec w^* = \matice I \]
+
−
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\begin{theorem}
+
\begin{theorem}[Aposteriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody]
−
\label{HouseholderReflekcni}
+
\label{AposteriorniOdhad}
−
\( \matice H( \vec w )\) je Householderova reflekční matice a \( \vec w \) je libovolný vektor z \( \mathbbm C^n \).
+
Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru
−
\\ Pak vektor \( \matice H( \vec w ) \vec v \) je zrcadlový obraz vektoru \( \vec v \) podle nadroviny \[ L = \{ \vec x \in \mathbbm C^n \; | \; \vec w^* \vec x = \braket{ \vec x | \vec w } = 0 \} \] v tom smyslu, že splňuje
+
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
−
\begin{itemize}
+
splňující
−
\item \(\lVert \matice H( \vec w )\vec v \rVert = \lVert \vec v \rVert\)
+
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
−
\item \(\matice H( \vec w )\vec v + \vec v \in L\)
+
kde \( \vec x^* \) je řešením soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), platí tyto odhady chyby aproximace řešení:
−
\item \((\matice H( \vec w )\vec v - \vec v) \perp L\)
+
−
\end{itemize}
+
−
\begin {proof}
+
 
\begin{enumerate}[(1)]
 
\begin{enumerate}[(1)]
−
\item \(\lVert \matice H( \vec w )\vec v \rVert = \lVert \vec v \rVert\) plyne z faktu, ze \(\matice H( \vec w )\) je unitární a z \ref{UnitarniZachovavaNormu}.
+
\item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \)
−
\item \(\matice H( \vec w )\vec v + \vec v \in L \Leftrightarrow \braket{\matice H( \vec w )\vec v + \vec v | \vec w} = 0 \) \[ \braket{\matice H( \vec w )\vec v + \vec v | \vec w} = 0 \Leftrightarrow \braket{(\matice I - 2\vec w \vec w^*)\vec v + \vec v| \vec w} = \braket{(2\vec v - 2\vec w \vec w^* \vec v | \vec w )} = \] \[ = 2\braket{\vec v|\vec w} - 2\braket{\vec w \vec w^* \vec v|\vec w} = 2\braket{\vec v|\vec w} - 2\underbrace{\vec w^* \vec w}_{\lVert \vec w \rVert = 1} \vec w^* \vec v = 2\braket{\vec v| \vec w} - 2\underbrace{\vec w^* \vec v}_{2\braket{\vec v| \vec w}} = 0 \]
+
\\
−
\item \( (\matice H( \vec w )\vec v - \vec v) \perp L \Leftrightarrow \forall \vec x \in L, \braket{\matice H( \vec w )\vec v - \vec v | \vec x} = 0 \)
+
\item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \lVert \matice B \rVert \left\lVert \vec x^{( k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \)
−
\[ \braket{\matice H( \vec w )\vec v - \vec v | \vec x} = \braket{ ( \matice I - 2 \vec w \vec w^* )\vec v - \vec v | \vec x} = -2 \braket{ \vec w \vec w^* \vec v | \vec x} = -2 \underbrace{\vec x^* \vec w}_{ = 0} \vec w^* \vec v = 0 \]
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
−
\end{proof}
 
−
\end{theorem}
 
−
 
−
\begin{theorem}
 
−
\label{UnitarniZachovavaNormu}
 
−
Nechť \( \matice U \) je unitární matice. Pak platí:
 
−
\[ \lVert \matice U \vec x \rVert_2 = \lVert \vec x \rVert_2 \]
 
−
Pro libovolný vektor \( \vec x \).
 
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
\[ \lVert \matice U \vec x \rVert_2 = \braket{\matice U \vec x | \matice U \vec x} = ( \matice U \vec x )^* \matice U \vec x = \vec x^* \matice U^* \matice U \vec x = \vec x^* \matice U^{-1} \matice U \vec x = \vec x^* \vec x = \braket{\vec x | \vec x} = \lVert \vec x \rVert_2 \]
+
\begin{enumerate}[(1)]
−
\end{proof}
+
\item
−
\end{theorem}
+
\[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice A^{-1} ( \matice A \vec x^{( k )} - \vec b ) \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \]
−
 
+
kde poslední nerovnost plyne z trojúhelníkové nerovnosti.
−
\begin{theorem}
+
\item
−
\label{HouseholderEigenvalue}
+
\[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} ( ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert \]
−
Nechť \(\lambda\) je vlastní číslo matice \(\matice A\), pak existuje Householderova matice \(\matice H(\vec w)\) taková, že
+
kde poslední nerovnost je opět aplikací trojúhleníkové nerovnosti.
−
\[\matice H(\vec w)\matice A\matice H(\vec w)\vec e^{(1)}=\lambda\vec e^{(1)}\] kde \( \vec e^{(1)} \) je vlastní vektor matice \(\matice A\).
+
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k)} - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \]
−
\begin{proof}
+
\[ = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B ( \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \]
−
Volíme \[ \vec w = \frac{\vec e^{(1)}-\frac{\vec x}{\lVert \vec x \rVert_2}}{\lVert \vec e^{(1)}-\frac{\vec x}{\lVert \vec x \rVert_2}\rVert_2} \]
+
kde poslední nerovnost je znovu pouze aplikací trojúhelníkové nerovnosti. \qedhere
−
a vezmeme \(\vec x\) jako normovaný:
+
−
\[ \vec w = \frac{\vec e^{(1)}-\vec x}{\lVert \vec e^{(1)} - \vec x \rVert_2} \]
+
−
\[\matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \vec x\]
+
−
\[\matice A \matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \matice A \vec x = \lambda \vec x\]
+
−
\[\matice H (\vec w)\matice A \matice H (\vec w)\vec e^{(1)} = \lambda \matice H(\vec w)\vec x=\lambda \vec e^{(1)}\]
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\begin{remark*}
+
−
\(\matice M \vec e^{(1)} = \lambda \vec e^{(1)} \Rightarrow \matice M = \begin{pmatrix}
+
−
\lambda & \multirow{4}{*}{\text{\Huge ?}} \\
+
−
0 & \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix}\)
+
−
\end{remark*}
+
−
 
+
−
\begin{remark*}
+
−
\(\matice M = \matice H (\vec w)\matice A \matice H (\vec w)\) je podobnostní transformace.
+
−
\end{remark*}
+
−
 
+
−
\begin{theorem}[Schurova Věta]
+
−
\label{SchurovaVeta}
+
−
Libovolná matice \(\matice A \in \matice C^{n,n} \) se dá zapsat jako \[\matice A = \matice U^* \matice R \matice U \]
+
−
kde \(\matice U \) je unitární matice a \(\matice R\) je horní trojúhelníková matice.
+
−
\begin{remark}
+
−
Vlastní čísla matice \(\matice A \) jsou na diagonále \(\matice R\) díky \ref{PodobneEigenvalue}.
+
−
\end{remark}
+
−
\begin{proof}
+
−
Mějme matici \(\matice A\) a předpokládejme podle \(\ref{HouseholderEigenvalue}\), že existuje \(\vec w_1 \in \matice C^{n}\).
+
−
\\\( \matice H (\vec w_1)\matice A \matice H (\vec w_1) = \begin{pmatrix}
+
−
\lambda_1 & \cdots \\
+
−
0 & \multirow{3}{*}{ \Huge {\( \matice A' \)} } \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix} = \matice H_1 \matice A \matice H_1\)
+
−
\\Máme tedy další matici \(\matice A' \in \matice C^{n-1,n-1}\) ke které opět můžeme podle \(\ref{HouseholderEigenvalue}\) najít vektor \(\vec w'_2 \in \matice C^{n-1}\). Mějme také matici \(\matice H'(\vec w'_2) \in \matice C^{n-1,n-1} \) a matici \(\matice H_2\), definovanou jako \(\matice H_2 = \begin{pmatrix}  
+
−
1 & \cdots \\
+
−
0 & \multirow{3}{*}{ \Huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix}\)
+
−
\newpage \[\matice H'(\vec w'_2)\matice A'\matice H'(\vec w'_2) = \matice H_2\matice H_1\matice A\matice H_1\matice H_2=
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
1 & \cdots \\
+
−
0 & \multirow{3}{*}{ \Huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix}
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
\lambda_1 & \cdots \\
+
−
0 & \multirow{3}{*}{ \Huge {\( \matice A' \)} } \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix}
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
1 & \cdots \\
+
−
0 & \multirow{3}{*}{ \Huge{\( \matice H'(\vec w'_2) \)} } \\
+
−
\vdots & \\
+
−
0 & \\
+
−
\end{pmatrix}\]\[=
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
\lambda_1 & 0 & \cdots \\
+
−
0 & \lambda_2 & \cdots \\
+
−
\vdots & 0 & \multirow{3}{*}{ \Huge {\( \matice A'' \)} }\\
+
−
\vdots & \vdots && \\
+
−
0 & 0 & \\
+
−
\end{pmatrix}\]
+
−
Naprosto stejným postupem bychom pokračovali dále, až dojdeme k matici obsahující pouze vlastní čísla matice \(\matice A\). Tu označíme jako matici \(\matice R\). Matici \(\matice H_n \matice H_{n-1} ... \matice H_1\) označíme jako \(\matice U\). Protože jsou všechny matice \(\matice H(\vec w_k)\) Householderovy reflekční matice, jsou podle \ref{HouseholderHermUnit} unitární. Součin unitárních matic je unitární matice (důkaz na dva řádky je trivální), tedy celá matice \(\matice U\) je unitární. Matice \(\matice U^{-1}\) bude mít tvar \(\matice H_1 \matice H_2 ... \matice H_n \) (zřejmé). To už je ekvivalentní s tvrzením věty: \[\matice U^* \matice A \matice U = \matice R \Leftrightarrow \matice A = \matice U^* \matice R \matice U\]
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\begin{theorem}
+
−
\label{NormalniTrojuhelnikDiagonalni}
+
−
Normální trojúhelníková matice je diagonální.
+
−
\begin{proof}
+
−
Ukážeme, že \( \matice R \) z \ref{SchurovaVeta} je normální:
+
−
\[ \matice A = \matice U^* \matice R \matice U \Rightarrow \matice R = \matice U \matice A \matice U^* \]
+
−
\[ \matice R^* = ( \matice U \matice A \matice U^* )^* = \matice U \matice A^* \matice U^* \]
+
−
\[ \matice{R R^*} = \matice{R^* R} \]
+
−
Oberhuberův důkaz nic nedokazuje.
+
−
\end{proof}
+
−
\begin{proof}
+
−
Mlhův důkaz: Nechť je matice \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) normální dolní trojúhelníková. Pak platí \( \matice A^* \matice A = \matice A \matice A^* \) a \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k \) a dále:
+
−
\[ (\matice A^* \matice A)_{ii} = \sum_{k = 1}^n \matice (A^*)_{ik} \matice A_{ki} = \sum_{k = 1}^i \matice (A^*)_{ik} \matice A_{ki} = \sum_{k = 1}^i \overline{\matice A_{ki}} \matice A_{ki} = \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 \]
+
−
\[ (\matice A \matice A^*)_{ii} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice (A^*)_{ki} = \sum_{k = i}^n \matice A_{ik} \matice (A^*)_{ki} = \sum_{k = i}^n \matice A_{ik} \overline{ \matice A_{ik}} = \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert^2 \]
+
−
\[ (\matice A^* \matice A)_{ii} = (\matice A^* \matice A)_{ii} \Leftrightarrow \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 = \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert^2, \; \forall i \in \hat n \]
+
−
Důkaz provedeme indukcí podle \( i \)
+
−
\begin{itemize}
+
−
\item \( i = 1 \)
+
−
\[ \lvert \matice A_{11} \rvert^2 = \sum_{k = 1}^i \lvert \matice A_{ki} \rvert^2 = \sum_{k = i}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 = \lvert \matice A_{11} \rvert^2 + \sum_{k = 2}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 \Rightarrow \sum_{k = 2}^n \lvert \matice A_{1k} \rvert^2 = 0 \]
+
−
Jelikož jsou všechny členy pravé sumy nezáporné, musí být rovny 0, tedy \( \matice A_{1k} = 0, \; \forall k > 1 \)
+
−
\item \( i \rightarrow i + 1 \)
+
−
\\ Indukční předpoklad: \( \matice A_{k, i + 1} = 0, \; \forall k < i + 1 \)
+
−
\[ \lvert \matice A_{i + 1, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = i + 1}^{i + 1} \lvert \matice A_{k, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = 1}^{i + 1} \lvert \matice A_{k, i + 1} \rvert^2 = \sum_{k = i + 1}^n \lvert \matice A_{i + 1, k} \rvert^2 = \lvert \matice A_{i + 1, i + 1} \rvert^2 + \sum_{k = i + 2}^n \lvert \matice A_{i + 1, k} \rvert^2 \]
+
−
Z čehož plyne díky nezápornosti členů pravé sumy \( \matice A_{i + 1, k} = 0, \; \forall k > i + 1 \)
+
−
\end{itemize}
+
−
Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\begin{theorem}
+
−
\label{RozklNormMatice}
+
−
Pro libovolnou normální matici \(\matice A\) existuje unitární matice \(\matice U\) tak, že
+
−
\[\matice A = \matice {U^*RU}\]
+
−
kde \(\matice R\) je diagonální. Je-li \(\matice A\) hermitovská, pak \(\matice R\) má na diagonále reálná čísla.
+
−
\begin{proof}
+
−
\begin{enumerate}
+
−
\item Ukážeme, že \(\matice R\) je normální, pak podle \ref{NormalniTrojuhelnikDiagonalni} bude také diagonální.
+
−
\[\matice A = \matice {U^*RU} \Rightarrow \matice {UA} = \matice {RU} \Rightarrow \matice {UAU^*} = \matice R\]
+
−
\[\matice R^* = \matice {(UAU^*)^*} = \matice {(AU^*)^*U^*} \matice {UA^*U^*} \]
+
−
\[\matice {RR^*} = \matice {UA}\underbrace{\matice{U^*U}}_{\matice I}\matice {A^*U^*} = \matice {UAA^*U^*} = \matice {UA^*AU^*} = \matice {UA^*U^*UAU^*} = \matice{R^*R}\]
+
−
\(\Rightarrow \matice R \) je normální \(\Rightarrow \matice R\) je diagonální.
+
−
\item \(\matice A\) je hermitovská \(\Rightarrow \matice A\) je normální.
+
−
\[\matice A = \matice {U^*DU} \Rightarrow \matice D = \matice {UAU^*}\]
+
−
kde \(\matice D\) je diagonální matice.
+
−
\[\matice D^* = \matice {(UAU^*)^*} = \matice {UA^*U^*} \underbrace{\Rightarrow}_{\matice A = \matice A^*} \matice {UAU^*} = D\]
+
−
\[\matice D^* = \matice D \Rightarrow \matice D \in \matice R^{n,n}\] protože transpozicí se diagonálních prvků nedotkneme a rovnost hermitovsky sdružených prvků nastává pokud jsou prvky reálná čísla. \qedhere
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\subsection{Rozklady matic - Jordanova Věta}
+
\begin{define}[V prezentaci poznámka]
−
 
+
Nechť \( \vec x^{( k )} \) je \( k \)-tá aproximace řešení soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \). Potom definujeme reziduum v \( k \)-té iteraci
−
\begin{theorem}[Jordan]
+
\[ \vec r^{( k )} = \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \]
−
\label{JordanovaVeta}
+
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_p \) jsou všechna její navzájem různá vlastní čísla. Pak je matice \( \matice A \) podobná blokově diagonální (Jordanově) matici \( \matice J \) tvaru:
+
−
\[ \matice J =
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
\matice J_1^1 &&&&&&&&&&&&& \\
+
−
& \matice J_2^1 &&&&&&&&&&&& \\
+
−
&& \ddots &&&&&&&&&&& \\
+
−
&&& \matice J_{s_1}^1 &&&&&&&&&& \\
+
−
&&&& \matice J_1^2 &&&&&&&&& \\
+
−
&&&&& \matice J_2^2 &&&&&&&& \\
+
−
&&&&&& \ddots &&&&&&& \\
+
−
&&&&&&& \matice J_{s_2}^2 &&&&&& \\
+
−
&&&&&&&& \matice J_1^3 &&&&& \\
+
−
&&&&&&&&& \ddots &&&& \\
+
−
&&&&&&&&&& \matice J_1^p &&& \\
+
−
&&&&&&&&&&& \matice J_2^p && \\
+
−
&&&&&&&&&&&& \ddots & \\
+
−
&&&&&&&&&&&&& \matice J_{s_p}^p \\
+
−
\end{pmatrix} \]
+
−
kde:
+
−
\[ \matice J_i^k =
+
−
\begin{pmatrix}
+
−
\lambda_k &&& \\
+
−
1 & \lambda_k && \\
+
−
& \ddots & \ddots & \\
+
−
&& 1 & \lambda_k \\
+
−
\end{pmatrix}, \;
+
−
\forall k \in \hat p, \forall i \in \hat{s_k} \]
+
−
Matice \( \matice J \) je až na pořadí bloků dána jednoznačně.
+
−
\begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{}
+
−
Bez důkazu.
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\subsection{Vlastní čísla matice}
+
−
 
+
−
\setcounter{define}{43}
+
−
\begin{theorem}
+
−
\label{PodobneEigenvalue}
+
−
Podobné matice \( \matice A \) a \( \matice B \) mají stejná vlastní čísla se stejnou geometrickou násobností.
+
−
\begin{proof}
+
−
Díky podobnosti existuje taková matice \( \matice T \), že \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{B T} \). Dále rozložíme \( \matice B \) podle \ref{JordanovaVeta} a označíme \( \matice B = \matice K^{-1} \matice{JK} \), kde \( \matice J \) je Jordanova matice. Pak platí:
+
−
\[ \matice A = \matice T^{-1} \matice{B T} = \matice T^{-1} \matice K^{-1} \matice{J K T} = ( \matice{K T} )^{-1} \matice J ( \matice{K T} ) \]
+
−
což je podobnostní transformace a z čehož díky podmínce jednoznačnosti v \ref{JordanovaVeta} plyne, že matice \( \matice J \) je Jordanovou maticí k matici \( \matice A \). Z definice Jordanovy matice pak plyne tvrzení věty.
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\subsection{Pozitivně definitní matice}
+
−
 
+
−
\begin{define}
+
−
Matice \(\matice A \in \mathbbm T^{n, n}\) je pozitivně definitní \(\Leftrightarrow\) \[ \forall \vec x \neq \vec 0, \; \vec x^*\matice A \vec x \in \matice R^+\]
+
−
značíme \(\matice A > 0\).
+
−
Platí-li pro \(\matice B \in \matice T^{n, n} \) vztah \( \matice A - \matice B > 0 \), pak píšeme \(\matice A > \matice B \).
+
 
\end{define}
 
\end{define}
  
−
\begin{theorem}
+
\setcounter{define}{7}
−
Všechna vlastní čísla pozitivně definitní matice \(\matice A\) jsou kladná. Je-li \(\matice A\) hermitovská matice s kladnými vlastními čísly, pak \(\matice A\) je pozitivně definitní.
+
\begin{theorem}[Apriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody]
 +
\label{ApriorniOdhad}
 +
Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru
 +
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
 +
splňující
 +
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
 +
a dále splňující pro nějakou maticovou normu
 +
\[ \lVert \matice B \rVert < 1 \]
 +
platí
 +
\[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \]
 +
kde používaná vektorová norma je souhlasná s normou maticovou.
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
\begin{itemize}
+
\[ \vec x^{(k)} = \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c = \dots = \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c \]
−
\item Nechť \(\lambda\) vlastní číslo \(\matice A\) a \(\vec x\) příslušný vlastní vektor.
+
\[ \vec c = ( \matice I - \matice B) \vec x^* \Rightarrow \vec x^* =\todo{Důkaz 5.8 - regularita} ( \matice I - \matice B )^{-1} \vec c =\todo{Důkaz 5.8 - vysvětlit proč} \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \]
−
\[\braket{\matice A \vec x| \vec x} = \braket{\lambda \vec x|\vec x} = \lambda \lVert \vec x \rVert ^2_2 > 0 \Rightarrow \lambda > 0\]
+
S pomocí těchto dvou rozvojů můžeme za použití trojúhelníkové nerovnosti a vzorce pro součet geometrické řady odhadovat
−
\item Podle \ref{SchurovaVeta} \(\matice A = \matice{U^* D U}\) kde \(\matice D > 0 \). Vezmu tedy libovolný vektor \(\vec c \neq \vec 0\) a vektor \(\vec y = \matice U \vec x \Rightarrow \vec y \neq \vec 0\)
+
\[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} - \sum_{i = k}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \left( \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right) \right\rVert \leq \]
−
\[\braket{\matice A \vec x|\vec x} = \braket{\matice{U^*DU}\vec x|\vec x} = \braket{\matice {DU}\vec x|\matice U\vec x} = \braket{\matice D \vec y|\vec y}=\vec y^*\matice D\vec y > 0 \Rightarrow \matice D > 0\]
+
\[ \leq \lVert \matice B \rVert^k \left\lVert \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \sum_{i = 0}^\infty \lVert \matice B \rVert^i \lVert \vec c \rVert \right) = \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \]
−
\end{itemize}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\subsection{Normy}
+
\subsection{Metoda postupných aproximací}
  
−
\setcounter{define}{52}
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{NormySendvic}
+
\label{KPostupneAproximace}
−
Pro libovolné dvě normy \( \lVert \, \cdot \, \rVert_1 \) a \( \lVert \, \cdot \, \rVert_2 \) na množině vektorů z \( \mathbbm C^n \) existují kladné konstanty \( \gamma_1 \) a \( \gamma_2 \) takové, že \( \forall \vec x \in \mathbbm C^n \) platí:
+
Metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru
−
\[ \gamma_1 \lVert \vec x \rVert_1 \leq \lVert \vec x \rVert_2 \leq \gamma_2 \lVert \vec x \rVert_1 \]
+
\[ \vec x^{(k + 1)} = ( \matice I - \matice A ) \vec x^{(k)} + \vec b \]
−
\begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{}
+
konverguje pro libovolné \( \vec x^{(0)} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když
−
Bez důkazu, pro zájemce viz Turistický průvodce matematickou analýzou 3, Věta {\color{red} 6.7}
+
\[ \rho ( \matice I - \matice A ) < 1 \]
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
−
 
+
−
\begin{theorem}
+
−
\label{KonvergenceVNorme}
+
−
Nechť \( \left\{ \vec x^{(k)} \right\}_{k = 1}^\infty \) je posloupnost vektorů z \( \mathbbm C^{n} \) a \( \lVert \, \cdot \, \rVert \) libovolná norma. Potom
+
−
\[ \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \Leftrightarrow \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert \rightarrow 0 \]
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
(\( \Rightarrow \)) Pokud \( \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \), pak \( \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert_\infty \rightarrow 0 \) a tento vztah pak díky \ref{NormySendvic} platí pro libovolnou normu.
+
\todo{Důkaz 5.9 - použij \ref{GeomKSpektrum} }
−
\\ (\( \Leftarrow \))
+
−
Díky \ref{NormySendvic} platí \( \lVert \vec x^{(k)} - \vec x \rVert_\infty \rightarrow 0 \), tedy \( \max\limits_{i \in \hat n} \lvert \vec x_i^{(k)} - \vec x_i \rvert \rightarrow 0 \) a proto \( \forall i \in \hat n, \; \lvert \vec x_i^{(k)} - \vec x_i \rvert \rightarrow 0 \), což je jinak zapsáno \( \vec x^{(k)} \rightarrow \vec x \)
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\setcounter{define}{59}
 
−
\begin{theorem}
 
−
\label{NormaMatice}
 
−
Při značení:
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_\infty = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_\infty \]
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _1 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_1 \]
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2 \]
 
−
 
−
pro každou matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) platí vztahy:
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{i \in \hat n} \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \]
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \]
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert _2 = \sqrt{\rho ( \matice {A^* A} ) } \]
 
−
\begin{proof}
 
−
\begin{enumerate}[(1)]
 
−
\item \( \lVert \matice A \rVert_\infty = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_\infty = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_\infty = \max\limits_{i \in \hat n} \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \)
 
−
\\ Pro každé pevné \( i \in \hat n \) volíme \( \vec x_j = \sgn \matice A_{ij} \) a potom \( ( \matice A \vec x )_i = \sum_{j = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \). Platí \( \lVert \vec x \rVert_\infty = 1 \) a tvrzení plyne z definice \( \lVert \, \cdot \, \rVert_\infty \).
 
 
\begin{remark*}
 
\begin{remark*}
−
Hledáme maxima přes řádky, maximové normě pro matice se tedy říká také řádková norma.
+
Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou
 +
\[ \lVert \matice I - \matice A \rVert < 1 \]
 
\end{remark*}
 
\end{remark*}
−
\item \( \lVert \matice A \rVert_1 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert _1 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_1 = \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \)
 
−
\\ Volím \( k \) aby \( \matice A_{\cdot k} \) byl maximální (\( \forall l \neq k, \; \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{il} \rvert \leq \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert \)). Poté volím \( \vec x \) tak, že \( \forall i \neq k, \; \vec x_i = 0 \) a \( \vec x_k = 1 \). Tento vektor splňuje \( \lVert \vec x \rVert _1 = 1 \) a zároveň tím maximalizuji \( \lVert \matice A \vec x \rVert_1 \). Z \( \max\limits_{j \in \hat n} \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert = \sum_{i = 1}^n \lvert \matice A_{ik} \rvert \) potom plyne tvrzení věty.
 
−
\begin{remark*}
 
−
Hledáme maxima přes sloupce, normě se tedy říká sloupcová.
 
−
\end{remark*}
 
−
\item \( \lVert \matice A \rVert _2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2 = \sqrt{\rho ( \matice {A^* A} )} \)
 
−
\[ \lVert \matice A \rVert_2^2 = \max\limits_{\lVert \vec x \rVert_2 = 1} \lVert \matice A \vec x \rVert_2^2 = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\lVert \matice A \vec x \rVert_2^2}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice A \vec x | \matice A \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {A^* A} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} \]
 
−
Dále využijeme toho, že matice \( \matice {A^* A} \) je normální (ověření na řádek práce s hvězdičkováním), tedy lze ji napsat ve tvaru \( \matice {U^* D U} \)
 
−
\[\max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {A^* A} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec x | \matice {U^* D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice U \vec x | \matice {D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} \]
 
−
Označíme  \(\vec y = \matice U \vec x\) a díky \ref{UnitarniZachovavaNormu} platí \(\lVert \vec y \rVert = \lVert \vec x \rVert\). Dále označíme \( \lambda_i = \matice D_{ii} \)
 
−
\[ \max\limits_{\vec x \neq \vec 0} \frac{\braket{\matice U \vec x | \matice {D U} \vec x}}{\lVert \vec x \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec y \neq \vec 0} \frac{\braket{\vec y | \matice D \vec y}}{\lVert \vec y \rVert_2^2} = \max\limits_{\vec y \neq \vec 0} \frac{\sum_{i = 1}^n \lvert \lambda_i \rvert \lvert y_i \rvert^2}{\sum_{i = 1}^n \lvert y_i \rvert^2} = \max\limits_{\lVert \vec y \rVert_2 = 1} \sum_{i = 1}^n \lvert \lambda_i \rvert \lvert y_i \rvert^2\]
 
−
\begin{remark*}
 
−
Je-li \(\matice A\) hermitovská, platí \(\matice {A^*A} = \matice A^2\) a \(\lVert \matice A \rVert _2 = \sqrt{\rho(\matice A^2)} = \rho(\matice A)\).
 
−
\\ Je-li \(\matice A\) unitární, pak \(\lVert \matice A \rVert _2 = 1\) \qedhere
 
−
\end{remark*}
 
−
\end{enumerate}
 
−
\end{proof}
 
−
\end{theorem}
 
−
 
−
\subsection{Konvergence geometrické posloupnosti matic}
 
−
 
−
\begin{lemma*}
 
−
Nechť \( \matice J \in \mathbbm C^{n, n} \) je Jordanovou maticí z rozkladu \ref{JordanovaVeta}. Potom platí
 
−
\[ (\matice J^k)_{ij} =
 
−
\begin{cases}
 
−
0, & i < j \\
 
−
\binom{k}{i - j} \lambda^{k - (i - j)}, & i \geq j \\
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
\begin{proof}
 
−
Indukcí podle \( k \)
 
−
\begin{itemize}
 
−
\item \( k = 1 \)
 
−
\\ Plyne přímo z \ref{JordanovaVeta}.
 
−
\item \( k \rightarrow k + 1 \)
 
−
\[ (\matice J^{k + 1})_{ij} = (\matice J \matice J^k)_{ij} = \sum_{l = 1}^n \matice J_{il} ( \matice J^k )_{lj} \]
 
−
Z definice Jordanovy matice platí, že
 
−
\[ \matice J_{il} =
 
−
\begin{cases}
 
−
1, & l = i - 1 \\
 
−
\lambda, & l = i \\
 
−
0, & \text{jinak} \\
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
a tedy
 
−
\[ \sum_{l = 1}^n \matice J_{il} ( \matice J^k )_{lj} = (\matice J^k)_{i - 1, j} + \lambda (\matice J^k)_{i, j} \]
 
−
Použijeme indukční předpoklad
 
−
\[ (\matice J^k)_{i - 1, j} + \lambda (\matice J^k)_{i, j} =
 
−
\begin{cases}
 
−
0, & i < j \\
 
−
0 + \lambda \binom{k}{i -j} \lambda^{k - (i - j)} = \lambda^{k + 1}, & i = j \\
 
−
\binom{k}{i - j -1}\lambda^{k - (i - 1 - j)} + \lambda \binom{k}{i - j} \lambda^{k - (i - j)} = \binom{k + 1}{i - j} \lambda^{k + 1 - (i - j)}, & i > j \\
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
kde poslední rovnost plyne ze vztahu \( \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k} \) \qedhere
 
−
\end{itemize}
 
−
\end{proof}
 
−
\end{lemma*}
 
  
−
\setcounter{define}{62}
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{GeomKSpektrum}
+
\label{PolynomEigenvalues}
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
+
Nechť \( p(t) \) je polynom, \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lambda \in \sigma ( \matice A ) \). Potom \( p( \lambda ) \in \sigma ( p( \matice A ) ) \).
−
\[ \matice A^k \rightarrow \Theta \Leftrightarrow \rho ( \matice A ) < 1 \]
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
Podle \ref{JordanovaVeta} rozložíme \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \) a platí \( \matice A^k = \matice T^{-1} \matice J^k \matice T \). Díky lemmatu je zřejmé, že \( \lim\limits_{k \rightarrow \infty} (\matice J^k)_{ij} = 0 \) právě tehdy, pokud pro všechna vlastní čísla \( \lambda \) platí \( \lvert \lambda \rvert < 1 \).
+
\todo{Důkaz 5.10 - použij \ref{JordanovaVeta} }
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 +
\begin{example*}
 +
Vezmeme polynom \( p (t) = at^2 + bt + c \). Potom \( p( \matice A ) = a \matice A^2 + b \matice A + c \matice I \).
 +
\todo{Příklad k 5.10 z přednášky}
 +
\end{example*}
  
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{GeomKNorma}
+
\label{KHermPDPostupneAproximace}
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
+
Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak metoda postupných aproximací konverguje právě tehdy, když
−
\[ \exists \; \text{maticová norma} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \lVert \matice A \rVert < 1 \Rightarrow \matice A^k \rightarrow \Theta \]
+
\[ \Theta < \matice A < 2 \matice I \]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
Z \( \lVert \matice A \rVert < 1 \) plyne:
+
Díky hermitovskosti matice a \ref{KPostupneAproximace} metoda postupných aproximací konverguje právě tehdy, když \( \sigma ( \matice I - \matice A ) \subset \left( -1 , 1 \right) \), tedy právě tehdy, když \( \sigma ( \matice A ) \subset \left( 0 , 2 \right) \). Použitím \ref{PolynomEigenvalues} ( kde \( \matice A = \matice I \) a \( p(t) = 2t \) ) dostaneme díky faktu, že matice \( \matice I \) má jedinné vlastní číslo 1 tvrzení věty.
−
\[ \lVert \matice A^k \rVert \leq \lVert \matice A \rVert^k < 1^k \Rightarrow \lVert \matice A^k \rVert \rightarrow 0 \Rightarrow \matice A^k \rightarrow \Theta \]
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\begin{theorem}
+
\subsection{Předpodmíněná metoda postupných aproximací}
−
\label{AbsEigenvalueVSNorma}
+
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
+
−
\[ \forall \; \text{maticové normy} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \rho ( \matice A ) \leq \lVert \matice A \rVert \]
+
−
\begin{proof}
+
−
Označíme \( \lambda^{\matice A} \in \sigma ( \matice A ) \) a \( \forall \varepsilon > 0 \) označíme
+
−
\[ \matice B = \frac{1}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \matice A \]
+
−
a potom
+
−
\[ \lVert \matice B \rVert = \frac{\lVert \matice A \rVert}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} < 1 \Rightarrow \matice B^k \rightarrow \Theta \]
+
−
díky \ref{GeomKNorma}. Pro nějaký \( \vec x \) vlastní vektor matice \( \matice A\) platí
+
−
\[ \matice B \vec x =  \frac{1}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \matice A \vec x =  \frac{\lambda^{\matice A}}{\lVert \matice A \rVert + \varepsilon} \vec x = \lambda^{\matice B} \vec x \]
+
−
Kde platí \( \lambda^{\matice B} \in \sigma ( \matice B ) \) a \( \lambda^{\matice B} < 1 \) díky \ref{GeomKSpektrum}. Pak platí
+
−
\[ \lvert \lambda^{\matice A} \rvert = ( \lVert \matice A \rVert + \varepsilon ) \lambda^{\matice B} < \lVert \matice A \rVert + \varepsilon, \; \forall \varepsilon > 0 \]
+
−
a tedy \( \lvert \lambda^{\matice A} \rvert \leq \lVert \matice A \rVert \)
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+
  
 +
\setcounter{define}{12}
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
−
\label{NutPostK}
+
\label{KPredpodmineneMetody}
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom platí
+
Předpodmíněná metoda postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H \) pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru
−
\[ \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i < \infty \Leftrightarrow \matice A^k \rightarrow \Theta \]
+
\[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \matice{H A} ) \vec x^{( k )} + \matice H \vec b \]
−
a
+
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když
−
\[ \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i < \infty \Rightarrow \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i = ( \matice I - \matice A )^{-1} \]
+
\[ \rho ( \matice I - \matice{H A} ) < 1 \]
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
−
Označíme \( \matice S_k = \sum_{i = 0}^k \matice A^i \) a platí
+
\todo{Důkaz 5.13}
−
\[ ( \matice I - \matice A ) \matice S_k = \matice I - \matice A^{k + 1} \]
+
−
Matici \( \matice A \) rozložíme podle \ref{JordanovaVeta}: \( \matice A = \matice{T J} \matice T^{-1} \) a platí
+
−
\[ \matice I - \matice A = \matice{T I} \matice T^{-1} - \matice{T J} \matice T^{-1} = \matice T ( \matice I - \matice J ) \matice T^{-1} \]
+
−
a jelikož díky \ref{GeomKSpektrum} jsou prvky na diagonále matice \( ( \matice I - \matice J ) \) nenulové, je tato matice regulární, pak je i \( ( \matice I - \matice A ) \) regulární a tedy
+
−
\[ \matice S_k = ( \matice I - \matice A )^{-1} ( \matice I - \matice A^{k + 1} ) \]
+
−
což má konečnou limitu právě pro \( \matice A^k \rightarrow \Theta \) rovnu \( ( \matice I - \matice A )^{-1} \)
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
−
\begin{theorem}
+
\begin{remark*}
−
\label{GeomRozvoj}
+
Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence předpodmíněné metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou
−
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lVert \matice A \rVert < 1 \). Potom platí
+
\[ \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert < 1 \]
−
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice A )^{-1} - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert \leq \frac{\lVert \matice A \rVert^{k + 1}}{1 - \lVert \matice A \rVert}, \; \forall k \in \mathbbm N \]
+
\end{remark*}
−
\begin{proof}
+
−
Díky \ref{GeomKNorma} a \ref{NutPostK} víme \( ( \matice I - \matice A )^{-1} = \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i \) a tedy při využití trojúhelníkové nerovnosti \( ( \lVert \matice{A B} \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \matice B \rVert ) \) platí
+
−
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice A )^{-1} - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i - \sum_{i = 0}^k \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \sum_{i = k + 1}^\infty \matice A^i \right\rVert = \left\lVert \matice A^{k + 1} \sum_{i = 0}^\infty \matice A^i \right\rVert \leq \lVert \matice A^{k + 1} \rVert \sum_{i = 0}^\infty \lVert \matice A \rVert^i = \frac{\lVert \matice A \rVert^{k + 1}}{1 - \lVert \matice A \rVert} \]
+
−
kde poslední rovnost plyne ze vzorce pro součet geometrické řady.
+
−
\end{proof}
+
−
\end{theorem}
+

Verze z 26. 12. 2015, 22:57

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NUM1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NUM1Kubuondr 26. 11. 201617:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůDedicma2 23. 5. 201722:31
Header editovatHlavičkový souborDedicma2 17. 1. 201617:20 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníDedicma2 23. 5. 201722:32 preamble.tex
Kapitola2 editovatOpakování a doplnění znalostí z lineární algebryKubuondr 30. 1. 201718:14 prezentace2.tex
Kapitola3 editovatÚvod do numerické matematikyKubuondr 10. 12. 201615:17 prezentace3.tex
Kapitola4 editovatPřímé metody pro lineární soustavyKubuondr 30. 1. 201712:27 prezentace4.tex
Kapitola5 editovatIterativní metodyKubuondr 31. 1. 201711:41 prezentace5.tex
Kapitola6 editovatVlastní čísla a vektory maticKubuondr 31. 1. 201714:13 prezentace6.tex
Kapitola7 editovatNelineární rovniceKubuondr 31. 1. 201715:27 prezentace7.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKubuondr 31. 1. 201716:43 prezentace8.tex
Kapitola9 editovatDerivace a integraceKubuondr 31. 1. 201718:33 prezentace9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Iterativní metody}
 
\subsection{Iterativní metody obecně}
 
\begin{theorem}
\label{KIterativniMetody}
Iterativní metoda tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B^{( k )} \vec x^{( k )} + \vec c^{( k )} \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B^{( k )} \vec x^* + \vec c^{( k )} \]
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^k \matice B^{( i )} = \Theta \]
\begin{proof}
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} - \vec x^* = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1)} \vec x^{( k -1 )} + \vec c^{( k - 1 )} - \matice B^{( k - 1 )} \vec x^* + \vec c^{( k - 1 )} = \]
\[ = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1 )} ( \vec x^{( k -1 )} - \vec x^* ) = \dots = \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^{k - 1} \matice B^{( i )} ( \vec x^{( 0 )} - \vec x^* ) \]
což je rovno nule pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) právě tehdy, je-li splněna podmínka z věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Stacionární iterativní metody}
 
\begin{theorem}
\label{KStacionarniIterativniMetody}
Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
\[ \lim_{k \rightarrow \infty } \matice B^k = \Theta \]
\begin{proof}
\( \matice B^k = \prod_{i = 0}^k \matice B \) a tedy platnost této věty plyne přímo z \ref{KIterativniMetody}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{KStacionarniIterativniMetodySpektrum}
Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když
\[ \rho ( \matice B ) < 1 \]
\begin{proof}
Plyne z \ref{GeomKSpektrum} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{KStacionarniIterativniMetodyNorma}
Postačující podmínkou pro to, aby stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
konvergovala pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) je
\[ \exists \; \text{maticová norma} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \lVert \matice B \rVert < 1 \]
\begin{proof}
Plyne z \ref{GeomKNorma} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Aposteriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody]
\label{AposteriorniOdhad}
Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
kde \( \vec x^* \) je řešením soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), platí tyto odhady chyby aproximace řešení:
\begin{enumerate}[(1)]
\item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \)
\\
\item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \lVert \matice B \rVert \left\lVert \vec x^{( k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \)
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item
\[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice A^{-1} ( \matice A \vec x^{( k )} - \vec b ) \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \]
kde poslední nerovnost plyne z trojúhelníkové nerovnosti.
\item
\[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} ( ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert \]
kde poslední nerovnost je opět aplikací trojúhleníkové nerovnosti.
\[ \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k)} - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert =  \]
\[ = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B ( \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \]
kde poslední nerovnost je znovu pouze aplikací trojúhelníkové nerovnosti. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}[V prezentaci poznámka]
Nechť \( \vec x^{( k )} \) je \( k \)-tá aproximace řešení soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \). Potom definujeme reziduum v \( k \)-té iteraci
\[ \vec r^{( k )} = \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \]
\end{define}
 
\setcounter{define}{7}
\begin{theorem}[Apriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody]
\label{ApriorniOdhad}
Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \]
splňující
\[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \]
a dále splňující pro nějakou maticovou normu
\[ \lVert \matice B \rVert < 1 \]
platí
\[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \]
kde používaná vektorová norma je souhlasná s normou maticovou.
\begin{proof}
\[ \vec x^{(k)} = \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c = \dots = \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c \]
\[ \vec c = ( \matice I - \matice B) \vec x^* \Rightarrow \vec x^* =\todo{Důkaz 5.8 - regularita} ( \matice I - \matice B )^{-1} \vec c =\todo{Důkaz 5.8 - vysvětlit proč} \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \]
S pomocí těchto dvou rozvojů můžeme za použití trojúhelníkové nerovnosti a vzorce pro součet geometrické řady odhadovat
\[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} - \sum_{i = k}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \left( \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right) \right\rVert \leq \]
\[ \leq \lVert \matice B \rVert^k \left\lVert \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \sum_{i = 0}^\infty \lVert \matice B \rVert^i \lVert \vec c \rVert \right) = \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Metoda postupných aproximací}
 
\begin{theorem}
\label{KPostupneAproximace}
Metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru
\[ \vec x^{(k + 1)} = ( \matice I - \matice A ) \vec x^{(k)} + \vec b \]
konverguje pro libovolné \( \vec x^{(0)} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když
\[ \rho ( \matice I - \matice A ) < 1 \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 5.9 - použij \ref{GeomKSpektrum} }
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark*}
Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou
\[ \lVert \matice I - \matice A \rVert < 1 \]
\end{remark*}
 
\begin{theorem}
\label{PolynomEigenvalues}
Nechť \( p(t) \) je polynom, \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lambda \in \sigma ( \matice A ) \). Potom \( p( \lambda ) \in \sigma ( p( \matice A ) ) \).
\begin{proof}
\todo{Důkaz 5.10 - použij \ref{JordanovaVeta} }
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example*}
Vezmeme polynom \( p (t) = at^2 + bt + c \). Potom \( p( \matice A ) = a \matice A^2 + b \matice A + c \matice I \).
\todo{Příklad k 5.10 z přednášky}
\end{example*}
 
\begin{theorem}
\label{KHermPDPostupneAproximace}
Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak metoda postupných aproximací konverguje právě tehdy, když
\[ \Theta < \matice A < 2 \matice I \]
\begin{proof}
Díky hermitovskosti matice a \ref{KPostupneAproximace} metoda postupných aproximací konverguje právě tehdy, když \( \sigma ( \matice I - \matice A ) \subset \left( -1 , 1 \right) \), tedy právě tehdy, když \( \sigma ( \matice A ) \subset \left( 0 , 2 \right) \). Použitím \ref{PolynomEigenvalues} ( kde \( \matice A = \matice I \) a \( p(t) = 2t \) ) dostaneme díky faktu, že matice \( \matice I \) má jedinné vlastní číslo 1 tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Předpodmíněná metoda postupných aproximací}
 
\setcounter{define}{12}
\begin{theorem}
\label{KPredpodmineneMetody}
Předpodmíněná metoda postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H \) pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru
\[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \matice{H A} ) \vec x^{( k )} + \matice H \vec b \]
konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když
\[ \rho ( \matice I - \matice{H A} ) < 1 \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 5.13}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark*}
Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence předpodmíněné metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou
\[ \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert < 1 \]
\end{remark*}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM1:Kapitola5&oldid=5761“