Verze z 30. 12. 2015, 21:46

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Přímé metody pro lineární soustavy}
 
\subsection{Gaussova eliminační metoda - numerická analýza}
 
\setcounter{define}{4}
\begin{theorem}
\label{GEMRegularni}
Základní Gaussovu eliminační metodu lze provést právě tehdy, když je matice soustavy silně regulární.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item[( \( \Rightarrow \) )] Protože lze provést Gaussovu eliminační metodu, má matice \( \matice A \) nenulové pivoty, tj.
\[ \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0, \; \forall i \in \hat n \]
a existuje rozklad \( \matice A = \matice M^{-1} \matice U \). Označíme \( \matice L = \matice M^{-1} \) a víme, že
\[ \matice L_{ii} = \matice A_{ii}^{( i + 1 )}, \; \forall i \in \hat n \]
Dále víme, že na diagonále matice \( \matice U \) jsou jedničky, tedy \( \det U = 1 \). Blokově rozepíšeme (velikosti bloků jsou stejné):
\[ \matice A = \matice{L U} =
\begin{pmatrix}
\matice A_1 & \matice A_2 \\
\matice A_3 & \matice A_4 \\
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\matice L_1 & \Theta \\
\matice L_2 & \matice L_3 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\matice U_1 & \matice U_2 \\
\Theta & \matice U_3 \\
\end{pmatrix}
\]
a tedy 
\[ \det \matice A_1 = \det \matice L_1 \det \matice U_1 = \prod_{i = 1}^n \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0 \]
Protože velikost bloků můžeme volit libovolně, je matice \( \matice A \) silně regulární.
\item[( \( \Leftarrow \) )] \todo{Důkaz 4.5}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{LU rozklad pro symetrické matice - Choleského dekompozice}
 
\setcounter{define}{10}
\begin{theorem}[Choleského rozklad]
\label{CholeskehoRozklad}
Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a regulární. Pak existuje horní trojúhelníková matice \( \matice S \) taková, že platí
\[ \matice A = \matice S^* \matice S \]
Tomuto rozkladu se říká Choleského rozklad (dekompozice).
\begin{proof}
Díky \ref{LDR} platí \( \matice A = \matice{L D R} \) a \( \matice A^* = \matice R^* \matice D^* \matice L^* \). Protože je matice \( \matice A \) hermitovská, platí díky jednoznačnosti rozkladu \ref{LDR} \( \matice L = \matice R^* \) a \( \matice D = \matice D^* \). Označíme \( \matice S = \sqrt \matice D \matice R \) a pak platí
\[ \matice S^* \matice S = \matice R^* \sqrt{\matice D^*} \sqrt \matice D \matice R = \matice{L D R} = \matice A \]
\end{proof}
\end{theorem}