01NM:Kapitola5: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: \section{Iterační metody řešení rovnice tvaru $f(x)=0$} Buď $f$ reálná funkce jedné reálné proměnné. Numerické řešení rovnice $f(x)=0$ sestává ze dvou et…)
 
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od jednoho dalšího uživatele.)
Řádka 1: Řádka 1:
 +
%\wikiskriptum{01NM}
 +
 
\section{Iterační metody řešení rovnice tvaru $f(x)=0$}
 
\section{Iterační metody řešení rovnice tvaru $f(x)=0$}
 
Buď $f$ reálná funkce jedné reálné proměnné. Numerické řešení rovnice $f(x)=0$ sestává ze dvou etap:
 
Buď $f$ reálná funkce jedné reálné proměnné. Numerické řešení rovnice $f(x)=0$ sestává ze dvou etap:
Řádka 289: Řádka 291:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{tvrz}
 
\end{tvrz}
 
 
 
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit !
 
%\parentlatexfile{01NMskriptum}
 
%\usewikiobsah{01NM:Obsah}
 

Aktuální verze z 1. 8. 2010, 10:25

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NM

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NMAdmin 1. 8. 201010:22
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKlinkjak 1. 9. 201522:49 header.tex
Kapitola1 editovatFinitní metodyAdmin 1. 8. 201010:24 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatIterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnicKlinkjak 3. 9. 201519:49 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatČástečný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatÚplný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatIterační metody řešení rovnice tvaru f(x)=0Admin 1. 8. 201010:25 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatIterační metody pro řešení systémů nelineárních algebraických a transcendentních rovnicAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLagrangeova interpolaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatNumerický výpočet derivaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatNumerický výpočet integrálu Admin 1. 8. 201010:25 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NM}
 
\section{Iterační metody řešení rovnice tvaru $f(x)=0$}
Buď $f$ reálná funkce jedné reálné proměnné. Numerické řešení rovnice $f(x)=0$ sestává ze dvou etap:
\begin{enumerate}
\item separace kořenů, tj. nalezení intervalů, z nichž v každém leží právě jeden kořen, nebo alespoň nalezení intervalu, v němž leží nějaký kořen,
\item výpočet odseparovaného kořene se zadanou přesností.
\end{enumerate}
 
Obecný postup pro separaci kořenů je znám pouze pro algebraické rovnice. Proto se spokojíme s následující větou:
\begin{theorem}
Buďte
\begin{enumerate}
\item $f$ funkce spojitá na $\langle a, b\rangle$,
\item $f(a)\ne 0\wedge f(b)\ne 0$,
\item $\text{sgn} f(a)\ne\text{sgn} f(b)$.
\end{enumerate}
Potom rovnice $f(x)=0$ má v $(a, b)$ alespoň jeden kořen. Jestliže navíc $f'$ nemění na $(a, b)$ znamení, je to kořen právě jediný.
\end{theorem}
\begin{dusl}
Buďte $\phi, \psi$ dvě funkce spojité v $\langle a, b\rangle$ a nechť je splněna jedna z následujících podmínek:
\begin{enumerate}
\item $\phi(a)<\psi(a)\wedge\phi(b)>\psi(b)$,
\item $\phi(a)>\psi(a)\wedge\phi(b)<\psi(b)$.
\end{enumerate}
Potom rovnice $\phi(x)=\psi(x)$ má v $(a, b)$ alespoň jeden kořen.
\end{dusl}
\begin{remark}
Smysl právě uvedeného důsledku ihned vyplyne, zvolíme-li v něm za funkci $\psi$ identitu. Kořen rovnice $f(x)=0$ je totiž pevným bodem funkce $\phi:x\mapsto f(x)+x$. Stejně jako iterační metody řešení soustavy lineárních algebraických rovnic budou tedy i metody řešení rovnice tvaru $f(x)=0$ aplikacemi věty o pevném bodě.
\end{remark}
\subsection{Princip iteračních metod}
Rovnici $f(x)=0$ převedeme na tvar $x=\phi(x)$ a konstruujeme iterační posloupnost $(x_n)$ podle vztahu $x_{k+1}=\phi(x_k)$. Provedeme-li v tomto vztahu limitní přechod, získáme následující pozorování:
\begin{tvrz}
Jestliže iterační posloupnost $(x_n)$ konverguje, potom je její limitou kořen rovnice $x=\phi(x)$.
\end{tvrz}
\begin{theorem}
\label{okonvergenci}
Buďte
\begin{enumerate}
\item $\alpha$ kořen rovnice $x=\phi (x)$,
\item $\phi$ diferencovateln\' a na jeho okolí $V = \{ x | \abs{x-\alpha}\leq r \}=\langle\alpha-r, \alpha+r\rangle$,
\item $(\forall x \in V)(\abs{\phi '(x)}\leq K<1)$.
\end{enumerate}
Potom posloupnost $(x_n)$ definovan\' a vztahem $x_{n+1}=\phi (x_n)$ konverguje pro každ\' e $x_0 \in V$.
\begin{proof}
Matematickou indukcí dokážeme, že platí
\[
x_0\in V\Rightarrow(\forall k \in \N)(x_k\in V).
\]
\begin{enumerate}
\item Buď $x_0\in V$. Dokážeme, že $x_1\in V$:
\[
\abs{x_1 - \alpha}=\abs{\phi(x_0)-\phi(\alpha)}=\abs{\phi '(\xi)} \abs{x_0 - \alpha}\leq Kr<r,
\]
neboť $\xi\in(x_0, \alpha)$.
\item Buďte $(\forall i\in\hat k_0)(x_i\in V)$. Dokážeme, že $x_{k+1}\in V$:
\[
\abs{x_{k+1} - \alpha} = \abs{\phi(x_k) - \phi(\alpha)}=\abs{\phi '(\xi_k)} \abs{x_k - \alpha} \leq K \abs{x_k - \alpha} \leq
\]
\[
\le K^2 \abs{x_{k-1} - \alpha} \leq ... \leq K^{k+1} \abs {x_0 - \alpha}.
\]
\end{enumerate}
Protože $K<1$, konverguje posloupnost $(K^n)$ k nule, a tak $x_n\rightarrow \alpha$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
Buď $\phi '$ spojitá v okolí bodu $\alpha$ a nechť $\abs{\phi '(\alpha)}<1$. Potom posloupnost $(x_n)$ konverguje, je-li $x_0$ zvoleno dostatečně blízko $\alpha$.
 
\begin{proof}
Stačí zvolit okolí $V$ tak, aby pro všechna $x \in V$ platilo $\abs{\phi '(x)}<1$.
\end{proof}
\end{dusl}
 
 
\begin{define}
Řekneme, že iterační metoda dan\' a vzorcem $x_{k+1}=\phi (x_k)$ m\' a ř\' ad konvergence $m$, jestliže $\phi$ m\' a spojit\' e derivace v okolí $\alpha$ do ř\' adu $m$ včetně (tj. $\phi\in\mathcal C^{(m)}(H_\alpha)$) a platí $\phi '(\alpha)=\phi ''(\alpha)=...=\phi^{(m-1)} (\alpha)=0\wedge\phi^{(m)} \ne 0$.
\end{define}
 
 
\begin{remark}[vliv ř\' adu konvergence na její rychlost]
Nechť je d\' ana iterační metoda, která m\' a ř\' ad konvergence $m$. Potom
\[
x_{k+1}-\alpha=\phi(x_k)-\phi(\alpha)=(x_k-\alpha) \phi'(\alpha)+\frac{(x_k-\alpha)^2}{2!} \phi ''(\alpha)+\hdots+ 
\]
\[
+ \frac{(x_k-\alpha)^{m-1}}{(m-1)!} \phi ^{(m-1)} (\alpha) + \frac{(x_k-\alpha)^m}{m!} \phi^{(m)} (\xi)=\frac{(x_k-\alpha)^m}{m!} \phi^{(m)} (\xi).
\]
Protože je $\phi^{(m)}$ spojit\' a, můžeme ji na omezen\' em intervalu odhadnout konstantou, a proto
\begin{equation}
\label{rad}
\abs{x_{k+1}-\alpha}\leq M_m \abs{x_k-\alpha}^m.
\end{equation}
\end{remark}
 
\begin{remark}
Je-li v (\ref{rad}) $m=2$, řík\' ame, že metoda konverguje kvadraticky, v případě $m=3$ kubicky, no a s rychlejšíma se setk\' av\' ame tak akor\' at v poh\' adk\' ach.
\end{remark}
 
 
\begin{remark}[grafick\' a interpretace iteračních metod]
Při hled\' aní kořenů rovnice $x=\phi (x)$ konstruujeme lomenou č\' aru, kter\' a se lomí při dosažení grafu funkce $y=\phi (x)$ nebo osy kvadrantu $y=x$.
\end{remark}
 
\subsection{Metoda Regula falsi}
Nechť je kořen $\alpha$ rovnice $f(x)=0$ odseparov\' an v intervalu $\langle a, b\rangle$, $f'(\alpha)\ne 0$. Předpokl\' adejme, že $f'$ i $f''$ jsou v $\langle a, b\rangle$ spojit\' e a nemění v něm znamení. Zvolme $p \in \{a, b\}$ tak, aby platilo $f(p) f''(p)>0$. Za v\' ychozí bod $x_0$ posloupnosti $(x_n)$ zvolme zbyl\' y prvek množiny $\{a, b\}$, takže bude platit $f(x_0) f''(x_0)<0$. Další bod $x_1$ získáme jako $x$-ovou souřadnici průsečíku spojnice bodů $[x_0, f(x_0)]$ a $[p, f(p)]$ s osou $x$ atd.
Rovnice přímky spojující body $[x_0, f(x_0)]$ a $[p, f(p)]$ je
\[
y-f(x_0)=\frac{f(p)-f(x_0)}{p-x_0} (x-x_0).
\]
Položíme-li $y=0$, získ\' ame $x$-ovou souřadnici průsečíku t\' eto přímky s osou $x$, tj. bod $x_1$:
\[
-f(x_0)=\frac{f(p)-f(x_0)}{p-x_0} (x_1-x_0) \Rightarrow x_1=\frac{x_0 f(p)-p f(x_0)}{f(p)-f(x_0)}.
\]
Obecně pro $k \in \N$ je
\begin{equation}
\label{fik}
x_{k+1}=\frac{x_k f(p)-p f(x_k)}{f(p)-f(x_k)} \stackrel{k\rightarrow\infty}{\Longrightarrow} \phi (x)=\frac{x f(p)-p f(x)}{f(p)-f(x)}.
\end{equation}
\begin{tvrz}
\label{Regula}
Konvergence metody Regula falsi je zajištěna splněním těchto předpokladů:
\begin{enumerate}
\item $(\exists H_\alpha)(f', f'' \in \mathcal{C}(H_\alpha))$,
\item $f'(\alpha)\ne 0$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zderivov\' aním prav\' e strany (\ref{fik}) dost\' av\' ame
\[
\phi '(x)=\frac{[f(p)-p f'(x)][f(p)-f(x)]+f'(x)[x f(p)-p f(x)]}{[f(p)-f(x)]^2}.
\]
Uv\' ažíme-li, že $f(\alpha)=0$, dozvídáme se
\begin{equation}
\label{derivacefi}
\phi '(\alpha)=\frac{[f(p)-p f'(\alpha)] f(p)+\alpha f'(\alpha) f(p)}{[f(p)]^2}=\frac{f(p)+(\alpha-p) f'(\alpha)}{f(p)}.
\end{equation}
Poslední v\' yraz teď upravíme tak, abychom se zbavili nepříjemn\' eho $f(p)$. Potom totiž dok\' ažeme, že $\abs{\phi '(\alpha)}\le K<1$, a z věty \ref{okonvergenci} vyplyne konvergence metody. Začneme s čitatelem. Rozviňme funkci $f$ do Taylorova rozvoje se středem v bodě $\alpha$:
\[
f(x)=f(\alpha)+\frac{f'(\alpha)}{1!} (x-\alpha)+\frac{f''(\xi)}{2!} (x-\alpha)^2.
\]
Dosadíme-li do tohoto vztahu za $x=p$, dostaneme
\[
f(p)+(\alpha - p) f'(\alpha)=\frac{f''(\xi)}{2} (p-\alpha)^2.
\]
To už vypad\' a celkem pěkně, ale ještě je tu jmenovatel. Rozviňme proto opět funkci $f$, ale tentokr\' at jen do prvního ř\' adu:
$f(x)=f(\alpha)+f'(\eta)(x-\alpha)$, takže pro $x=p$ m\' ame
$f(p)=f'(\eta)(p-\alpha)$.
Nyní již můzeme dosadit do rovnice (\ref{derivacefi}):
\[
\phi '(\alpha)=\frac{f''(\xi) (p-\alpha)^2}{2 f'(\eta) (p-\alpha)}=\frac{f''(\xi) (p-\alpha)}{2 f'(\eta)}.
\]
Z předpokladů 1, 2 vypl\' yv\' a, že podíl $f''(\xi)/f'(\eta)$ lze odhadnout konstantou, a proto je-li $p$ dostatečně blízko $\alpha$, můžeme dosáhnout $\abs{\phi '(\alpha)}$ tak mal\' e, jak potřebujeme.
\end{proof}
\end{tvrz}
 
\subsection{Newtonova metoda}
Nechť je kořen $\alpha$ rovnice $f(x)=0$ odseparov\' an v intervalu $\langle a, b\rangle$, $f'(\alpha)\ne 0$. Předpokl\' adejme, že $f'$ i $f''$ jsou v $\langle a, b\rangle$ spojit\' e a nemění v něm znamení. Za v\' ychozí bod $x_0$ posloupnosti $(x_n)$ zvolme $x_0\in\{a, b\}$ tak, aby platilo $f(x_0) f''(x_0)>0$.
Na rozdíl od metody Regula falsi tedy nem\' ame ž\' adn\' y bod $p$. Místo posloupnosti sečen spojujících body $[x_k, f(x_k)]$ a $[p, f(p)]$ budeme konstruovat posloupnost tečen ke grafu funkce $f$ v bodech $[x_k, f(x_k)]$. Bod $x_{k+1}$ získ\' ame jako $x$-ovou souřadnici průsečíku tečny v bodě $[x_k, f(x_k)]$ s osou $x$.
 
Rovnice tečny v bodě $[x_0, f(x_0)]$ je $y-f(x_0)=f'(x_0) (x-x_0)$. Položíme-li $y=0$, získ\' ame $x$-ovou souřadnici průsečíku t\' eto přímky s osou $x$, tj. bod $x_1$:
\[
-f(x_0)=f'(x_0) (x_1-x_0) \Rightarrow x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.
\]
Obecně pro $k\in\N$ je
\begin{equation}
\label{Newton}
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \stackrel{k\rightarrow\infty}{\Longrightarrow} \phi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
\end{equation}
\begin{tvrz}
Pro konvergenci Newtonovy metody platí naprostá obdoba tvrzení \ref{Regula}.
Je-li navíc $f'''\in\mathcal C(H_\alpha)$, potom má Newtonova metoda řád konvergence 2.
\begin{proof}
Konvergence:
\[
\phi '(x)=1-\frac{{f'}^2 (x)-f(x)f''(x)}{{f'}^2 (x)}=\frac{f(x)f''(x)}{{f'}^2 (x)} \Rightarrow \phi '(\alpha)=0.
\]
Ze spojitosti $\phi '$ plyne existence takového okolí $V$ kořene $\alpha$, že $(\forall x\in V)(\abs{\phi'(x)}\le K<1)$. Nyní stačí použít větu \ref{okonvergenci}.
 
Druhá část tvrzení:
\[
\phi ''(\alpha)=\frac{{f'}^3 (\alpha) f''(\alpha)}{{f'}^4 (\alpha)}=\frac{f''(\alpha)}{f'(\alpha)}\ne 0,
\]
neboť $f''$ nemění v $\langle a\, b\rangle$ znamení. Podle definice jde tedy skutečně o metodu 2. ř\' adu konvergence, tudíž $\abs{x_{k+1}-\alpha}\le M\abs{x_k-\alpha}^2$.
\end{proof}
\end{tvrz}
\begin{tvrz}
Předpoklad existence $f'''$ v předchozím tvrzení je nadbytečn\' y, tj. Newtonova metoda konverguje kvadraticky, i když $f'''$ neexistuje.
\begin{proof}
Podle prvního vztahu ve (\ref{Newton}) platí
\[
x_{k+1}-\alpha=x_k-\alpha-\frac{f(x_k)-f(\alpha)}{f'(x_k)}=x_k-\alpha-\frac{f'(\xi_k) (x_k-\alpha)}{f'(x_k)}=
\]
\[
=\frac{f'(x_k)-f'(\xi_k)}{f'(x_k)} (x_k-\alpha)=\frac{f''(\eta_k)}{f'(x_k)} (x_k-\xi_k)(x_k-\alpha).
\]
Protože $\abs{x_k-\xi_k}<\abs{x_k-\alpha}$, je $\abs{x_{k+1}-\alpha}\le M\abs{x_k-\alpha}^2$.
\end{proof}
\end{tvrz}
 
\subsection{Čebyševova metoda}
Nechť je kořen $\alpha$ rovnice $f(x)=0$ odseparov\' an v intervalu $\langle a, b\rangle$, $f'(\alpha)\ne 0$. Předpokl\' adejme, že $f$ m\' a v $\langle a, b\rangle$ $2r+1$ spojit\' ych derivací a $\langle a, b\rangle$ je tak mal\' y, že $\forall x \in \langle a, b\rangle$ platí $f'(x)\ne 0$. Potom na $\langle a, b\rangle$ existuje $F=f^{-1}$, tj. $(\forall x\in\langle a, b\rangle)(F(f(x))=x)$, a platí $f(\alpha)=0 \Leftrightarrow F(0)=\alpha$.
 
V dalším využijeme existence inverzní funkce $F$. To, že ji ve skutečnosti nezn\' ame, není na z\' avadu, protože nakonec najdeme vhodn\' e vyj\' adření pomocí původní funkce $f$ a jejích derivací. Nejprve funkci $F$ rozvineme pomocí Taylorova vzorce se středem v bodě $y_0$:
\[
F(y)=F(y_0)+\sum_{k=1}^r \frac{F^{(k)} (y_0)}{k!} (y-y_0)^k+\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} (y-y_0)^{r+1}.
\]
Položme $y=0$. Potom
\[
F(0)=F(y_0)+\sum_{k=1}^r (-1)^k \frac{F^{(k)}(y_0)}{k!} y_0^k + (-1)^{r+1} \frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} y_0^{r+1},
\]
kde $\eta \in (0, y_0)$. Po dosazení za $F(0)=\alpha$ a $y_0=f(x)$ m\' ame
\[
\alpha=x+\sum_{k=1}^{r}(-1)^k \frac{F^{(k)}(f(x))}{k!} f^k (x) + (-1)^{r+1} \frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} f^{r+1} (x),
\]
kde $\eta \in (0, f(x))$. Poslední sčítanec převeďme na levou stranu a označme
\begin{equation}
\label{fir}
\phi_r(x)=\alpha+(-1)^r\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} f^{r+1} (x).
\end{equation}
Označíme-li ještě $a_k(x)=F^{(k)} (f(x))$, potom z předchozích dvou rovností vypl\' yv\' a
\[
\phi_r (x)=x+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}\frac{a_k(x)}{k!} f^k (x).
\]
Z tohoto vztahu nebo již z (\ref{fir}) je zřejmé, že pro $r\in\N$ platí $\phi_r(\alpha)=\alpha$.
\begin{tvrz}
\label{konvrpj}
Iterační metoda dan\' a vzorcem $x_{k+1}=\phi_r(x_k)$ m\' a ř\' ad konvergence alespoň $r+1$.
\begin{proof}
Máme dok\' azat, že platí $\phi_r '(\alpha)=\phi_r ''(\alpha)=...=\phi_r^{(r)} (\alpha)=0$.
Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme existenci takov\' eho $p \in \hat r$, že $\phi_r^{(p)} (\alpha)\ne 0$. (Pokud by takov\' ych $p$ existovalo více, zvolíme nejmenší z nich.) Funkci $\phi_r$ rozvineme do $p$-t\' eho ř\' adu:
\[
\phi_r(x)=\phi_r(\alpha)+\frac{\phi_r^{(p)}(\alpha)}{p!} (x-\alpha)^p + \frac{\phi_r^{(p+1)}(\chi)}{(p+1)!} (x-\alpha)^{p+1}.
\]
(Členy ř\' adů 1 až $p-1$ jsou nulové, a proto je nevypisujeme). Podle Lagrangeovy věty platí
\begin{equation}
\label{Lag}
f(x)=f(x)-f(\alpha)=f'(\xi)(x-\alpha),
\end{equation}
kde $\xi \in (x, \alpha)$. Poslední dva vztahy dosadíme do (\ref{fir}):
\[
\frac{\phi_r^{(p)}(\alpha)}{p!} (x-\alpha)^p+\frac{\phi_r^{(p+1)}(\chi)}{(p+1)!} (x-\alpha)^{p+1}=(-1)^r\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} {f'}^{r+1}(\xi) (x-\alpha)^{r+1}.
\]
Odtud vyplývá
\[
\frac{\phi_r^{(p)}(\alpha)}{p!}=-\frac{\phi_r^{(p+1)}(\chi)}{(p+1)!} (x-\alpha)+(-1)^r\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!} {f'}^{r+1}(\xi) (x-\alpha)^{r-p+1}.
\]
Podle předpokladu je levá strana této rovnice nenulová, ale oba členy vpravo můžeme učinit libovolně malými a to je spor.
\end{proof}
\end{tvrz}
V našem vzorci pro $\phi_r(x)$ vystupují koeficienty $a_k(x)$ a ty se nyní pokusíme vhodně vyjádřit. Opakovaným derivováním rovnice $F(f(x))=x$ dostaneme systém $r$ rovnic
\[
\begin{array}{l}
F'(f(x)) f'(x)=1,\\
F''(f(x)) {f'}^2 (x) + F'(f(x)) f''(x)=0,\\
F'''(f(x)) {f'}^3(x)+3F''(f(x)) f'(x)f''(x)+F'(f(x))f'''(x)=0\\
\text{atd.}
\end{array}
\]
Tyto rovnice přepíšeme pomocí $a_k(x)$. Obdržíme troj\' uhelníkovou soustavu pro $a_1(x), a_2(x), ..., a_r(x)$:
\[
\begin{array}{l}
a_1(x) f'(x)=1,\\
a_2(x) {f'}^2(x)+a_1(x) f''(x)=0,\\
a_3(x) {f'}^3(x)+3a_2(x)f'(x)f''(x)+a_1(x)f'''(x)=0\\
\text{atd.}
\end{array}
\]
\begin{remark}
Zvolíme-li nyní $r=1$, dostaneme Newtonovu metodu
\[
a_1(x)=\frac{1}{f'(x)}\Rightarrow \phi_1(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
\]
a při volbě $r=2$ obdržíme
\[
a_2(x)=-\frac{f''(x)}{{f'}^3(x)}\Rightarrow \phi_2(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}-\frac{f''(x)f^2(x)}{2{f'}^3(x)}.
\]
\end{remark}
\begin{remark}
Dosud jsme předpokládali, že funkce $f$ má v intervalu $\langle a\, b\rangle$ $2r+1$ spojitých derivací. Má-li mít totiž metoda řád konvergence $r+1$, jak o tom mluví tvrzení \ref{konvrpj}, musí existovat $\phi_r^{(r)}$ a $\phi_r$ závisí na $F^{(r+1)}$, tedy i na $f^{(r+1)}$. Na závěr uvedeme tvrzení, které mluví o rychlosti konvergence (ne tedy o jejím řádu ve smyslu definice) v případě, že tento předpoklad není splněn:
 
\end{remark}
\begin{tvrz}
Ke splnění $\abs{x_{k+1}-\alpha}\le M\abs{x_k-\alpha}^{r+1}$ stačí $r+1$ spojitých derivací.
\begin{proof}
Dosadíme-li vztah (\ref{Lag}) do (\ref{fir}), dostaneme
\[
\abs{x_{k+1}-\alpha}=\abs{\phi_r(x_k)-\alpha}=\abs{\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!}{f'}^{r+1}(\xi)}\abs{x_k-\alpha}^{r+1}.
\]
Funkce $\frac{F^{(r+1)}(\eta)}{(r+1)!}{f'}^{r+1}(\xi)$ je spojitá, a proto ji lze na omezeném intervalu odhadnout konstantou $M$.
\end{proof}
\end{tvrz}