01MAA4:Kapitola37

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 31. 5. 2017, 12:57, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Holomorfní funkce}
 
\begin{define}
Funkci $f \colon \C\to\C$ nazveme {\bf holomorfní v~bodě $x$}, když je
diferencovatelná na nějakém jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na
množině} $M$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě.
\end{define}
 
\begin{remark}
Funkce $\sin$, $\cos$, $\exp$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou
holomorfní uvnitř kruhu konvergence.
\end{remark}
 
\begin{theorem} \label{th:realnaholomorfni}
Funkce zobrazující do $\R$ a holomorfní na souvislé množině $M \subset \C$ je na této množině konstantní.
\end{theorem}
\begin{proof}
Při použití zavedeného značení můžeme psát $f_2=0$. Z Cauchyho--Riemannových podmínek plyne, že v každém bodě platí $\pd_x f_1 = 0$ a $\pd_y f_1 = 0$. Víme, že funkce $f_1$ je diferencovatelná a její derivací je nulové zobrazení. Proto je na množině $M$ konstantní.
\end{proof}
 
V základních výsledcích komplexní analýzy figurují křivkové integrály komplexních funkcí komplexní proměnné. Než budeme pokračovat, musíme tyto integrály definovat. Nejprve se naučíme integrovat reálnou funkci, která zobrazuje do $\C$.
 
\begin{define}
Buď $f\colon [a,b] \to\C$. Pak definujeme 
\[
\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t,
\]
pokud oba integrály na pravé straně existují.
\end{define}
 
Nyní už můžeme definovat křivkový integrál. I když by bylo možné zavést integrál z velmi obecných funkcí, pro naše účely bude stačit pracovat s funkcemi, které jsou spojité.
 
\begin{define}
Buď $\phi \colon [a,b] \to \C$ dráha třídy $\c{1}$, $f \colon \C\to\C$ funkce spojitá na $\la\phi\ra$. Pak klademe
\[
\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t.
\]
Jestliže je dráha pouze po částech hladká, definujeme integrál jako součet přes všechny části, kde je hladká.
\end{define}
 
\begin{remark}
Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak
\[
\int_\phi f(t)\,\d t=
\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).
\]
Integrál přes uzavřenou křivku by tedy byl nutně nulový.
\end{remark}
 
\begin{example}
Spočítejme hodnotu integrálu, který hraje v komplexní analýze významnou roli. Nechť $\phi$ je jakákoliv kružnice se středem $z_0$ probíhaná v kladném smyslu konstantní rychlostí, tj. $\phi(t) = re^{\im t}+z_0$, $t\in[-\pi,\pi]$. Pak
\[
\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0} = \int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im.
\]
\end{example}
 
Všimněme si, že funkce $\frac{1}{z}$, kterou jsme integrovali, \uv{skoro} má primitivní funkci -- logaritmus. Přesto integrál přes uzavřenou křivku není nulový. Logaritmus je totiž nespojitý na přímce $P_\pi$. Dokonce není těžké ukázat, že skok mezi hodnotami logaritmu na polorovinách oddělených $P_\pi$ je roven právě $2\pi\im$.
 
\begin{define}
Buď $\phi$ po částech hladká uzavřená dráha, nechť $z_0\not\in\la\phi\ra$. {\bf Index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$} definujeme vztahem
\[
\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}.
\]
\end{define}
 
Index je tedy definován pro každý bod, který neleží na křivce $\phi$. Nevinně vyhlížející integrál nás překvapí svými vlastnostmi: Jeho hodnota je vždy celé číslo! Jeho význam lze vyjádřit geometricky. Udává, kolikrát křivka $\phi$ oběhla bod $z_0$ v kladném smyslu. Dá se tedy například ukázat, že platí
\[
\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra \mid \ind_\phi z\not=0\}, \quad \extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra \mid \ind_\phi z=0\}.
\]
 
Než budeme pokračovat dál, připomeňme definici Jordanovy dráhy -- viz definice \ref{de:Jordanovadraha}. Nyní, když už máme k dispozici definici indexu bodu, jsme schopni definovat kladnou orientaci. Aby ale tato definice měla nějaký smysl, museli bychom ukázat, že znamená právě to, co si pod ní představujeme, tj. procházení dráhy proti směru hodinových ručiček. To dělat nebudeme. Stejně tak nebudeme dokazovat ani korektnost definice, tedy nezávislost na volbě bodu $z_0$.
 
\begin{define}
Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$. Říkáme, že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když 
$\ind_\phi z_0>0$.
\end{define}
 
Nyní přichází na řadu extrémně silná věta, z níž další výsledky v komplexní analýze vyplývají velmi snadno. Tuto větu ale bohužel dokážeme pouze za značně zesílených předpokladů.
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální]
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní na $\intd\phi$ a spojitá na $\uz{\intd\phi}$. Pak
\[
\oint_\phi f=0.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Důkaz provedeme pouze za silnějšího předpokladu $f\in\c{1}$. Později sice ukážeme, že tento předpoklad splňuje každá holomorfní funkce (ba co víc, každá holomorfní funkce je dokonce třídy $\c{\infty}$), ale v důkazu použijeme právě Cauchyho integrální větu, takže provedeme důkaz kruhem. Dokázat Cauchyho větu v plném znění dá mnohem víc práce a pan tajemník přiznává, že na to nemá čas.
 
Předpokládáme-li tedy $f\in\c{1}$ a označíme-li $\phi = \phi_1 + \im\phi_2$, pak s užitím Greenovy věty získáme:
\[
\begin{split}
\oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t=
\int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+
\im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\
&=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}-
\frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+
\im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+
\frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0.
\qedhere
\end{split}
\]
\end{proof}
 
\begin{theorem}[princip deformace dráhy]
Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké
Jordanovy dráhy. Nechť $\la\phi_1\ra \subset \intd\phi_2$.
Buď dále $f$ holomorfní na $\intd\phi_2 \sm \uz{\intd\phi_1}$ a spojitá na $\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1$. Pak
\[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi, viz obrázek. (Bylo by potřeba zdůvodnit, proč je vždy možné nalézt takové dráhy, které $\phi_1$ a $\phi_2$ neprotnou, ale pouze spojí; intuitivně je to ale jasné. Argumentovat bychom mohli třeba tím, že $\la\phi_1\ra$ a $\la\phi_2\ra$ jsou kompakty, a proto existují body, v nichž je jejich vzdálenost minimální. Vrána to ale po nás stejně nebude chtít.)
 
\begin{figure}
\includegraphics{01MAA4_draha.pdf}
\caption{Princip deformace dráhy}
\end{figure}
 
Napřed se udělá integrál přes levou část, potom přes pravou. Oba tyto integrály jsou podle Cauchyho integrální věty nulové. Jejich součet je přitom roven rozdílu obou integrálů, které nás zajímají -- křivky $\psi_1$, $\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se jejich příspěvky odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně. Proto opravdu platí
\[
\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0.
\qedhere
\]
\end{proof}
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec]
Buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$. Pak pro každé $z\in\intd\phi$ platí
\[
f(z)=\frac{\ind_\phi z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
Nejdříve převedeme uvedený integrál na integrál z téže funkce přes jednodušší křivku -- kladně orientovanou kružnici se středem v $z$. Protože je $\intd\phi$ otevřená množina, existuje takové $r\in\R^+$, že $\psi(t)=z+re^{\im t}$ splňuje $\la\psi\ra \in \intd\phi$. S využitím principu deformace dráhy tedy můžeme psát
\[
\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi.
\]
 
Druhý z integrálů převedeme vytknutím konstanty $f(z)$ na integrál, který známe -- dostaneme tedy $f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z)$. Věta by proto byla dokázána, kdybychom mohli zdůvodnit, že je první z~integrálů nulový.
 
Integrand splňuje $\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z)$, lze tedy nalézt okolí, na němž je omezen třeba konstantou $2\abs{f'(z)} = M$. BÚNO předpokládejme, že kružnice $\psi$ v tomto okolí leží (v opačném případě bychom použili menší kružnici). Pak platí
\[
\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.
\]
Jenže integrál přes všechny kružnice ležící uvnitř $\la\phi\ra$ je stejný. Zmenšováním kružnice proto můžeme ukázat, že je menší než libovolné $\epsilon$, a tedy nulový.
\end{proof}
 
\begin{example}
Počítejme integrál $\int\limits_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z$.
\begin{enumerate}
	\item Předpokládejme nejprve $\im,-\im\in\extd\phi$. Pak $\oint\limits_\phi=0$, protože integrujeme holomorfní funkci.
	\item Nyní zkoumejme případ $\im \in \intd\phi$, $-\im\in\extd\phi$. Potom
\[
\oint_\phi = \frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}- \frac{\sin z}{z+\im}\right) = \pi\frac{1}{2\pi\im}\oint_\phi \frac{\sin z}{z-\im}  -  \frac{1}{2\im}\oint_\phi \frac{\sin z}{z+\im} = \pi\sin\im,
\]
protože první integrál vyjadřuje hodnotu $\sin \im$ pomocí Cauchyho integrálního vzorce a druhý je nulový, neboť integrujeme holomorfní funkci.
	\item Ostatní případy by šlo vyřešit podobně.
\end{enumerate}
\end{example}
 
\begin{theorem}
Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$
platí
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im}
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi\]
pro libovolnou Jordanovu dráhu $\phi$ takovou, že $\la\phi\ra \subset B$ a $z_0\in\intd\phi$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Buď $z\in B(z_0,R)$. Potom existuje $\phi$ kladně orientovaná dráha taková, že $z\in\intd\phi$ a zároveň splňující předpoklady věty ($B(z_0,R)$ je otevřená). S využitím znalosti součtu geometrické řady můžeme psát
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(
\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi
\right)(z-z_0)^n.
\end{split}
\]
 Ověříme korektnost záměny sumy a integrálu: platí, že
\[
 \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le Mr^n,
 \]
kde $M$ je kladná konstanta omezující $\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}$ (ta existuje, protože $f$ je spojité a vzdálenost bodů $\phi$ od $z_0$ je nenulová) a
pro $r\in\R$ platí $\abs{\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\leq r<1}$, protože $z\in\intd\phi$.
Řada má konvergentní číselnou majorantu, je tedy podle Weierstrassovy věty stejnoměrně konvergentní a záměna je korektní.
\end{proof}
 
\begin{theorem}
Za splnění předpokladů předchozí věty platí:
\[
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0) \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,
\]
$n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál.
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
Funkce, která je na $B(z_0,R)$ holomorfní, je na $B(z_0,R)$ dokonce třídy $\c\infty$. Také je na tomto kruhu \textbf{analytická} -- to znamená, že ji lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady.
\end{dusl}
 
Chceme-li určit poloměr konvergence mocninné řady, která na nějakém kruhu konverguje k funkci, již známe, stačí spočítat vzdálenost středu od nejbližšího bodu, ve kterém funkce není holomorfní. Naše dřívější metody, jak poloměr určovat, byly -- podle slov pana tajemníka -- \uv{úplně směšný}.