01MAA4:Kapitola37

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 10. 2013, 00:20, kterou vytvořil Nguyebin (diskuse | příspěvky) (Drobná úprava.)

Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Holomorfní funkce}
 
\begin{define}
Funkce $f:\C\mapsto\C$ se nazývá {\bf holomorfní v~bodě}, když je
diferencovatelná na jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na
množině} $G$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě.
\end{define}
 
\begin{remark}
Funkce $\sin$, $\cos$, $e$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou
holomorfní uvnitř kruhu konvergence.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak
\[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re f(t)\,\d t+\im\int_a^b\Im f(t)\,\d t.\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $[\phi]$.
\[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t,
\text{ kde }\left[  a,b\right] =\df\phi.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $[\phi]$, tj.~$\forall z \in [\phi]$ platí $f(z)=F'(z)$, pak
\[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\]
\end{remark}
 
\begin{example}
\[\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}=
\int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im\]
$\phi=re^{\im t}+z_0$, $t\in\left[ -\pi,\pi\right] $.
\end{example}
 
\begin{define}
Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť
$z_0\not\in[\phi]$. Definujeme {\bf index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$}:
\[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\]
\end{define}
 
\begin{remark}
$\intd\phi=\{z \in \C\sm[\phi]\,|\ind_\phi z\not=0\}$,
$\extd\phi=\{z \in \C\sm[\phi]\,|\ind_\phi z=0\}$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální]
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní
na $\intd\phi\cup[\phi]$. Pak
\[\int_\phi f=0.\]
\begin{proof}
Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme:
\[
\begin{split}
\int_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t=
\int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+
\im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\
&=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}-
\frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+
\im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+
\frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[princip deformace dráhy]
Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké
Jordanovy dráhy. Buď $[\phi_1]\subset\intd\phi_2$,
$\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na
$\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak
\[\int_{\phi_2}f=\int_{\phi_1}f.\]
\begin{proof}
 Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi.
 
 \begin{figure}
\includegraphics{01MAA4_draha.pdf}
\caption{Princip deformace dráhy}
\end{figure}
 
Napřed se udělá integrál přes levou část (viz obrázek), potom přes pravou. 
Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. 
$\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně.
\[\int_{\phi_2}f-\int_{\phi_1}f = 0\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$.  Říkáme,
že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když 
$\ind_\phi z_0>0$. (proti směru hodinových ručiček)
\end{define}
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec]
buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$ Pak pro každé
$z\in\intd\phi$ platí
\[f(z)=\frac{\ind_\phi
z}{2\pi\im}\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\]
\begin{proof}
$\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$
\[\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi=
f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z).\]
 
\[\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z).\]
\[\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example}
\[\int_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z\]
\begin{enumerate}
 \item 
\[\int_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\]
\item
\[\int_\phi=\frac{1}{2\im}\int_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}-
\frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in[\phi]\]
\end{enumerate}
\end{example}
 
\begin{theorem}
Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$
platí
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im}
\int_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad
[\phi]\in B,\ z_0\in\intd\phi.\]
\begin{proof}
Buď $z\in B(z_0,R)$,
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi
\right)(z-z_0)^n.
\end{split}
\]
% Platí, že
% \[
% \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le		%to neplatí
% \frac{M}{r^{n+1}}\abs{z-z_0}^n,
% \]
Ještě se musí ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. To lze provést pomocí Weierstrasse.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Za splnění předpokladů předchozí věty platí:
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0)
\int_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\]
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál.
 \item Určení poloměru konvergence: vzdálenost středu od bodu, ve kterém
funkce není holomorfní.
\item Holomorfní funkce na $B(z_0,R)$ je dokonce třídy $\c\infty$ na $B(z_0,R)$
\end{enumerate}
 
 
\end{remark}