01MAA4:Kapitola36: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Elementární funkce} Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor homeomorfní s~$\R^2$ a z~hlediska topologie nerozeznatel...)
 
(důkaz neexistence derivace argumentu na P_pi.)
 
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Elementární funkce}
+
\section{Komplexní derivace}
 
   
 
   
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor homeomorfní
+
Komplexní analýzu se Vrána tradičně snaží stihnout v průběhu tří přednášek, což dost dobře není možné. Proto provádí důkazy hodně zrychleně a některá důležitá tvrzení nedokazuje vůbec. Existují velmi pěkně napsaná skripta Komplexní analýza pro učitele od Jiřího Veselého, která jsou mimo jiné i doporučenou učebníci k přednášce Funkce komplexní proměnné od docenta Pošty. Ke zkoušce by ale mělo stačit naučit se to, co Vrána odpřednášel (někdy toho je méně, než kolik obsahují Wikiskripta, jindy zase více -- podle toho, kolik hodin během semestru odpadne).
s~$\R^2$ a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však
+
 
toho, že $\C$ je těleso.
+
\vspace{2em}
+
 
Jednoznačný vztah mezi $\C\mapsto\C$ a $\R^2\mapsto\C$:
+
Definice komplexní funkce komplexní proměnné je formálně úplně stejná jako v $\R$.
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.
+
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita
+
Buď $f \colon \C\to\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li konečná limita
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]
+
\[
říkáme, že funkce $f$ v~$z_0$ derivaci.
+
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},
 +
\]
 +
říkáme, že funkce $f$ je v~bodě $z_0$ (komplexně) diferencovatelná a příslušnou limitu značíme $f'(z_0)$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 +
Topologicky je normovaný prostor $\C$ totožný s $\R^2$. Na zobrazení $\C\to\C$ se tedy lze dívat i jako na zobrazení $\R^2\to\R^2$. Označme reálnou, resp. imaginární část takového zobrazení jako $f_1$ a $f_2$, tj. pišme $f(z) = f(x+\im y) = f_1(x,y) + \im f_2(x,y)$. Pak se můžeme ptát, jaký je vztah mezi komplexní diferencovatelností funkce $f$ a diferencovatelností reálného zobrazení $\vec{f}=(f_1, f_2)$. Na tuto otázku podává odpověď následující věta.
 
   
 
   
\begin{remark}
+
\begin{theorem} \label{th:komplexnidiferencovatelnost}
 +
Funkce $f\colon\C\to\C$ je v bodě\footnote{Dodržujeme úmluvu, že když číslo zapíšeme ve tvaru $x+\im y$, jsou $x$ i $y$ reálná čísla. Pokud tomu tak nebude, budeme se snažit na to upozornit.} $z_0 = x_0+\im y_0$ komplexně diferencovatelná právě tehdy, když je diferencovatelné výše definované zobrazení $\vec{f}\colon \R^2\to\R^2$ a zároveň jsou splněny tzv. Cauchyho--Riemannovy podmínky $\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}$, $\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}$.
 +
\end{theorem}
 +
\begin{proof}
 +
Můžeme psát
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
 
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
 
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\lim_{h\to 0}=\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
+
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} \frac{\abs{h}}{h}=0\\
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\
+
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0.
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
+
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
+
(Druhou ekvivalenci lze zdůvodnit tím, že oba výrazy mají v každém bodě stejnou absolutní hodnotu a přitom platí, že libovolný výraz jde k nule právě tehdy, když jde k nule v absolutní hodnotě. Nejspíš existuje i nějaké elegantnější zdůvodnění.) Rozepíšeme-li $\alpha$ jako $\alpha_1+\im\alpha_2$ a $h=h_1+\im h_2$ a roznásobíme-li všechno do mrtě, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní %roztrhneme-li komplexní limitu na dvě reálné, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní s~nulovostí těchto dvou limit prováděných v $\R^2$:
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
+
\[
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
+
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(*)+\im f_2(*)-f_1(x_0, y_0)-\im f_2(x_0, y_0) - [(\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2) + \im (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)]}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0,
a
+
\]
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
+
kde $(*)$ pro nedostatek místa značí vyčíslení v bodě $(x_0+h_1, y_0+h_2)$. Upravujme dále. Výraz, jehož limitu počítáme, má za obor hodnot komplexní čísla. Pokud tato čísla interpretujeme jako dvojice reálných čísel, tj. pokud využijeme izomorfismus $\C$ a $\R^2$, můžeme ekvivalentně psát
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
+
\[
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
+
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - \big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}.
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
+
\]
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
+
Tuto rovnost lze dále přepsat jako
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
+
\[
\end{remark}
+
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - L\vec{h}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0},
+
\]
 +
přičemž jako $L$ jsme označili lineární operátor na $\R^2$, který vektoru $(h_1, h_2)$ přiřadí vektor $\big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)$. Vztah, který jsme získali, ale znamená právě a pouze to, že zobrazení $f\colon\R^2\to\R^2$ má v bodě $(x_0, y_0)$ derivaci $L$.
 +
 
 +
Stačí už jen ověřit, že operátor $L$ splňuje Cauchyho--Riemannovy podmínky. Jeho matice je $\left(\begin{smallmatrix}\alpha_1&-\alpha_2 \\ \alpha_2&\alpha_1\end{smallmatrix}\right)$. Matice derivace zobrazení $\vec{f} = (f_1, f_2)$ má přitom vždy tvar $\left(\begin{smallmatrix}\pd_x f_1& \pd_y f_1 \\ \pd_x f_2& \pd_y f_2 \end{smallmatrix}\right)$.
 +
\end{proof}
 +
 
 +
Komplexní diferencovatelnost $f$ je tedy výrazně silnější vlastnost než reálná diferencovatelnost příslušného zobrazení $\vec{f}$. Následující příklad ukáže, že ani velmi \uv{hezké} funkce nemusejí mít derivaci.
 +
 
 
\begin{example}
 
\begin{example}
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
+
Uvažme funkci $f(z)=\overline{z}$. Pak $f_1(x,y) = x$, $f_2(x,y)=-y$. Spočítáme-li příslušné parciální derivace, dostaneme $\pd_x f_1 = 1$, ale $\pd_y f_2 = -1$. V žádném bodě tedy nejsou splněny Cauchyho--Riemannovy podmínky, a funkce $f$ proto není nikde diferencovatelná.
 
\end{example}
 
\end{example}
 +
 +
Uvědomme si, že funkce $z \mapsto \overline{z}$ je přitom na celém $\C$ spojitá. Sestavit funkci $\R\to\R$, která je všude spojitá, ale nikde diferencovatelná, je sice rovněž možné, ale neúměrně náročnější -- komplexní analýza se od té reálné diametrálně liší. Jak říká Vrána: \uv{Mít komplexní derivaci, to už je síla.}
 +
 +
Na druhé straně mají i mnohé společné. Následující tři tvrzení lze dokázat naprosto stejným způsobem jako v prvním semestru, proto je uvádíme bez důkazu.
 +
 +
\begin{theorem}
 +
Nechť má funkce $f\colon \C \to \C$ derivaci v bodě $z_0$. Pak je v tomto bodě spojitá.
 +
\end{theorem}
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Řádka 46: Řádka 67:
 
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
 
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
 
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
 
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
+
\[
 +
\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).
 +
\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 54: Řádka 77:
 
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
 
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
\begin{remark}
+
Než se Vrána pustí do ústřední části teorie funkcí komplexní proměnné, tedy do kapitoly o holomorfních funkcích, udělá odbočku a zavede některé elementární funkce na $\C$. Protože to v našem ročníku udělal dost zmateně a místy i chybně, nebudeme formulovat jeho tvrzení do vět a definic, pouze do volného textu.
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]
+
 
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]
+
Komplexní exponenciálu lze definovat vztahem $e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$. Víme, že jde o mocninnou řadu s~nekonečným poloměrem konvergence, která se na reálné ose rovná reálné exponenciále definované v~prvním ročníku.
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad
+
 
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]
+
Protože je mocninná řada s nekonečným poloměrem konvergence v každém bodě absolutně konvergentní, lze přímočarým roznásobením dokázat identitu  $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
+
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=
+
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!
+
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=
+
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]
+
 
\[
 
\[
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad
+
\sum_{m=0}^\infty\frac{z_1^m}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!} =
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
+
\sum_{N=0}^\infty\sum_{k=0}^{N}\frac{z_1^k}{k!}\frac{z_2^{N-k}}{(N-k)!} =
 +
\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} z_1^k z_2^{N-k} =
 +
\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (z_1+z_2)^N
 
\]
 
\]
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]
+
 
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]
+
Když do mocninné řady definující exponenciálu dosadíme $\im z$ a následně seskupíme sudé a liché členy, získáme rovnost
 +
\[
 +
e^{\im z} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(\im z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} + \im\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}.
 +
\]
 +
 
 +
Sudou část funkce $e^{\im z}$ označíme $\cos z$ a lichou jako $\im\sin z$. Tím jsme na celé komplexní rovině definovali sinus a kosinus. Předešlou rovnost můžeme přepsat jako $e^{\im z}=\cos z+\im\sin z$ a ze sudosti kosinu a lichosti sinu hned odvodíme i obě dvojice vztahů
 +
\[
 +
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2},\quad
 +
\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},
 +
\]
 +
resp.
 +
\[
 +
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad
 +
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}.
 +
\]
 +
Druhá dvojice vztahů přitom ukazuje, že se naše \uv{nové} definice na reálné ose shodují s těmi původními.
 +
 
 +
Nyní můžeme psát
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
e^{\im(z_1+z_2)} &= e^{\im z_1} e^{\im z_2} \\
 +
&= (\cos z_1 + \im \sin z_1)(\cos z_2 + \im \sin z_2) \\
 +
&= (\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2) + \im (\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2),
 +
\end{split}
 +
\]
 +
přičemž první závorka obsahuje sudou a druhá lichou funkci, takže platí
 +
\[
 +
\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2,
 +
\]
 +
\[
 +
\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2.
 +
\]
 +
Z toho snadno zjistíme, že identity
 
\[
 
\[
 
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
 
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
Řádka 76: Řádka 128:
 
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
 
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
 
\]
 
\]
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
+
platí pro každé komplexní $z$.
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$
+
 
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
+
Taktéž můžeme díky sudosti kosinu a lichosti sinu odvodit důležitou identitu
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
+
\[
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]
+
\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos (-z) -\sin z \sin (-z) = \cos(z-z)=1,
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=
+
\]
\sin\cosh y+\im\sinh y\cos x\]
+
ale \textbf{pozor}! Neplyne z ní, že $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ leží v intervalu $[0,1]$, protože v komplexním oboru lze odmocnit i záporné číslo. Funkce sinus a kosinus nejsou v $\C$ omezené!
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]
+
 
Nulové body:
+
Definujme dále jako obvykle
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff
+
\[
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff
+
\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2},\quad
x=k\pi\iff y=0.\]
+
\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}
Derivace:
+
\]
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad
+
a učiňme snadné pozorování
 +
\[
 +
\cos z = \cosh\im z,\quad
 +
\sin z=-\im\sinh\im z.
 +
\]
 +
 
 +
Nyní už jsme připraveni vyjádřit reálnou a imaginární část exponenciály, sinu a kosinu. Následující vztahy sice platí obecně, ale zdaleka nejzajímavější jsou pro nás v případě, že $x$ a $y$ jsou reálná čísla.
 +
 
 +
\[
 +
e^{x+\im y} = e^x e^{\im y} = e^x(\cos y+\im\sin y);
 +
\]
 +
\[
 +
\sin(x+\im y) = \sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x = \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x;
 +
\]
 +
\[
 +
\cos(x+\im y) = \cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y.
 +
\]
 +
 
 +
Protože chování reálných funkcí máme dobře prozkoumané, jsme schopni pomocí předešlého vyjádření určit nulové body sinu v komplexním oboru:
 +
\[
 +
\sin z = \sin(x+\im y) = 0 \iff
 +
\sin x\cosh y = 0 \wedge \sinh y \cos x = 0 \iff
 +
x=k\pi \wedge y=0.
 +
\]
 +
 
 +
Derivace je možné snadno spočítat třeba pomocí pravidla o derivování mocninné řady člen po členu:
 +
\[
 +
\left(e^z\right)'=e^z,\quad
 
(\sin z)'=\cos z,\quad
 
(\sin z)'=\cos z,\quad
(\cos z)'=-\sin z\]
+
(\cos z)'=-\sin z.
Prostota $e^z$:
+
\]
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]
+
 
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]
+
Prozkoumejme na závěr, zda je exponenciála prostá. Nejprve snadno zjistíme, že $e^{z_1}=e^{z_2}$ právě tehdy, když $e^{z_1-z_2}=1$. Potřebujeme tedy zjistit, pro která $z$ je $e^z=1$. K tomu opět využijeme rozklad na reálnou a imaginární část. Podmínka
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]
+
\[
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
+
e^x(\cos y+\im\sin y)=1
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
+
\]
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]
+
je splněna právě tehdy, když $e^x\sin y=0$ a zároveň $e^x\cos y=1$, což je ekvivalentní tomu, že $x$ lze zvolit libovolně a $y = 2k\pi$. Ukázali jsme tedy, že exponenciála není prostá -- naopak, je periodická s periodou $\im2\pi$. Pro účely definování inverzní funkce, logaritmu, ji budeme muset zúžit na nějaký pás, na němž je exponenciála prostá. Takový pás má pro libovolné $\alpha \in \R$ tvar
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
+
\[
\end{remark}
+
E_\alpha=\{z\in\C \mid \Im z \in (\alpha-\pi,\alpha+\pi]\}.
 +
\]
 +
 
 +
Na každém takovém pásu představuje exponenciála bijekci $E_\alpha \to \C \sm \{0\}$, protože každé nenulové komplexní číslo $z$ lze zapsat ve tvaru $e^x(\cos y+\im\sin y)$; stačí totiž za $e^x$ dosadit $|z|$ a dostaneme známý goniometrický tvar komplexního čísla. Tohoto pozorování zanedlouho využijeme při zavedení logaritmu; nejdřív ale definujeme tzv. argument, což je úhel, který dané číslo svírá s reálnou osou.
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
 
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
+
$\Arg z = \{\alpha\in\R \mid z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
+
Buď $\vartheta\in\R$. Potom je pro $z\neq 0$ množina $\Arg z \cap (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$ jednoprvková. Její jediný prvek označíme jako $\arg_\vartheta z$, čímž definujeme funkci $\arg_\vartheta \colon \C \sm \{0\} \to (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$. Funkci $\arg_0$ značíme zkráceně $\arg$.
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
+
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
\begin{theorem}
+
\begin{remark}
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
+
Snadno ověříme, že platí rovnost $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
\end{theorem}
+
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
+
Pro libovolné $\vartheta\in\R$ definujeme polopřímku $P_\vartheta=\{te^{\im\vartheta} \mid t\in\R^+\}$.
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.
+
\item Funkce $\arg z$ není spojitá na $P_\pi$ a nikde nemá derivaci. (Neexistence derivace plyne z nespojitosti, viz z následující bod; pro dokázání mírně slabšího tvrzení stačí využít větu \ref{th:realnaholomorfni}.)
\item
+
\item Pro $z = x + \im y$ lze argument vyjádřit explicitně třeba takto:
 
\[
 
\[
 
\arg z=\begin{cases}
 
\arg z=\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\
+
\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y\ge 0,\\
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.
+
-\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y<0.
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
\]
 
\]
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
+
Je možné využít i vyjádření pomocí $\arcsin$ nebo $\arctg$.
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
+
\item Jsme také schopni spočítat argument součinu, resp. podílu:
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
+
%\[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
+
%\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
základním intervalu.
+
%\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy
+
\[
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.
+
\begin{split}
 +
\arg z_1z_2 &=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\\
 +
\arg\frac{z_1}{z_2} &=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\\
 +
\arg\frac{1}{z} &=-\arg z+2\pi\epsilon,
 +
\end{split}
 +
\]
 +
přičemž $\epsilon$ volíme $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abychom zůstali v~základním intervalu. Kdybychom místo funkcí $\arg$ pracovali s~množinami $\Arg$, nebyli bychom nuceni přičítat $2\pi\epsilon$.
 +
\item Nechť funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ splňují Cauchyho--Riemannovy
 +
podmínky
 
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
 
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
+
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x}\]
zkoumáme
+
a nechť jsou navíc třídy $\c{2}$. Zderivováním první podmínky podle $x$ a druhé podle $y$ získáme
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
+
\[
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
+
\begin{split}
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$.
+
\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2} &=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y},\\
 +
\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2} &=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}.
 +
\end{split}
 +
\]
 +
Když obě rovnosti sečteme a využijeme záměnnosti parciálních derivací, dostaneme $\Delta f_1=0$. Analogickým postupem bychom odvodili i $\Delta f_2=0$. Obě funkce $f_1$, $f_2$ jsou tedy harmonické, čehož se využívá například při modelování profilů letadel.
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
 +
Nyní se pustíme do zkoumání logaritmu, tj. inverzní funkce k exponenciále.
 +
 +
\begin{define}
 +
Zaveďme množinu $\Ln z=\{w\in\C \mid z=e^w\}$. Pokud chceme, aby byl logaritmus funkce, musíme se zúžit na některý z pásů $E_\vartheta$. Definujme tedy pro $z \neq 0$ hodnotu $\ln_\vartheta z$ dvojicí podmínek
 +
\[
 +
\ln_\vartheta z\in\Ln z \wedge \Im\Ln_\vartheta z\in (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi].
 +
\]
 +
Speciálně označme $\ln = \ln_0$ a nazvěme tuto funkci {\bf logaritmus komplexního čísla}.
 +
\end{define}
 +
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,
+
\item Když hledáme logaritmus komplexního čísla $z$, rozepišme ho na reálnou a imaginární část: $\ln_\vartheta z=u+\im v$. Dostáváme podmínku
$e^w=e^u e^{\im v}$
+
$z = e^u e^{\im v} = e^u (\cos v + \im\sin v)$. Zjevně $\abs z = e^u$ a $v = \arg_\vartheta z$, tj.
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
+
\[
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]
+
\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z.
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
+
\]
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
+
Speciálně platí $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
+
\item Spočítejme, zda má logaritmus derivaci v bodě $z \neq 0$. Víme, že $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln
\item logaritmus derivaci ? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln
+
z}=\arg z$. Určeme nejprve derivaci reálné a imaginární části.
z=\arg z$.
+
\[
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
+
\begin{split}
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
+
\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)' &= \frac{x}{x^2+y^2}\d x+ \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\\
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+
+
\left(\arg z\right)' &= -\frac{y}{x^2+y^2}\d x+ \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\\
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]
+
\end{split}
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme
+
\]
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.
+
ale pouze mimo polopřímku $P_\pi$, na níž je argument nespojitá funkce, a nemůže tedy mít derivaci. Obě funkce $f_1$, $f_2$ mají totální derivaci (parciální derivace jsou totiž spojité) a zároveň zjevně platí Cauchyho--Riemannovy podmínky. Podle věty \ref{th:komplexnidiferencovatelnost} proto komplexní derivace existuje. Můžeme ji tedy spočítat limitou přes některou konkrétní podmnožinu, třeba přes reálnou přímku. Obecně v případě existence derivace platí
 
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
 
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
 
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
 
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]
+
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0);\]
 +
v případě logaritmu tedy dostáváme
 
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
 
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
 
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
 
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
+
\item\footnote{Této části moc nerozumím a v našem ročníku ji Vrána neprobíral. Mazat se mi ji nechtělo, ale berte ji s~ještě větší rezervou než zbytek textu.} Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
 
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
 
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
 
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
 
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
 
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
 
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.  
+
(Definice $\argcosh$ se může zdát podivná, ale rovnost $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.)
 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
 
\[
 
\[
 
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
 
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
 
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
 
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
+
\[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
 
   
 
   
\item Pro $z,\alpha\in\C$
+
\item Pro $z \neq 0, \alpha\in\C$ můžeme definovat $z^\alpha=e^{\alpha\ln z}$; tato definice je jednoznačná. Lepší\footnote{Citation needed.} je definovat obecnou mocninu jako \uv{víceznačnou funkci}, tj. jako množinu (obdobně jako $\Ln$ a $\Arg$):
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]
+
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je  
+
 
\[
 
\[
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z  
+
z^\alpha = e^{\Ln z} = \{ e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \mid k\in \Z \}.
 
\]
 
\]
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek,
+
Mohlo by se zdát, že má množina $z^\alpha$ vždy nekonečně mnoho prvků. Tak tomu ale není, neboť exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek, že pro $\Re\alpha \in \Z$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně.  
že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně.  
+
Pro  $\Re\alpha \in \Q$ a $\Im\alpha = 0$ má množina $q$ prvků, kde $q$ je jmenovatel $\Re\alpha$ ve zkráceném tvaru. (V komplexních číslech tedy například existuje pět pátých odmocnin.) A pokud je $\Re\alpha$ iracionální nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je prvků skutečně nekonečně mnoho. Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nacházejí na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce  
Pro  $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů.  
+
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny na spirále.  
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho.  
+
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce  
+
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále.  
+
 
   
 
   
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$
+
Například
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
+
\[
\begin{example}
+
\begin{split}
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]
+
\im^{\im} &= \{e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)} \mid k\in\Z\} = \{e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \mid k\in \Z\} \subset \R; \\
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in  \hat 5 \]
+
{x}^{\frac{3}{5}} &= \{ e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im} \mid k\in  \hat 5 \};\\
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].
+
{x}^{\sqrt{2}} &= \{e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im} \mid k\in \Z\}.
\end{example}
+
\end{split}
 +
\]
 
   
 
   
 +
Podobný problém s nejednoznačností nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy $\arcsin$, $\argsinh$, $\ldots$
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Aktuální verze z 31. 5. 2017, 08:27

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Komplexní derivace}
 
Komplexní analýzu se Vrána tradičně snaží stihnout v průběhu tří přednášek, což dost dobře není možné. Proto provádí důkazy hodně zrychleně a některá důležitá tvrzení nedokazuje vůbec. Existují velmi pěkně napsaná skripta Komplexní analýza pro učitele od Jiřího Veselého, která jsou mimo jiné i doporučenou učebníci k přednášce Funkce komplexní proměnné od docenta Pošty. Ke zkoušce by ale mělo stačit naučit se to, co Vrána odpřednášel (někdy toho je méně, než kolik obsahují Wikiskripta, jindy zase více -- podle toho, kolik hodin během semestru odpadne).
 
\vspace{2em}
 
Definice komplexní funkce komplexní proměnné je formálně úplně stejná jako v $\R$.
 
\begin{define}
Buď $f \colon \C\to\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li konečná limita
\[
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},
\]
říkáme, že funkce $f$ je v~bodě $z_0$ (komplexně) diferencovatelná a příslušnou limitu značíme $f'(z_0)$.
\end{define}
 
Topologicky je normovaný prostor $\C$ totožný s $\R^2$. Na zobrazení $\C\to\C$ se tedy lze dívat i jako na zobrazení $\R^2\to\R^2$. Označme reálnou, resp. imaginární část takového zobrazení jako $f_1$ a $f_2$, tj. pišme $f(z) = f(x+\im y) = f_1(x,y) + \im f_2(x,y)$. Pak se můžeme ptát, jaký je vztah mezi komplexní diferencovatelností funkce $f$ a diferencovatelností reálného zobrazení $\vec{f}=(f_1, f_2)$. Na tuto otázku podává odpověď následující věta.
 
\begin{theorem} \label{th:komplexnidiferencovatelnost}
Funkce $f\colon\C\to\C$ je v bodě\footnote{Dodržujeme úmluvu, že když číslo zapíšeme ve tvaru $x+\im y$, jsou $x$ i $y$ reálná čísla. Pokud tomu tak nebude, budeme se snažit na to upozornit.} $z_0 = x_0+\im y_0$ komplexně diferencovatelná právě tehdy, když je diferencovatelné výše definované zobrazení $\vec{f}\colon \R^2\to\R^2$ a zároveň jsou splněny tzv. Cauchyho--Riemannovy podmínky $\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}$, $\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Můžeme psát
\[
\begin{split}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} \frac{\abs{h}}{h}=0\\
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0.
\end{split}
\]
(Druhou ekvivalenci lze zdůvodnit tím, že oba výrazy mají v každém bodě stejnou absolutní hodnotu a přitom platí, že libovolný výraz jde k nule právě tehdy, když jde k nule v absolutní hodnotě. Nejspíš existuje i nějaké elegantnější zdůvodnění.) Rozepíšeme-li $\alpha$ jako $\alpha_1+\im\alpha_2$ a $h=h_1+\im h_2$ a roznásobíme-li všechno do mrtě, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní %roztrhneme-li komplexní limitu na dvě reálné, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní s~nulovostí těchto dvou limit prováděných v $\R^2$:
\[
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(*)+\im f_2(*)-f_1(x_0, y_0)-\im f_2(x_0, y_0) - [(\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2) + \im (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)]}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0,
\]
kde $(*)$ pro nedostatek místa značí vyčíslení v bodě $(x_0+h_1, y_0+h_2)$. Upravujme dále. Výraz, jehož limitu počítáme, má za obor hodnot komplexní čísla. Pokud tato čísla interpretujeme jako dvojice reálných čísel, tj. pokud využijeme izomorfismus $\C$ a $\R^2$, můžeme ekvivalentně psát
\[
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - \big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}.
\]
Tuto rovnost lze dále přepsat jako
\[
\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - L\vec{h}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0},
\]
přičemž jako $L$ jsme označili lineární operátor na $\R^2$, který vektoru $(h_1, h_2)$ přiřadí vektor $\big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)$. Vztah, který jsme získali, ale znamená právě a pouze to, že zobrazení $f\colon\R^2\to\R^2$ má v bodě $(x_0, y_0)$ derivaci $L$.
 
Stačí už jen ověřit, že operátor $L$ splňuje Cauchyho--Riemannovy podmínky. Jeho matice je $\left(\begin{smallmatrix}\alpha_1&-\alpha_2 \\ \alpha_2&\alpha_1\end{smallmatrix}\right)$. Matice derivace zobrazení $\vec{f} = (f_1, f_2)$ má přitom vždy tvar $\left(\begin{smallmatrix}\pd_x f_1& \pd_y f_1 \\ \pd_x f_2& \pd_y f_2 \end{smallmatrix}\right)$.
\end{proof}
 
Komplexní diferencovatelnost $f$ je tedy výrazně silnější vlastnost než reálná diferencovatelnost příslušného zobrazení $\vec{f}$. Následující příklad ukáže, že ani velmi \uv{hezké} funkce nemusejí mít derivaci.
 
\begin{example}
Uvažme funkci $f(z)=\overline{z}$. Pak $f_1(x,y) = x$, $f_2(x,y)=-y$. Spočítáme-li příslušné parciální derivace, dostaneme $\pd_x f_1 = 1$, ale $\pd_y f_2 = -1$. V žádném bodě tedy nejsou splněny Cauchyho--Riemannovy podmínky, a funkce $f$ proto není nikde diferencovatelná.
\end{example}
 
Uvědomme si, že funkce $z \mapsto \overline{z}$ je přitom na celém $\C$ spojitá. Sestavit funkci $\R\to\R$, která je všude spojitá, ale nikde diferencovatelná, je sice rovněž možné, ale neúměrně náročnější -- komplexní analýza se od té reálné diametrálně liší. Jak říká Vrána: \uv{Mít komplexní derivaci, to už je síla.}
 
Na druhé straně mají i mnohé společné. Následující tři tvrzení lze dokázat naprosto stejným způsobem jako v prvním semestru, proto je uvádíme bez důkazu.
 
\begin{theorem}
Nechť má funkce $f\colon \C \to \C$ derivaci v bodě $z_0$. Pak je v tomto bodě spojitá.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
\[
\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).
\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
\end{theorem}
 
Než se Vrána pustí do ústřední části teorie funkcí komplexní proměnné, tedy do kapitoly o holomorfních funkcích, udělá odbočku a zavede některé elementární funkce na $\C$. Protože to v našem ročníku udělal dost zmateně a místy i chybně, nebudeme formulovat jeho tvrzení do vět a definic, pouze do volného textu.
 
Komplexní exponenciálu lze definovat vztahem $e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$. Víme, že jde o mocninnou řadu s~nekonečným poloměrem konvergence, která se na reálné ose rovná reálné exponenciále definované v~prvním ročníku.
 
Protože je mocninná řada s nekonečným poloměrem konvergence v každém bodě absolutně konvergentní, lze přímočarým roznásobením dokázat identitu  $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
\[
\sum_{m=0}^\infty\frac{z_1^m}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!} =
\sum_{N=0}^\infty\sum_{k=0}^{N}\frac{z_1^k}{k!}\frac{z_2^{N-k}}{(N-k)!} =
\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} z_1^k z_2^{N-k} =
\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (z_1+z_2)^N
\]
 
Když do mocninné řady definující exponenciálu dosadíme $\im z$ a následně seskupíme sudé a liché členy, získáme rovnost
\[
e^{\im z} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(\im z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} + \im\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}.
\]
 
Sudou část funkce $e^{\im z}$ označíme $\cos z$ a lichou jako $\im\sin z$. Tím jsme na celé komplexní rovině definovali sinus a kosinus. Předešlou rovnost můžeme přepsat jako $e^{\im z}=\cos z+\im\sin z$ a ze sudosti kosinu a lichosti sinu hned odvodíme i obě dvojice vztahů
\[
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2},\quad
\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},
\]
resp.
\[
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}.
\]
Druhá dvojice vztahů přitom ukazuje, že se naše \uv{nové} definice na reálné ose shodují s těmi původními.
 
Nyní můžeme psát
\[
\begin{split}
e^{\im(z_1+z_2)} &= e^{\im z_1} e^{\im z_2} \\
&= (\cos z_1 + \im \sin z_1)(\cos z_2 + \im \sin z_2) \\
&= (\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2) + \im (\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2),
\end{split}
\]
přičemž první závorka obsahuje sudou a druhá lichou funkci, takže platí
\[
\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2,
\]
\[
\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2.
\]
Z toho snadno zjistíme, že identity
\[
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
\]
platí pro každé komplexní $z$.
 
Taktéž můžeme díky sudosti kosinu a lichosti sinu odvodit důležitou identitu
\[
\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos (-z) -\sin z \sin (-z) = \cos(z-z)=1,
\]
ale \textbf{pozor}! Neplyne z ní, že $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ leží v intervalu $[0,1]$, protože v komplexním oboru lze odmocnit i záporné číslo. Funkce sinus a kosinus nejsou v $\C$ omezené!
 
Definujme dále jako obvykle
\[
\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2},\quad
\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}
\]
a učiňme snadné pozorování 
\[
\cos z = \cosh\im z,\quad
\sin z=-\im\sinh\im z.
\]
 
Nyní už jsme připraveni vyjádřit reálnou a imaginární část exponenciály, sinu a kosinu. Následující vztahy sice platí obecně, ale zdaleka nejzajímavější jsou pro nás v případě, že $x$ a $y$ jsou reálná čísla.
 
\[
e^{x+\im y} = e^x e^{\im y} = e^x(\cos y+\im\sin y);
\]
\[
\sin(x+\im y) = \sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x = \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x;
\]
\[
\cos(x+\im y) = \cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y.
\]
 
Protože chování reálných funkcí máme dobře prozkoumané, jsme schopni pomocí předešlého vyjádření určit nulové body sinu v komplexním oboru:
\[
\sin z = \sin(x+\im y) = 0 \iff
\sin x\cosh y = 0 \wedge \sinh y \cos x = 0 \iff
x=k\pi \wedge y=0.
\]
 
Derivace je možné snadno spočítat třeba pomocí pravidla o derivování mocninné řady člen po členu:
\[
\left(e^z\right)'=e^z,\quad
(\sin z)'=\cos z,\quad
(\cos z)'=-\sin z.
\]
 
Prozkoumejme na závěr, zda je exponenciála prostá. Nejprve snadno zjistíme, že $e^{z_1}=e^{z_2}$ právě tehdy, když $e^{z_1-z_2}=1$. Potřebujeme tedy zjistit, pro která $z$ je $e^z=1$. K tomu opět využijeme rozklad na reálnou a imaginární část. Podmínka
\[
e^x(\cos y+\im\sin y)=1
\]
je splněna právě tehdy, když $e^x\sin y=0$ a zároveň $e^x\cos y=1$, což je ekvivalentní tomu, že $x$ lze zvolit libovolně a $y = 2k\pi$. Ukázali jsme tedy, že exponenciála není prostá -- naopak, je periodická s periodou $\im2\pi$. Pro účely definování inverzní funkce, logaritmu, ji budeme muset zúžit na nějaký pás, na němž je exponenciála prostá. Takový pás má pro libovolné $\alpha \in \R$ tvar
\[
E_\alpha=\{z\in\C \mid \Im z \in (\alpha-\pi,\alpha+\pi]\}.
\]
 
Na každém takovém pásu představuje exponenciála bijekci $E_\alpha \to \C \sm \{0\}$, protože každé nenulové komplexní číslo $z$ lze zapsat ve tvaru $e^x(\cos y+\im\sin y)$; stačí totiž za $e^x$ dosadit $|z|$ a dostaneme známý goniometrický tvar komplexního čísla. Tohoto pozorování zanedlouho využijeme při zavedení logaritmu; nejdřív ale definujeme tzv. argument, což je úhel, který dané číslo svírá s reálnou osou.
 
\begin{define}
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\Arg z = \{\alpha\in\R \mid z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$. Potom je pro $z\neq 0$ množina $\Arg z \cap (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$ jednoprvková. Její jediný prvek označíme jako $\arg_\vartheta z$, čímž definujeme funkci $\arg_\vartheta \colon \C \sm \{0\} \to (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$. Funkci $\arg_0$ značíme zkráceně $\arg$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Snadno ověříme, že platí rovnost $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
\end{remark}
 
\begin{define}
Pro libovolné $\vartheta\in\R$ definujeme polopřímku $P_\vartheta=\{te^{\im\vartheta} \mid t\in\R^+\}$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Funkce $\arg z$ není spojitá na $P_\pi$ a nikde nemá derivaci. (Neexistence derivace plyne z nespojitosti, viz z následující bod; pro dokázání mírně slabšího tvrzení stačí využít větu \ref{th:realnaholomorfni}.)
\item Pro $z = x + \im y$ lze argument vyjádřit explicitně třeba takto:
\[
\arg z=\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y\ge 0,\\
-\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y<0.
\end{cases}
\]
Je možné využít i vyjádření pomocí $\arcsin$ nebo $\arctg$.
\item Jsme také schopni spočítat argument součinu, resp. podílu:
%\[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
%\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
%\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
\[
\begin{split}
	\arg z_1z_2 &=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\\
	\arg\frac{z_1}{z_2} &=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\\
	\arg\frac{1}{z} &=-\arg z+2\pi\epsilon,
\end{split}
\]
přičemž $\epsilon$ volíme $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abychom zůstali v~základním intervalu. Kdybychom místo funkcí $\arg$ pracovali s~množinami $\Arg$, nebyli bychom nuceni přičítat $2\pi\epsilon$.
\item Nechť funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ splňují Cauchyho--Riemannovy
podmínky
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x}\]
a nechť jsou navíc třídy $\c{2}$. Zderivováním první podmínky podle $x$ a druhé podle $y$ získáme
\[
\begin{split}
\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2} &=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y},\\
\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2} &=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}.
\end{split}
\]
Když obě rovnosti sečteme a využijeme záměnnosti parciálních derivací, dostaneme $\Delta f_1=0$. Analogickým postupem bychom odvodili i $\Delta f_2=0$. Obě funkce $f_1$, $f_2$ jsou tedy harmonické, čehož se využívá například při modelování profilů letadel.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
Nyní se pustíme do zkoumání logaritmu, tj. inverzní funkce k exponenciále. 
 
\begin{define}
Zaveďme množinu $\Ln z=\{w\in\C \mid z=e^w\}$. Pokud chceme, aby byl logaritmus funkce, musíme se zúžit na některý z pásů $E_\vartheta$. Definujme tedy pro $z \neq 0$ hodnotu $\ln_\vartheta z$ dvojicí podmínek
\[
\ln_\vartheta z\in\Ln z \wedge \Im\Ln_\vartheta z\in (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi].
\]
Speciálně označme $\ln = \ln_0$ a nazvěme tuto funkci {\bf logaritmus komplexního čísla}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Když hledáme logaritmus komplexního čísla $z$, rozepišme ho na reálnou a imaginární část: $\ln_\vartheta z=u+\im v$. Dostáváme podmínku
$z = e^u e^{\im v} = e^u (\cos v + \im\sin v)$. Zjevně $\abs z = e^u$ a $v = \arg_\vartheta z$, tj.
\[
\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z.
\]
Speciálně platí $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
\item Spočítejme, zda má logaritmus derivaci v bodě $z \neq 0$. Víme, že $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln
z}=\arg z$. Určeme nejprve derivaci reálné a imaginární části.
\[
\begin{split}
\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)' &= \frac{x}{x^2+y^2}\d x+ \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\\
\left(\arg z\right)'						&= -\frac{y}{x^2+y^2}\d x+ \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\\
\end{split}
\]
ale pouze mimo polopřímku $P_\pi$, na níž je argument nespojitá funkce, a nemůže tedy mít derivaci. Obě funkce $f_1$, $f_2$ mají totální derivaci (parciální derivace jsou totiž spojité) a zároveň zjevně platí Cauchyho--Riemannovy podmínky. Podle věty \ref{th:komplexnidiferencovatelnost} proto komplexní derivace existuje. Můžeme ji tedy spočítat limitou přes některou konkrétní podmnožinu, třeba přes reálnou přímku. Obecně v případě existence derivace platí
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0);\]
v případě logaritmu tedy dostáváme
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
\item\footnote{Této části moc nerozumím a v našem ročníku ji Vrána neprobíral. Mazat se mi ji nechtělo, ale berte ji s~ještě větší rezervou než zbytek textu.} Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
(Definice $\argcosh$ se může zdát podivná, ale rovnost $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.) 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
\[
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
 
\item Pro $z \neq 0, \alpha\in\C$ můžeme definovat $z^\alpha=e^{\alpha\ln z}$; tato definice je jednoznačná. Lepší\footnote{Citation needed.} je definovat obecnou mocninu jako \uv{víceznačnou funkci}, tj. jako množinu (obdobně jako $\Ln$ a $\Arg$):
\[
z^\alpha = e^{\Ln z} = \{ e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \mid k\in \Z \}.
\]
Mohlo by se zdát, že má množina $z^\alpha$ vždy nekonečně mnoho prvků. Tak tomu ale není, neboť exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek, že pro $\Re\alpha \in \Z$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. 
Pro  $\Re\alpha \in \Q$ a $\Im\alpha = 0$ má množina $q$ prvků, kde $q$ je jmenovatel $\Re\alpha$ ve zkráceném tvaru. (V komplexních číslech tedy například existuje pět pátých odmocnin.) A pokud je $\Re\alpha$ iracionální nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je prvků skutečně nekonečně mnoho. Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nacházejí na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce 
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny na spirále. 
 
Například
\[
\begin{split}
\im^{\im} &= \{e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)} \mid k\in\Z\} = \{e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \mid k\in \Z\} \subset \R; \\
{x}^{\frac{3}{5}} &= \{ e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im} \mid k\in  \hat 5 \};\\
{x}^{\sqrt{2}} &= \{e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im} \mid k\in \Z\}.
\end{split}
\]
 
Podobný problém s nejednoznačností nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy $\arcsin$, $\argsinh$, $\ldots$ 
\end{enumerate}
\end{remark}