01MAA4:Kapitola16

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:01, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Řešení rovnice $\Phi(x,y)=0$} Mějme soustavu nelineárních rovnic \[ \begin{matrix} \Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\ &\vdots&\...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Řešení rovnice $\Phi(x,y)=0$}
Mějme soustavu nelineárních rovnic
\[
\begin{matrix}
\Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\
&\vdots&\\
\Phi^m(\underbrace{x^1,\dots,x^r}_x,\underbrace{y^1,\dots y^m}_y)&=&0
\end{matrix}
\]
Očekávám, že za jistých podmínek z~této soustavy dostanu
\[
\begin{matrix}
y^1&=&\phi^1(x^1,\dots,x^r)\\
&\vdots&\\
y^m&=&\phi^m(x^1,\dots,x^r)
\end{matrix}
\]
 
\begin{define}
Buď $\Phi:\R^{r+m}\mapsto\R^m$. Potom řešením rovnice $\Phi^j(x,y)=0$,
$j\in\hat m$, rozumíme každé zobrazení $\phi:\R^r\mapsto\R^m$ takové, že
$\Phi(x,\phi(x))=0$ pro každé $x\in\df\phi$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Říkáme, že $\phi$ je zadáno {\bf implicitně}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti]
Buď $\Phi:\R^{r+m}\mapsto\R^m$, $\Phi\in\c{q}$, $q,r,m\in\N$ a platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item existuje $(x_0\ y_0)\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0\ y_0)=0$,
\item
\[\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}(x_0\ y_0)\not=0.\]
\end{enumerate}
Potom existuje okolí $\V$ bodu $x_0$, že rovnicí $\Phi(x,y)=0$ je na
$\V$ definováno právě jedno zobrazení $\phi:\V\subset\R^r\mapsto\R^m$
takové, že platí:
\begin{enumerate}
\item $\phi(x_0)=y_0$,
\item $\phi\in\c{q}$,
\item $\Phi(x,\phi(x))=0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
 Bude proveden v následující větě, která je obecnější.
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[
\left.\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}\right|_{(x_0,y_0)}=
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^m}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^m}\\
\end{matrix}
\right|_{(x_0,y_0)}
\]
\item Stačí $\Phi\in\c{0}$, musí být třídy $\c{1}$ vůči
$y^1,\dots,y^m$. Pak $\phi\in\c{0}$.
\item $\Phi(x^1,\dots,x^n,y)$ stačí $\Phi\in\c{0}$ a monotonie vůči
$y$.
\item Buď $n\in\N$, $1\le i_1<i_2<\dots<i_r\le n$ rostoucí $r$-tice,
$1\le j_1<j_2<\dots<j_m\le n$ rostoucí $m$-tice. Zaveďme
$\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\mu=(j_1,\dots,j_m)$, $(\lambda,\mu)$ je
$(r+m)$-tice. Jestliže $\mu$ jsou zrovna takové, že $\lambda$ doplní do
$\n$, pak označíme $\mu=\lambda'$. $(\lambda,\lambda')=(1,\dots,n)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť $q,r,m,n\in\N$, $r\in\widehat{n-1}$, $m=n-r$. Buď $\Phi$
zobrazení třídy $\c{q}$ z~$\R^n\mapsto\R^m$ a platí:
\begin{enumerate}
\item existuje $x_0\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0)=0$,
\item $\h(\Phi'(x_0))=m$.
\end{enumerate}
Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^n$, $r$-tice $\lambda$, okolí
$\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ tak, že
$\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}\in\c{q}$ je zobrazení $\V_{x_0^\lambda}\mapsto\R^m$.
\begin{proof}
Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^n}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^n}\\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\]
Z~hodnosti plyne existence $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$ taková, že
\[
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_m}}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_m}}\\
\end{matrix}
\right|_{x=x_0}
\not=0
\]
a ze spojitosti $\forall x\in\U_{x_0}$ je
$\jac(\Phi_{j_1,\dots,j_m}^{1,\dots,m})(x)\not=0$.
 
Definujeme $f^\lambda(x)=x^\lambda$,
$f^{\lambda'}(x)=\Phi(x)$. $f:\R^n\mapsto\R^n\in\c{q}$.
 
%$\jac f(x_0)$ má následující tvar:
%\[
%\left(
%\begin{matrix}
%0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 & \hdots & 0 \\
%\vdots &  &  & \ddots &  &  & \vdots \\
%0 & \hdots & 0 & \hdots & 1 & \hdots & 0
%\end{matrix}
%\right)
%\]
%a tedy
\[
\jac f(x_0)=\left|
\begin{matrix}
\Phi_{j_1}^1 & \hdots & \Phi_{j_m}^1\\
\vdots & & \vdots\\
\Phi_{j_1}^m & \hdots & \Phi_{j_m}^m
\end{matrix}
\right|\not=0
\]
$f$ splňuje předpoklady 14.1, tedy existuje $\H_{x_0}$ takové, že
$f|_\H$ je prosté, $f(\H)$ je otevřené, $g=f^{-1}\in\c{q}$.
\[\V=\{x^\lambda\in\R^r|(x^\lambda\ 0^{\lambda'})\in f(\H)\}=\vn{\V}\]
\[
\begin{split}
\{x\in\H|\Phi(x)=0\}&=\{x\in\H|f(x)=(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=
\{x\in\H|x=g(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=\\
&=\{x\in\H|x^\lambda\in\V,\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}
\end{split}
\]
a $\phi(x^\lambda)=g^{\lambda'}(x^\lambda,0^{\lambda'})$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
$\Phi(x)=\Phi^p(x^\lambda,x^{\lambda'})$, $p\in\hat m$,
$x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)$, $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$,
$\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$. $\Phi^p(x^\lambda,\phi(x^\lambda))=0$,
$x^\lambda\in\V$.
 
Pro pevně zvolené $i_k$, $k\in\hat r$ a každé $p\in\hat m$ platí:
\[
\frac{\pd}{\pd x_{i_k}}\Phi^p(x^\lambda, \phi^{\lambda'}(x^\lambda)) = 0
\]
 
\[
\Phi_{i_k}^p+\sum_{l=1}^{m}\Phi_{j_l}^p\phi_{i_k}^l=0,
\]
tj. soustava lineárních rovnic pro $\phi_{i_k}^l$
Z~Cramerova pravidla pak dostáváme
\[
\phi_{i_k}^l=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_{l-1}},x^{i_k},x^{j_{l+1}},\dots,x^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_m})}}
\]
Zapsáno \uv{klasicky}:
\[
\frac{\pd y^l}{\pd x^k}=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_{l-1}},x^{i_k},y^{j_{l+1}},\dots,y^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_m})}}
\]
Pokud už mám $(x,y)$, pro které $\Phi(x,y)=0$, můžu určit hodnotu
derivace v~tom bodě.
\end{remark}