01MAA3:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobné úpravy.) |
|||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se | + | Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4). |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 24: | Řádka 24: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené | Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené | ||
− | pokrytí má konečné podpokrytí.\ | + | pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako |
+ | topologický podprostor je kompaktní. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 30: | Řádka 31: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\index{kompaktní množina} | \index{kompaktní množina} | ||
− | \ | + | \setlength{\itemsep}{4pt} |
− | + | \item Každá konečná množina je kompaktní. | |
− | \item Každá konečná množina je kompaktní. | + | \item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. |
− | \item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. | + | \item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je. |
− | \item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je. | + | \item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice). |
− | \item Kompaktnost nezávisí na metrice. | + | \item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. |
− | \item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. | + | |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 60: | Řádka 60: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu |
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí | inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí | ||
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\] | \[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\] | ||
Řádka 91: | Řádka 91: | ||
Dále platí: | Dále platí: | ||
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\] | \[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\] | ||
− | tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je | + | tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je |
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy | kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy | ||
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\] | \[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\] | ||
Řádka 106: | Řádka 106: | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem} |
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní. | V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 118: | Řádka 118: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \end{ | + | \end{theorem} |
− | + | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $\VEC X$ | + | Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní, |
právě když je uzavřená a omezená. | právě když je uzavřená a omezená. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 140: | Řádka 140: | ||
vektorů | vektorů | ||
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\] | \[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\] | ||
− | Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je | + | Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n\mapsto\R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a |
− | + | ||
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. | $(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. | ||
Řádka 211: | Řádka 210: | ||
členů posloupnosti. | členů posloupnosti. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | |||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$. | |
− | + | \end{remark} | |
− | \ | + | |
+ | \begin{theorem} | ||
+ | V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu | ||
hromadnou hodnotu. | hromadnou hodnotu. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 224: | Řádka 224: | ||
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). | $\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \ | + | \end{theorem} |
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má | ||
právě jednu hromadnou hodnotu. | právě jednu hromadnou hodnotu. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 234: | Řádka 237: | ||
mít další hromadnou hodnotu, což je spor. | mít další hromadnou hodnotu, což je spor. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | \end{ | + | \end{theorem} |
− | + | ||
− | + | ||
\begin{lemma}[Lebesgue] | \begin{lemma}[Lebesgue] | ||
\label{lebesgue} | \label{lebesgue} | ||
Řádka 245: | Řádka 247: | ||
\bigskip | \bigskip | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S. | + | Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S. |
− | Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin. | + | Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin. |
− | Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$. | + | Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in\S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$. |
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$. | Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$. | ||
Řádka 256: | Řádka 258: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{lemma} | \end{lemma} | ||
− | + | ||
\begin{lemma}[Borel] | \begin{lemma}[Borel] | ||
\label{borel} | \label{borel} | ||
− | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, | + | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň |
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná | jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná | ||
\index{$\epsilon$ síť} | \index{$\epsilon$ síť} | ||
Řádka 266: | Řádka 268: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné. | + | Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru $X$ splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné. |
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$. | Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$. | ||
Řádka 272: | Řádka 274: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{lemma} | \end{lemma} | ||
− | + | ||
\begin{theorem}[Weierstrass] | \begin{theorem}[Weierstrass] | ||
− | Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá | + | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá |
posloupnost má konvergentní podposloupnost. | posloupnost má konvergentní podposloupnost. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 290: | Řádka 292: | ||
\bigskip | \bigskip | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení | + | Buď $(X,\tau),(Y,\tau')$ topologické prostory, $f:(X,\tau)\mapsto (Y,\tau')$ spojité zobrazení. Potom |
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní. | je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 301: | Řádka 303: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A | + | \label{max-kompakt} |
− | nabývá na $A$ svého infima a | + | Buď $f:A\mapsto\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$ |
+ | nabývá na $A$ svého infima a suprema. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a | $f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a | ||
− | + | supremum v~ní leží. | |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 312: | Řádka 315: | ||
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole. | Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | |||
− | |||
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 319: | Řádka 320: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité | ||
− | zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě | + | zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě |
když | když | ||
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\] | \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | |||
\begin{theorem}[Cantor] | \begin{theorem}[Cantor] | ||
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně. | Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně. | ||
Řádka 355: | Řádka 355: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− |
Verze z 24. 1. 2014, 13:54
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Kompaktní prostory} \index{pokrytí} \index{podpokrytí} \begin{define} Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin $\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$. Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když: \begin{enumerate}[(I)] \item $\S_1\subset\S$, \item $\S_1$ je pokrytím $X$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené pokrytí se využije při integraci na varietách (MAA4). \end{remark} \index{kompaktní prostor} \begin{define} Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené pokrytí má konečné podpokrytí. Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako topologický podprostor je kompaktní. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \index{kompaktní množina} \setlength{\itemsep}{4pt} \item Každá konečná množina je kompaktní. \item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená. \item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je. \item Kompaktnost není metrický pojem (tj. nezávisí na metrice). \item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem. \begin{proof} Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako $A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále platí, pomocí de Morganových zákonů : \[ \emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha= \bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)= X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha \iff X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha \] a existuje konečné podpokrytí. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Buď $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí \[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\] Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$. \item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí platit: \[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\] \item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$ takové, že platí \[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní. % dodělat důkaz \end{theorem} \begin{remark} Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$. \end{remark} \begin{theorem} Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je uzavřená. \begin{proof} Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí: \[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\] Dále platí: \[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\] tedy systém okolí $\H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy \[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\] Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí $\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$ platí: \[ \H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset, \] tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená. \end{proof} \end{theorem} \bigskip \begin{theorem} V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní. \begin{proof} %Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí %větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným %průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené %v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém %$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje. Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i ~|~ i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\VEC X$ lineární prostor konečné dimenze. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní, právě když je uzavřená a omezená. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Implikace $\Rightarrow$ je triviální. \item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená. \begin{enumerate}[1)] \item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$. $A$ je omezená, tudíž $A\subset B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je kompaktní. \item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$. Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových vektorů \[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\] Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfismus $V^n\mapsto\R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a $(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní. \item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná. Pro libovolný vektor $\vec x$ platí: \[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le \sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty= K\norm{\vec x}_\infty,\] což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto vztahu vyplývá spojitost identity $(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$. Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$. $A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená v~$(X,\norm{\ }_\infty)$, $(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$. Dále platí: \[ \bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset, \] neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy $(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$. Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies \norm{\vec x}_\infty\not=1)$. Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí, že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak \[ \norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}= \frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}< \norm{\vec{x_0}}\le\rho, \] ale \[ \norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty= \frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1, \] což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies \norm{\vec x}_\infty<1)$. Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí: \[ \norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho, \] tedy \[ \norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1, \] z~čehož vyplývá \[ \norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}. \] Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou část nerovnosti. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{hromadná hodnota} \begin{define} Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti, právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. \end{define} \begin{remark} Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$. \end{remark} \begin{theorem} V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu hromadnou hodnotu. \begin{proof} Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$, $\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí: \[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\] kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že $\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má právě jednu hromadnou hodnotu. \begin{proof} Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy $X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí mít další hromadnou hodnotu, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \begin{lemma}[Lebesgue] \label{lebesgue} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru $\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin. \bigskip \begin{proof} Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S. Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in\S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin. Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in\S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$. Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$. Po volbě $n_0 = \max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma}[Borel] \label{borel} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, v němž každá posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná \index{$\epsilon$ síť} $\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$). \begin{proof} Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru $X$ splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné. Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Weierstrass] Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá posloupnost má konvergentní podposloupnost. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná. \item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru $X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí $B(x_i,\epsilon)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \bigskip \begin{theorem} Buď $(X,\tau),(Y,\tau')$ topologické prostory, $f:(X,\tau)\mapsto (Y,\tau')$ spojité zobrazení. Potom je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní. \begin{proof} Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má $f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{max-kompakt} Buď $f:A\mapsto\R$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A$. Potom $f$ nabývá na $A$ svého infima a suprema. \begin{proof} $f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a supremum v~ní leží. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole. \end{remark} \bigskip \index{stejnoměrná spojitost} \begin{define} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je {\bf stejnoměrně spojité}, právě když \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\] \end{define} \begin{theorem}[Cantor] Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně. \begin{proof} Důkaz provedeme sporem. Nechť platí \[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X) (\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\] Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí \[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\] Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí \[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\] Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$. Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je $\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$ konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a $\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže \[ \sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a } \sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2, \] z~čehož vyplývá \[ \sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le \sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))< \epsilon, \] což je spor. \end{proof} \end{theorem}