Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Funkční řady}
\index{funkční řada}
\index{součtová funkce}
\begin{define}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$, $F_n(z)=\sum_{k=0}^n f_k(z)$ pro všechna $z\in A$ a
všechna $n\in\N_0$. Pak uspořádanou dvojici
$(\poslo{f_n},\poslo{F_n})$ nazveme {\bf funkční řadou} a značíme
$\rada{f_n}$.
Pokud funkční posloupnost $\poslo{F_n}$ má na množině $A$ limitní
funkci $F$, nazveme ji {\bf součtovou funkcí} řady $\rada f_n$ a
píšeme $\rada f_n=F$.
\end{define}
\index{částečný součet $n$-tý}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $F_n$ --- {$n$-tý částečný součet}; $\poslo{F_n}$ --- posloupnost částečných součtů.
\item Studovat řadu pro nás znamená studovat posloupnost jejích částečných součtů.
\item S funkčními řadami jsme se již setkali --- mocninné řady.
\end{enumerate}
\end{remark}
\index{stejnoměrná konvergence řady}
\begin{define}
Řekneme, že řada $\rada f_n(z)=(\poslo{f_n(z)},\poslo{F_n(z)})$
stejnoměrně konverguje na množině $A$, jestliže na množině $A$
stejnoměrně konverguje posloupnost $\poslo{F_n(z)}$.
\end{define}
\begin{theorem}[Bolzano, Cauchy]
\label{bcfr}
Řada $\rada f_n(z)$ konverguje stejnoměrně na množině $A$ právě tehdy,
jestliže pro všechna kladná čísla $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak,
že pro všechna přirozená čísla $n>n_0$, pro všechna přirozená čísla
$p$ a všechna $z\in A$ platí:
\[\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)}<\epsilon.\]
\begin{proof}
Vzhledem k~tomu, že $\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)=F_{n+p}(z)-F_n(z)$,
stačí aplikovat větu \ref{bcfp} na posloupnost $\poslo{F_n}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Odsud plyne nutná podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řady:
\[
\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\sk{A} \Longrightarrow f_n(z)\sk{A} 0.
\]
\end{remark}
\begin{theorem}[Weierstrassovo kritérium]
\label{weierstrass}
Buďte $\poslo{f_n}$ a $\poslo{g_n}$ dvě posloupnosti funkcí
definovaných na množině $A$. Nechť dále pro všechna $z\in A$ a všechna
$n\in\No$ platí: $\abs{f_n(z)}\le g_n(z)$. Potom, konverguje-li řada
$\rada g_n(z)$ stejnoměrně na množině $A$, konverguje stejnoměrně na
množině $A$ také řada $\rada f_n(z)$.
\begin{proof}
Plyne z~nerovnosti
\[\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)}\le\sum_{k=n+1}^{n+p}g_k(z)\]
a z~věty \ref{bcfr}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Řadu obvykle majorizujeme (shora odhadujeme) konvergentní číselnou řadou, která je z definice též stejnoměrně konvergentní a splňuje předpoklady \ref{weierstrass}.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{ad}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A$, $\poslo{g_n}$ monotonní posloupnost reálných funkcí
definovaných na $A$. Označme $F_n=\sum_{k=0}^n f_k$. Nechť dále je
splněno některé z~následujících kritérií:
\begin{enumerate}[(i)]
\item (Dirichlet) $\poslo{F_n}$ stejně omezená na $A$ a $g_n(z)\sk{A}0$.
\item (Abel) $F_n(z)\sk{A}$ \, a $\poslo{g_n}$ stejně omezená na $A$.
\end{enumerate}
Potom řada $\sum_{n=0}^\infty f_n(z) g_n(z)$ konverguje stejnoměrně na
množině $A$.
\begin{proof}
Důkaz je založen na Abelově parciální sumaci: Pro libovolné $n\in\No$
a $p\in\N$ platí:
\begin{equation}
\label{abelpars}
\sum_{k=n+1}^{n+p}f_kg_k=\sum_{k=n+1}^{n+p}(F_{n,k-n}-F_{n,k-1-n})g_k=
\sum_{k=n+1}^{n+p-1}F_{n,k-n}(g_k-g_{k+1})+F_{n,p}g_{n+p},
\end{equation}
kde $F_{n,k}=\sum_{j=n+1}^{n+k}f_j=F_{n+k}-F_n$ označuje úsek řady.
\begin{enumerate}[a)]
\item Nechť je splněna podmínka (i); potom existuje kladné číslo $K$
tak, že pro všechna $n\in\No$ a všechna $z\in A$ je
$\abs{F_n(z)}<K$. Zvolme nyní $\epsilon>0$. Existuje $n_0$ tak, že pro
všechna $z\in A$ a všechna $n>n_0$ bude
$\abs{g_n(z)}<\frac\epsilon{6K}$. Podle (\ref{abelpars}) potom pro všechna
$n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)g_k(z)} & =
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p-1}F_{n,k-n}(z)(g_k(z)-g_{k+1}(z))+
F_{n,p}(z)g_{n+p}(z)} \le \\
& \le\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{F_{n,k-n}(z)}\,\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}
+\abs{F_{n,p}(z)}\,\abs{g_{n+p}(z)}\le \\
& \le 2K\left(\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}
+\abs{g_{n+p}(z)}\right)= \\
& = 2K(\abs{g_{n+1}(z)-g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}) \le \\
& \le 2K(\abs{g_{n+1}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)}) < \epsilon
\end{split}
\]
Rovnost mezi třetím a čtvrtým řádkem platí díky tomu, že posloupnost
$\posl{g_n}$ je monotonní, a proto mají všechny rozdíly $g_k(z)-g_{k+1}(z)$
stejné znaménko.
\item Je-li splněna podmínka (ii), pak existuje kladné číslo $M$ tak,
že pro všechna $n\in\No$ a všechna $z\in A$ je $\abs{g_n(z)}<M$. Zvolme
opět $\epsilon>0$. Nyní existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna
přirozená $n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ bude
$\abs{F_{n,p}(z)}<\frac\epsilon {3M}$. Potom ovšem podle (\ref{abelpars})
pro všechna $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(z)g_k(z)} & \le
\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{F_{n,k-n}(z)}\,\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}+
\abs{F_{n,p}(z)}\,\abs{g_{n+p}(z)}\le \\
& \le \frac\epsilon{3M}\left(\sum_{k=n+1}^{n+p-1}\abs{g_k(z)-g_{k+1}(z)}+
\abs{g_{n+p}(z)}\right) = \\
& = \frac\epsilon{3M}(\abs{g_{n+1}(z)-g_{n+p}(z)}+\abs{g_{n+p}(z)})<\epsilon
\end{split}
\]
\end{enumerate}
Odtud potom jak v~bodě a), tak v~bodě b) dostáváme podle věty
\ref{bcfr} stejnoměrnou konvergenci řady $\rada f_n(z)g_n(z)$ na
množině $A$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}(Abel)
\label{skmr}
Buď $\rada a_n(z-z_0)^n$ mocninná řada s~kladným poloměrem konvergence
$R$. Potom řada $\rada a_n(z-z_0)^n$ konverguje stejnoměrně na každém
kruhu $B(z_0,r)$, kde $r<R$.
\begin{proof}
Buď $r\in(0,R)$, potom pro všechna $z\in B(z_0,r)$ a všechna $n\in\No$
platí $\abs{a_n(z-z_0)^n}\le\abs{a_n}r^n$. Odtud a z~věty
\ref{weierstrass} vyplývá stejnoměrná konvergence řady
$\rada a_n(z-z_0)^n$ na množině $B(z_0,r)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Proto se jako stejnoměrně konvergentní majorizující řada do \ref{weierstrass} často používá také mocninná řada.
\item Alternativní znění: Mocninná řada konverguje na každé kompaktní množině, která je částí vnitřku oboru konvergence.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}(1. věta Abelova)
\label{skmr2}
Nechť má reálná mocninná řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ kladný poloměr konvergence
$R$. Potom, konverguje-li řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ v~bodě $x_0+R$
resp. $x_0-R$, pak konverguje stejnoměrně na intervalu $[x_0,x_0+R]$
resp. $[x_0-R,x_0]$.
\begin{proof}
Nechť např. řada $\rada a_n(x-x_0)^n$ konverguje v~bodě $x_0+R$. Potom
\[\rada a_n(x-x_0)^n=\rada a_nR^n\left(\frac{x-x_0}{R}\right)^n.\]
Protože pro všechna $x\in[x_0,x_0+R]$ a všechna $n\in\No$ je
$\abs{\frac{x-x_0}{R}}\le 1$ a řada $\rada a_nR^n$ stejnoměrně konverguje
na intervalu $[x_0,x_0+R]$, je tvrzení věty důsledkem Abelova kritéria
\ref{ad} (ii).
\end{proof}
\end{theorem}
%\clearpage
\begin{theorem}[o~limitě]
\label{olimite-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$ a nechť
\begin{enumerate}[(I)]
\item $z_0\in A'$;
\item Pro všechna $n\in\No$ existuje $\lim_{z\to z_0,z\in
A}f_n(z)=a_n$;
\item Řada $\rada f_n(z)$ konverguje stejnoměrně na množině $A$ k~$F(z)$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řada $\rada a_n$ konverguje;
\item Existuje $\lim_{z\to z_0,z\in A} F(z)$;
\item $\lim_{z\to z_0,z\in A} F(z)=\rada a_n$.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\sum_{n=0}^\infty f_n(z)=
\sum_{n=0}^\infty\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
Položme $F_n(z)=\sum_{k=0}^nf_k(z)$, $s_n=\sum_{k=0}^n a_k$ pro
$n\in\No$. Potom $\lim_{z\to z_0,z\in A}F_n(z)=s_n$,
$F_n(z)\sk{A}F(z)$ a tvrzení věty je důsledkem \ref{olimite-p}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~spojitosti]
\label{ospojitosti-r}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí definovaných na množině $A$ a
spojitých v~bodě $z_0\in A$ (vzhledem k~$A$). Potom, konverguje-li
řada $\rada f_n(z)$ stejnoměrně na množině $A$, je její součtová
funkce spojitá v~bodě $z_0$ vzhledem k~množině $A$.
\begin{proof}
Plyne z~věty \ref{olimite-r} a důkazu věty \ref{ospojitosti-p}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[2. věta Abelova]
\label{abel2}
Konverguje-li mocninná řada s~reálnými koeficienty, s~kladným
poloměrem konvergence $R$ a se středem v~bodě $x_0$ v~bodě $x_0+R$
resp. v~bodě $x_0-R$, je její součtová funkce spojitá v~bodě $x_0+R$
zleva, resp. v~bodě $x_0-R$ zprava.
\begin{proof}
Nechť např. mocninná řada konverguje v~bodě $x_0+R$. Potom podle věty
\ref{skmr2} konverguje tato řada stejnoměrně na intervalu $[x_0,x_0+R]$
a tudíž dle věty \ref{ospojitosti-r} musí být její součtová funkce
spojitá na intervalu $[x_0,x_0+R]$ vzhledem k~intervalu
$[x_0,x_0+R]$. Speciálně musí být součtová funkce spojitá v~bodě
$x_0+R$ zleva.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~derivaci]
\label{oderivaci-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na
omezeném a otevřeném intervalu $\J\subset\R$ takových, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Existuje $c\in\J$ tak, že řada $\rada f_n(c)$ konverguje;
\item Řada $\rada f_n'(x)$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\J$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řada $\rada f_n(x)$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\J$;
\item Součtová funkce $F$ řady $\rada f_n$ je diferencovatelná na
intervalu $\J$;
\item Derivace $F'$ je součtovou funkcí řady $\rada f_n'$.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\big(\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\big)' = \sum_{n=0}^\infty f_n'(z)
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
Stačí užít větu \ref{oderivaci-p} na posloupnost částečných součtů.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~integraci]
\label{ointegraci-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na
intervalu $[a,b]$. Nechť dále řada $\rada f_n(x)$ stejnoměrně
konverguje na intervalu $[a,b]$ a $F$ buď její součtová
funkce. Potom i~funkce $F$ je integrabilní na intervalu $[a,b]$ a
platí:
\[\int_a^b F(x)\dx=\rada\int_a^b f_n(x)\dx.\]
\begin{proof}
Plyne z~věty \ref{ointegraci-p}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{veta69}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na
intervalu $[a,b]$. Nechť dále řada $\rada f_n(x)$ stejnoměrně
konverguje na intervalu $[a,b]$ a označme $F$ její součtovou
funkci. Potom pro každou funkci $g$, která má absolutně konvergentní
zobecněný integrál na intervalu $[a,b]$, platí:
\[\int_a^b F(x)g(x)\dx=\rada\int_a^b f_n(x)g(x)\dx.\]
\begin{proof}
Podle věty \ref{ointegraci-r} je funkce $F$ riemannovsky integrabilní
na intervalu $[a,b]$ a tudíž všechny zobecněné integrály
$\int_a^b f_n(x)g(x)\dx$ a $\int_a^b F(x)g(x)\dx$ absolutně
konvergují. Zbývá tedy dokázat výše uvedenou rovnost. Ze stejnoměrné
konvergence řady $\rada f_n(x)$ na intervalu $[a,b]$ plyne, že ke
zvolenému kladnému číslu $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak, že pro
všechna přirozená čísla $n>n_0$ a pro všechna $x\in[a,b]$ je
\[\abs{F_n(x)-F(x)}<\frac{\epsilon}{1+\int_a^b\abs{g(x)}\dx},\]
kde $F_n=\sum_{k=0}^n f_k$. Potom pro $n>n_0$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{
\sum_{k=0}^n\int_a^b f_k(x)g(x)\dx-\int_a^b F(x)g(x)\dx
}=
\abs{
\int_a^b F_n(x)g(x)\dx-\int_a^b F(x)g(x)\dx
}\le\\
\le\int_a^b\abs{F_n(x)-F(x)}\,\abs{g(x)}\dx <
\int_a^b\frac{\epsilon\abs{g(x)}\dx}{1+\int_a^b\abs{g(x)}\dx}<\epsilon
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Právě dokázaná věta je na přednášce zahrnuta v rámci důkazu \ref{euler}. Podobných případů, kde se pořadí vět liší od přednášky, může být vzhledem k faktu, že Vrána přednáší zpaměti, více.
\item Ve skutečnosti nezáleží na tom, zdali máme funkci integrabilní na $(a,b)$ či $\left[a,b\right]$, neboť integrál na krajních hodnotách nezáleží. Ve všech definicích týkajících se integrability mohou být namísto uzavřených intervalů otevřené a naopak, to platí i pro následující kapitolu. Na přednášce se značí $/ a,b/$.
\end{enumerate}
\end{remark}
