Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Lokální extrémy}
\index{lokální maximum}
\index{lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když
\begin{align*}
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)), \text{ resp.} \\
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))
\end{align*}
\end{define}
\begin{remark}
Extrém může mít pouze reálná funkce. Na komplexních číslech není zavedena relace uspořádání, nelze tedy porovnávat komplexní funkční hodnoty.
\end{remark}
\index{ostré lokální maximum}
\index{ostré lokální minimum}
\begin{define}
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když
\begin{align*}
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)<f(a)), \text{ resp.} \\
& (\exists\H_a)(\forall x\in\H_a \sm \{a\})(f(x)>f(a))
\end{align*}
\end{define}
\begin{define}
Buď $f'(x_0)=\covec 0$. Potom $x_0$ nazýváme {\bf stacionárním bodem} funkce $f$.
\end{define}
\begin{theorem}
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li v $x_0$ diferencovatelná, pak je $x_0$ stacionárním bodem funkce $f$.
\end{theorem}
\begin{define}
\label{def_pozitivni_definitnost}
Řekneme, že $f''(x_0)$ je:
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf pozitivně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
\item {\bf pozitivně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \ge 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
\item {\bf negativně definitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 < 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X\sm\{\vec 0\}$;
\item {\bf negativně semidefinitní}, pokud $f''(x_0)\vec h^2 \le 0$ pro každý $\vec h \in \VEC X$ a existuje $\vec h \not= \vec 0$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 = 0$;
\item {\bf indefinitní}, pokud existují $\vec h,\vec k \in \vec X$ takové, že $f''(x_0)\vec h^2 > 0$ a $f''(x_0)\vec k^2 < 0$.
\end{enumerate}
Dále řekneme, že $f''(x_0)$ je {\bf pozitivní}, pokud je pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní. Analogicky $f''(x_0)$ nazveme {\bf negativní}, pokud je negativně definitní nebo negativně semidefinitní.
\end{define}
\begin{theorem}
\label{podminky_extremu}
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\covec 0$.
\begin{enumerate}[(I)]
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní.
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\[
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2
\]
\[
\begin{split}
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}
\end{split}
\]
\begin{enumerate}[(I)]
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0
\]
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M=\left\{\vec h: \norm{\vec h}=1\right\}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabývá svého minima
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec
h)\norm{\vec h}^2.\]
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec h)}<\frac14a$, pak
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec h)-f(x_0)\le 0$, platí, že
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0
\]
\item Podobně jako výše.
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě
$x_0$ lokální extrém.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Definice pozitivní definitnosti dle \ref{def_pozitivni_definitnost} je užitečná pouze na konečněrozměrných prostorech. V nekonečněrozměrném prostoru totiž může existovat cauchyovská posloupnost $\posl{\vec h_n}$ taková, že pro všechna $n \in \N$ je $f''(x_0) h_n^2 > 0$, ale $\lim_{n \to \infty} f''(x_0) h_n^2 = 0$. Pokud daný prostor není úplný, pak posloupnost $\posl{\vec h_n}$ v tomto prostoru nemusí konvergovat. Pro zobecnění věty \ref{podminky_extremu} na prostory nekonečné dimenze je třeba místo pozitivní definitnosti dle \ref{def_pozitivni_definitnost} předpokládat vlastnost
\[
\left( \exists \alpha > 0 \right)\left( \forall \vec h \in \VEC X \right)\left( f''(x_0)\vec h^2 \ge \alpha \norm{\vec h}^2 \right).
\]
Na prostorech konečné dimenze je tato vlastnost ekvivalentní s pozitivní definitností \ref{def_pozitivni_definitnost}, což lze vyčíst z důkazu věty \ref{podminky_extremu}. Za tohoto předpokladu již tvrzení věty \ref{podminky_extremu} platí i na prostorech nekonečné dimenze.
\end{remark}
