Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Totální derivace}
\begin{theorem}
\label{Spojitost lin. zobr. kon. dom.}
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom je $f$ spojité.
\begin{proof}
\[
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}
=\norm{\vec x-\vec y}K.
\]
Jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost, můžeme tedy zvolit libovolnou z ekvivalentních norem).
Z~uvedeného vztahu již okamžitě vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\dim\VEC X<\infty$ je podstatné, tj. pro nekonečnou dimenzi věta neplatí. Protipříklad: Nechť $\mathcal P_{[0,1]}$ je prostor reálných polynomů definovaných na $[0,1]$, na němž zavedeme normu:
\[\norm{x}=\max_{t \in [0,1]}\abs{x(t)}\]
Jako lineární zobrazení vezmeme derivaci (známou z MAA1, máme funkci jedné proměnné). Pro posloupnost definovanou jako $p_n(x)=x^n$ platí, že $\norm{p_n}=1$, ale $\norm{p'_n}=n \norm{p_n}$,
takže derivace není omezená a tudíž nemůže být spojitá.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{Spojitost lin. zobr.}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $f$ je spojité, tj. $(\forall x \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$,
\item $f$ je spojité v~$\vec 0$, tj. $(\forall a \in \VEC X)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\norm{\vec a}<\delta\implies\norm{f\vec a}<\epsilon)$,
\item $f$ je omezené, tj. $(\exists k>0)(\forall\vec x\in\VEC X) (\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$,
\vspace{3pt}
\item $f$ je lipschitzovské, tj. $(\exists L>0)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y} \le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$,
\item $f$ je stejnoměrně spojité, tj. $(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in \VEC X)(\norm{\vec x-\vec y}<\delta\implies\norm{f\vec x-f\vec y}<\epsilon)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $1\implies 2$: zřejmé.
\item $2\implies 3$:
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí
\[
\norm{
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)
}\le 1,
\]
s~využitím linearity pak dostáváme
\[
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.
\]
\item $3\implies 4$:
\[
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.
\]
\item $4\implies 5$: zřejmé.
\item $5\implies 1$: zřejmé.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pro lineární zobrazení se termín \textbf{omezené} používá pro vlastnost definovanou výrokem výše, který nemá s metrickou omezeností nic společného. Nenulové lineární zobrazení nemůže být omezené v metrickém smyslu!
\end{remark}
\index{norma lineárního zobrazení}
\begin{define}
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom definujeme {\bf normu zobrazení $f$} takto:
\[
\norm{f}=\inf\{
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})
\}
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\left\lbrace\vec 0\right\rbrace}
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}
=\sup_{\norm{\vec x} = 1} \norm{f\vec x}.
\]
\end{define}
\begin{define}
\label{def_spojite_linearni_zobrazeni}
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X \to \VEC Y$ s~normou z~předchozí
definice.
\end{define}
\index{diferencovatelnost v~bodě}
\begin{define}
\label{diferencovatelnost}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je {\bf diferencovatelné}
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}
\right)=\vec 0.
\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item \label{poznamka_dif_v_bode}
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existují
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \to \VEC Y$ takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:
\[
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec 0
\]
\item \label{poznamkaderivace}
Derivace ve směru (tj. směrová derivace):
\begin{align*}
L\vec h &= \lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)
= \lim_{t\to 0}\frac1t\left(
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}
\right) \\
&= \lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}.
\end{align*}
Z předchozího vztahu plyne jednoznačnost zobrazení $L$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\index{derivace zobrazení}
\begin{define}[Fréchet]
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu (viz MAA4).
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q^i,t)$ ve~fyzice platí následující rovnost (viz TEF2):
\[\frac{\d H}{\d t}(p_i,q^i,t)\,\vec e=\frac{\pd H}{\pd t}(p_i,q^i,t),\]
kde $\vec e$ značí vektor mající každou složku rovnu jedné. V této podobě dává matematický význam (na obou stranách je číslo), fyzici však zmiňují tuto rovnost bez $\vec e$.
\item Existence derivace funkce je \emph{topologická} vlastnost --- nezávisí na normě, nýbrž jen na topologii indukované normou. Bez normy však pojem derivace nelze zavést. (Dokáže se snadno pomocí věty o ekvivalenci norem)
\item Pro prostory dimenze $m$ a $n$ lze $L$, tj. $\frac{\d f}{\d x}(x_0)$ reprezentovat tzv. Jacobiho maticí $\JJ_f$:
\[\JJ_f(x_0)=\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n}(x) \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1}(x) & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n}(x) \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.
\begin{proof}
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že
pro $x$ jdoucí k $x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve směru. Platí, že
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]
\begin{proof}
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky \ref{diferencovatelnost}.\ref{poznamkaderivace} platí
\[
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Z této věty plyne, že při zvolení $e_1=1$ je definice derivace \ref{diferencovatelnost} pro $X=T$, kde $T$ je těleso, ekvivalentní s \ref{derivace z telesa}.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X \to Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.
\begin{proof}
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec 0.\]
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem} \label{1210}
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,
\item
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\
\end{split}
\]
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to
zřejmé).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Předchozí věta platí i pro zobrazení do lineárního normovaného prostoru. (Ten potřebujeme kvůli sčítání)
\end{remark}
\begin{remark}[Rieszova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.
\end{remark}
\index{gradient}
\begin{define}
Buď $X$ afinní \textit{eukleidovský prostor}, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Rieszovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj. parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.
\item
\[
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}
\]
\[
\begin{split}
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=
\norm{\grad f(x_0)}
\end{split}
\]
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:
\[
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),
\]
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem} \label{1212}
Buď $f: X \to Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi: \tau \mapsto f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=\covecc{f'(x_0+t\vec h)}\vec h$
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}
\right) & =
\lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}
\right)=\\
& = \lim_{\tau\to 0}\left(
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)
}{\tau}
\right)+\\
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi: \vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.
\end{remark}
\begin{theorem}[o přírůstku funkce] \label{oprirustkufunkce}
Buď $f: X \to \R$ spojitá na $\left[x_0,x\right]$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelná na $(x_0,x)$.
Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že $f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.
\begin{proof}
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak $\varphi: \R \to \R$ a podle Lagrangeovy věty
o~přírůstku funkce existuje $\xi\in(0,1)$ takové, že platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$. Potom
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme komplexní funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.
\end{remark}
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ takové, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $\norm{f'(y)} \leq c$. Potom platí, že
\[
\norm{f(x)-f(x_0)} \leq c \norm{x-x_0}
\]
\end{theorem}
\begin{theorem} \label{1215}
Buď $f: X \to Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na
oblasti $A\subset X$ a nechť $f'(x)=\covec 0$ (nulový kovektor) pro každé $x\in
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$
\begin{proof}
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.
\begin{enumerate}[a)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|=0$, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.
\end{enumerate}
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.
\end{proof}
\end{theorem}
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}
\begin{define}
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud je $f$ definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a platí
\[
(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0))=t^\alpha f(x)).
\]
\end{define}
\begin{theorem}[Eulerova, o homogenní funkci]
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, když pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$ platí:
\[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $( \Rightarrow )$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi: (0, +\infty) \to \R$ předpisem
\[
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).
\]
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= f'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí
\[
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).
\]
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazení $t = 1$ rovnost
\[
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).
\]
\item $( \Leftarrow )$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí
\[
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).
\]
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení
\[
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).
\]
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí
\[
\begin{split}
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\
& = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0
\end{split}
\]
Poslední rovnost platí, protože $\vecc{y-x_0}=t\vecc{(x-x_0)}$. Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 , +\infty)$ a platí
\[
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buď $f: X \to Y$, $\dim X < \infty$, $x_0 \in \vn{(\df f)}$ a nechť $f$ má na $\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom $f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y =\R$.
Buď $B(x_0,r)$. Pak podle \ref{blba o prirustku} existují body $x_1,\dots,x_n$,
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:
\[
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)
\]
Potom
\[
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}
=0.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$
$\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{spojita_diferencovatelnost}
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\|
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\index{$\c{1}$ třída}
\begin{define}[třídy hladkosti]
Buď $A = \vn{A}$, $A \subset \df f$. Řekneme, že $f$ je {\bf třídy}:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\c{0}$ na $A$ (značíme $f \in \c{0}(A)$), je-li $f$ spojitá na $A$;
\item $\c{1}$ na $A$ (značíme $f \in \c{1}(A)$), pokud v každém bodě $x_0 \in A$ existuje $f'(x_0)$ a zobrazení $f': x_0 \mapsto f'(x_0)$ je třídy $\c{0}$, tj. $f$ je {\bf spojitě diferencovatelná} na $A$.
\end{enumerate}
Pokud se explicitně neuvede množina $A$, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$. V tomto případě klasifikace zahrnuje předpoklad $\df f = \vn{(\df f)}$!
\end{define}
\begin{remark}
Z věty \ref{spojita_diferencovatelnost} plyne, že v~prostoru konečné dimenze $n$ je $f \in \c 1$, právě když $f_i \in \c 0$ pro každé $i\in \hat n.$
\end{remark}
\begin{theorem}[derivace složeného zobrazení]
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f: X \to Y$
diferencovatelné v~$x_0$, $g: D \to \df f$ diferencovatelné v~bodě
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.
\begin{proof}
\begin{align*}
& \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{F(t)-F(t_0) - f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}_Y = \\
&= \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{f(g(t))-f(g(t_0)) - f'(x_0)(g(t)-g(t_0)) + f'(x_0)(g(t)-g(t_0) - g'(t_0)(t-t_0))}_Y = \\
&= \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g(t)-g(t_0)}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y = \\
&= \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \norm{\omega(g(t))\norm{g'(t_0)(t-t_0) + \mu(t)\norm{t-t_0}_D}_X + f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0}_D)}_Y \le \\
&\le \frac{1}{\norm{t-t_0}_D} \left( \norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(D,X)} \norm{t-t_0}_D + \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) + \right. \\
& \left. + \norm{f'(x_0)}_{\L(X,Y)} \norm{\mu(t)}_X \norm{t-t_0}_D \right) \\
&= \norm{\omega(g(t))}_Y \left( \norm{g'(t_0)}_{\L(\VEC D,\VEC X)} + \norm{\mu(t)}_X \right) + \norm{f'(x_0)}_{\L(\VEC X,\VEC Y)} \norm{\mu(t)}_X
\end{align*}
Dále stačí využít toho, že $\lim_{t \to t_0} \omega(g(t)) = 0$ a $\lim_{t \to t_0} \mu(t) = 0$. Indexy u norem vyznačují prostor s příslušnou normou.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.
\[
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)
\]
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\
\end{matrix}
\right)_{t=t_0}
\]
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto Jacobiho matice regulární a můžeme pracovat s jejich determinanty, tzv. Jakobiány:
\[
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)
\]
Značíme buď $\J_F = \det F'$, $\J_F(t_0) = \J_f(x_0) \J_g(t_0)$, nebo \uv{klasicky}:
\[
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
