Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Funkční posloupnosti}
\index{limitní funkce}
\index{bodová limita}
\begin{define}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$. Nechť dále pro každé $z\in A$ číselná posloupnost
$\posl{f_n(z)}$ konverguje. Potom funkci $f$ definovanou na množině
$A$ předpisem $z\mapsto\lim_{n\to\infty}f_n(z)$ nazýváme {\bf limitní
funkcí posloupnosti} $\posl{f_n}$ (též {\bf bodovou limitou
posloupnosti}).
\end{define}
\index{stejnoměrná konvergence}
\begin{define}
Buď $f$ funkce a $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí definovaných na
množině $A$. Řekneme, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ {\bf konverguje
k~$f(z)$ stejnoměrně na množině $A$}, jestliže ke každému kladnému číslu
$\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna přirozená $n>n_0$ a
všechna $z\in A$ platí $\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon$. Značíme $f_n(z)\sk{A}f(z)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Nezavádí se pojem nevlastní limity.
\item Stejnoměrná konvergence nezáleží na bodu $z$, proto se místo $f_n(z)\sk{A}f(z)$ píše jen $f_n\sk{A}f$.
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pojem stejnoměrné konvergence nelze vyslovit bez určení množiny, na níž konvergence platí. Zápis $f_n\sk{~}f$ tedy nemá smysl.
\item Stejnoměrná konvergence je jakási konvergence v prostoru, jehož prvky jsou funkce. To je první krok k odpoutání se od pojmu funkční hodnota.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[supremové kriterium]
Posloupnost $\posl{f_n(z)}$ na množině
$A$ konverguje stejnoměrně ke své limitní funkci $f(z)$ právě tehdy, když
\[\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\right)=0.\]
\begin{proof}
Přímo z~definice dostáváme:
\[
\begin{split}
f_n(z)\sk{A}f(z) &
\iff (\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(\forall z\in A)
(\forall n>n_0)(\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon)\iff \\
&\iff (\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(\forall n>n_0)
\left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\le\epsilon\right)\iff \\
&\iff \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\right)=0.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Je-li funkce $g$ spojitá na kompaktní množině $A$, dle \ref{max-kompakt} nabývá svého suprema, tedy $\sup_{z\in A} g(z)=\max_{z\in A} g(z)$ a hledané maximum najdeme vyšetřením funkce užitím diferenciálního počtu.
\item Supremum může sloužit jako metrika na metrickém prostoru omezených komplexních funkcí definovaných na množině $A$. Stejnoměrná konvergence je pak ekvivalentní s konvergencí v tomto prostoru.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[Bolzano, Cauchy\footnote{1848}]
\label{bcfp}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A$. Potom posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje stejnoměrně
na množině $A$ (k~nějaké limitní funkci) právě tehdy, když pro každé
kladné číslo $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ takové, že pro všechna
přirozená $n>n_0$, pro všechna přirozená $p$ a pro všechna $z\in A$
platí:
\[\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\epsilon\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$ Nechť $f_n(z)\sk{A}f(z)$ a zvolme
$\epsilon>0$. Potom existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ a
všechna $z\in A$ platí: $\abs{f_n(z)-f(z)}<\frac\epsilon 2$. Odtud
dostáváme pro všechna $n>n_0$, pro všechna $z\in A$ a pro všechna
přirozená $p$:
\[\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}\le\abs{f_{n+p}(z)-f(z)}+\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon.\]
\item ($\Leftarrow$) Předpokládejme, že pro libovolné $\epsilon>0$
existuje $n_0$ tak, že pro všechna $n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna
$z\in A$ platí:
\begin{equation}
\label{e3-4-1}
\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\frac\epsilon 2.
\end{equation}
Pro libovolné pevné $z\in A$ odtud plyne, že posloupnost
$\posl{f_n(z)}$ konverguje. Buď $f$ limitní funkce posloupnosti
$\posl{f_n}$ na množině $A$. Přejdeme-li nyní v~nerovnosti \eqref{e3-4-1} k~limitě
pro $p\to\infty$, vidíme, že pro všechna $\epsilon>0$ existuje $n_0$
tak, že pro všechna $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí:
\[\abs{f(z)-f_n(z)}\le\frac\epsilon 2<\epsilon\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item B-C kritérium charakterizuje stejnoměrnou konvergenci bez pojmu limitní funkce. Pojem stejnoměrné konvergence tudíž má význam i bez jejího určení a lze psát $f_n\sk{A}$.
\item Ve skutečnosti je B-C kritériem limity pouze v prostorech, které jsou úplné --- viz \ref{uplnost}.
\end{enumerate}
\end{remark}
\index{lokálně stejnoměrná konvergence}
\begin{define}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A$. Řekneme, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje na
množině $A$ {\bf lokálně stejnoměrně} (k~$f(z)$), jestliže ke každému
bodu $z\in A$ existuje okolí $\H_z$ bodu $z$ takové, že posloupnost
$\posl{f_n(z)}$ konverguje stejnoměrně (k~$f(z)$) na množině $A\cap\H_z$.
\end{define}
\begin{remark}
Na kompaktní množině jsou pojmy lokální stejnoměrná
konvergence a stejnoměrná konvergence ekvivalentní.
\end{remark}
\index{stejně omezená posloupnost}
\begin{define}
$\posl{f_n}$ se nazývá {\bf stejně omezená} na množině $A$,
existuje-li kladné číslo $K$ takové, že pro všechna $n\in \N$ a
všechna $z\in A$ platí $\abs{f_n(z)}<K$.
\end{define}
\begin{theorem}[o~limitě]
\label{olimite-p}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$ a nechť
\begin{enumerate}[(I)]
\item $z_0\in A'$;
\item ($\forall n\in\N$) ($\exists \lim_{z\to z_0,z\in A}f_n(z)=a_n\in\C$);
\item $f_n(z)\sk{A}f(z)$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Posloupnost $\posl{a_n}$ konverguje, tj. $\lim_{n\to\infty} a_n=a\in\C$;
\item Existuje $\lim_{z\to z_0,z\in A}f(z)$;
\item Limity v~bodech (i) a (ii) jsou si rovny.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\lim_{n\to\infty}\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)=
\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z).
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Z~(III) a z~věty \ref{bcfp} plyne, že k~libovolnému $\epsilon>0$
existuje $n_0$ tak, že pro všechna přirozená $n>n_0$, všechna
$p\in\N$ a všechna $z\in A$ platí $\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\frac\epsilon
3$. Zvolme nyní pevně $n>n_0$ a $p\in\N$. Potom z~(II) plyne existence
okolí $\H_z$ bodu $z_0$ tak, že pro všechna $z\in A\cap\H_z\sm\{z_0\}$
bude platit $\abs{f_n(z)-a_n}<\frac\epsilon 3$ i
$\abs{f_{n+p}-a_{n+p}}<\frac\epsilon 3$. Tudíž
\[\abs{a_{n+p}-a_n}\le\abs{f_{n+p}(z)-a_{n+p}}+\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}+\abs{f_n(z)-a_n}<
\frac\epsilon 3+\frac\epsilon 3+\frac\epsilon 3=\epsilon.\]
\item Označme $a=\lim_{n\to\infty}a_n$ a zvolme $\epsilon>0$. Potom
z~(III) a již dokázaného tvrzení (i) plyne existence $n_0$ takového, že pro všechna $n>n_0$
platí:
$\abs{f_n(z)-f(z)}<\frac\epsilon 3$ pro všechna $z\in A$ a
$\abs{a_n-a}<\frac\epsilon 3$. Zvolme pevně $n>n_0$. Potom z~(II) existuje okolí
$\H_{z_0}$ bodu $z_0$ takové, že pro všechna $z\in
A\cap\H_{z_0}\sm\{z_0\}$ je $\abs{f_n(z)-a_n}<\frac\epsilon 3$ a tudíž
\[\abs{f(z)-a}<\abs{f(z)-f_n(z)}+\abs{f_n(z)-a_n}+\abs{a_n-a}<\epsilon.\]
Dokázali jsme tak, že $\lim_{z\to z_0,z\in A}f(z)=a$, tj. tvrzení (ii) i~(iii).
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~spojitosti]
\label{ospojitosti-p}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$ a spojitých v~bodě $z_0\in A$ (vzhledem
k~$A$). Nechť dále posloupnost $\posl{f_n(z)}$ stejnoměrně konverguje na
množině $A$ k~$f(z)$. Potom funkce $f$ je spojitá v~bodě $z_0$
vzhledem k~$A$.
\begin{proof}
V~každém izolovaném bodě množiny $A$ je funkce $f$ spojitá (z definice spojitosti). Proto předpokládejme, že $z_0$ je hromadný bod množiny $A$. Potom jsou splněny všechny předpoklady věty
\ref{olimite-p} a tudíž platí:
\[\lim_{n\to\infty}\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)=
\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z).
\]
Ze spojitosti funkcí $f_n$ v~bodě $z_0$ vzhledem k~množině $A$ odtud
plyne:
\[
\lim_{n\to\infty}f_n(z_0)=
\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z)
\text{, tj. }
f(z_0)=\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f(z).
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~derivaci]
\label{oderivaci-p}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na
omezeném a otevřeném intervalu $\J\subset\R$ takových, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Existuje $c\in\J$ tak, že posloupnost $\posl{f_n(c)}$
konverguje;
\item Posloupnost $\posl{f_n'(x)}$ konverguje stejnoměrně na $\J$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Posloupnost $\posl{f_n(x)}$ konverguje stejnoměrně na $\J$;
\item Limitní funkce $f$ posloupnosti $\posl{f_n}$ je diferencovatelná
na intervalu $\J$;
\item Derivace $f'$ je limitní funkcí posloupnosti $\posl{f_n'}$.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)' = \lim_{n\to\infty} f_n'
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item Zvolme $\epsilon>0$. Z~bodů (I) a (II) plyne existence $n_0$
takového, že pro všechna $n>n_0$ a pro všechna $p\in\N$
$\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}<\frac\epsilon 2$ a
$\abs{f'_{n+p}(y)-f'_n(y)}<\frac\epsilon{2\abs{\J}}$ pro všechna $y\in\J$.
Buď $n>n_0$ a $p\in\N$; potom pro všechna $x\in\J$ je
\[
\begin{split}
\abs{f_{n+p}(x)-f_n(x)}&\le\abs{(f_{n+p}(x)-f_n(x))-(f_{n+p}(c)-f_n(c))}+
\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}=\\
& = \abs{(f_{n+p}-f_n)(x)-(f_{n+p}-f_n)(c)}+\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}=\\
& = \abs{x-c}\,\abs{(f_{n+p}-f_n)'(\xi)}+\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}< \abs{\J}\frac{\epsilon}{2\abs{\J}}+\frac\epsilon 2=\epsilon,
\end{split}
\]
kde $\xi$ je podle věty o~přírůstku funkce aplikované na funkci
$f_{n+p}-f_n$ vnitřní bod intervalu o~krajních bodech $x$ a $c$. Tím
je dokázáno tvrzení (i).
\item Tvrzení (ii) a (iii) dokážeme pomocí věty
\ref{olimite-p}. Zvolme $x_0\in\J$ a položme $A=\J\sm\{x_0\}$,
\[g_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\text{ pro všechna $x\in A$ a
$n\in\N$.}\] Potom pro všechna $x\in A$ a všechna $n,p\in\N$ existuje
(podle věty o~přírůstku funkce) v~otevřeném intervalu o~hraničních
bodech $x_0,x$ bod $\xi$ tak, že platí
\begin{multline*}
\abs{g_{n+p}(x)-g_n(x)}=\frac1{\abs{x-x_0}}\abs{(f_{n+p}-f_n)(x) -
(f_{n+p}-f_n)(x_0)}= \\
=\abs{(f_{n+p}-f_n)'(\xi)}=\abs{f_{n+p}'(\xi)-f_n'(\xi)}.
\end{multline*}
Protože posloupnost $\posl{f'(x)}$ konverguje na intervalu $\J$
stejnoměrně, plyne odtud, že také posloupnost $\posl{g_n(x)}$
stejnoměrně konverguje na množině $A$. Přitom platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $x_0\in A'$;
\item pro všechna $n\in\N$ existuje $\lim_{x\to x_0,x\in A}g_n(x)=f_n'(x_0)$;
\item \[g_n(x)\sk{A}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]
\end{enumerate}
Můžeme tedy užít věty \ref{olimite-p}. Podle ní existuje
\[\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
(tj. existuje derivace funkce $f$ v~bodě $x_0$) a platí
\[f'(x_0)=\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{n\to\infty} f_n'(x_0).\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pokud v předpokladu (II) věty \ref{oderivaci-p} požadujeme pouze lokální stejnoměrnou konvergenci, pak posloupnost $\posl{f_n(x)}$ konverguje lokálně stejnoměrně na $\J$ a platí záměna (zbylá dvě tvrzení (ii) a (iii)). Pro takto modifikovanou větu je zbytečné předpokládat omezenost intervalu $\J$.
\item Na přenos spojitosti stačí pouze tzv. \textit{kvazistejnoměrná} konvergence: konverguje-li posloupnost spojitých funkcí na množině $A$ kvazistejnoměrně, je limitní funkce spojitá na $A$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}[o~integraci]
\label{ointegraci-p}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí (riemannovsky) integrabilních na
intervalu $[a,b]$. Nechť dále posloupnost $\posl{f_n(x)}$ stejnoměrně
konverguje na intervalu $[a,b]$ k~$f(x)$. Potom limitní funkce $f$ je
na intervalu $[a,b]$ (riemannovsky) integrabilní a platí:
\[\int_a^b f(x)\dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\dx\]
\begin{proof}
Buď $\epsilon>0$. Protože $f_n(x)\sk{[a,b]}f(x)$, existuje $n_0$
tak, že pro všechna $n>n_0$ a všechna $x\in [a,b]$ platí:
\begin{equation}
\label{e4-8-1}
\abs{f_n(x)-f(x)}<\frac{\epsilon}{4(b-a)}.
\end{equation}
Zvolme pevně $n>n_0$. Potom z~existence Riemannova integrálu funkce
$f_n$ na intervalu $[a,b]$ plyne, že existuje $\delta>0$ tak, že pro
všechna $\delta$-rozdělení $\sigma$ intervalu $[a,b]$ je
\begin{equation}
\label{e4-8-2}
\Omega(f_n,\sigma)<\frac\epsilon2.
\end{equation}
Přitom klademe $\Omega(f_n,\sigma)=S_n(\sigma)-s_n(\sigma)$, kde $\Omega$ je tzv. vážený součet oscilací,
$S_n(\sigma)$ resp. $s_n(\sigma)$ je horní resp. dolní Darbouxův
integrální součet funkce $f_n$ na intervalu $[a,b]$ při rozdělení
$\sigma$. Značme dále $M_n^i$ resp. $m_n^i$ supremum resp. infimum
funkce $f_n$ na $i$-tém částečném intervalu rozdělení
$\sigma$. Analogické značení (ovšem bez indexu $n$) užijeme pro
limitní funkci $f$.
Potom podle \eqref{e4-8-1} je pro všechna $x$ z~$i$-tého částečného
intervalu rozdělení $\sigma$ splněna nerovnost :
\[f_n(x)-\frac{\epsilon}{4(b-a)}<f(x)<f_n(x)+\frac{\epsilon}{4(b-a)}\]
a tudíž
\[m_n^i-\frac{\epsilon}{4(b-a)}\le m^i\le M^i\le
M_n^i+\frac{\epsilon}{4(b-a)}.\]
Po vynásobení poslední nerovnosti délkou $i$-tého částečného intervalu
a sečtení přes všechny částečné intervaly rozdělení $\sigma$ obdržíme:
\[s_n(\sigma)-\frac\epsilon4\le s(\sigma)
\le S(\sigma)\le S_n(\sigma)+\frac\epsilon4\]
a tedy
\[\underbrace{S(\sigma)-s(\sigma)}_{\Omega(f,\sigma)}\le \underbrace{S_n(\sigma)-s_n(\sigma)}_{\Omega(f_n,\sigma)}+\frac\epsilon2,\]
tj. k~libovolnému $\epsilon>0$ proto existuje $\delta>0$ tak, že pro
všechna $\delta$-rozdělení $\sigma$ intervalu $[a,b]$ platí (dle
\eqref{e4-8-2}) $\Omega(\sigma, f)<\epsilon$.
Funkce $f$ je tedy (riemannovsky) integrabilní na intervalu $[a,b]$;
přitom platí pro $n>n_0$:
\begin{multline}
\abs{\int_a^b f_n(x)\dx-\int_a^b f(x)\dx} =
\abs{\int_a^b (f_n(x)-f(x))\dx} \le \\ \le
\int_a^b\abs{f_n(x)-f(x)}\dx \le
\int_a^b\frac{\epsilon}{4(b-a)}\dx=\frac\epsilon4<\epsilon,
\end{multline}
tj.
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\dx=\int_a^b f(x)\dx.\]
\end{proof}
\end{theorem}
