Součásti dokumentu 01FIMA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FIMA}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Neživotní pojištění
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Neživotní pojištění}
Neživotní pojištění zahrnuje vše, co nepatří do životního pojištění, a proto se pochopitelně dělí do mnoha kategorií:
\begin{itemize}
\item \textbf{Zdravotní rizika} (ZDR) - úraz, hospitalizace, zdravotní neschopnost, ...
\item \textbf{Havarijní pojištění} (HAV) - aut, ale i letadel, lodí, ...
\item \textbf{Pojištění majetku} (MAJ) - přeprava, živelné pohromy, krádež ...
\item \textbf{Odpovědnostní pojištění}
\begin{itemize}
\item Odpovědnost z provozu vozidla (POV) ("povinné ručení") - Existuje takzvaná Česká kancelář pojistitelů, jejímž členem musí být každá pojišťovna, která poskytuje povinné ručení. Pojišťovny odvádí část peněz do společného fondu, ze kterého se zaplatí škoda v případě, že je viník neznámý (jen zdravotní škody) nebo je viník bez pojištění (od něj je následně částka vymáhána).
\item Obecná odpovědnost (ODP) - občanská odpovědnost (rozbiji něco v obchodě), odpovědnost vlastníka nemovitosti (vytopím souseda), ...
\end{itemize}
\item \textbf{Finanční ztráty} (FNR) - pojištění úvěru, cestovní pojištění (budu nečekaně potřebovat překladatele) ...
\end{itemize}
\section{Srovnání s životním pojištěním}
Neživotní pojištění je většinou uzavíráno na krátkou dobu (rok nebo méně) s výjimkou některých zdravotních pojištění (invalidita, pracovní neschopnost).
Věk klienta většinou nehraje zásadní roli. (Například u havarijního pojištění se často dělají jen 3 kategorie: do 23, 23-65, 65+)
Jinak se mění rezerva v průběhu pojištění. Například nevzniká stejný jev jako u pojištění pro případ smrti, kdy je nejprve rezerva vysoká - člověk platí konstantní pojistné, ale v nižším věku má nižší pravděpodobnost smrti.
Vzniká potřeba mít rezervy na plnění za události nahlášené až zpětně (někomu vykradou chatu přes zimu a on to zjistí a nahlásí až na jaře) nebo nahlášené chybně či nepřesně (někdo nahlásí nehodu a škodu na autě, ale nenahlásí zraněné, kterým se pak platí vysoké zdravotní škody).
Nemáme zde tak dobrý odhad pravděpodobnosti výskytu pojistné události a navíc ani předem nevíme výši plnění.
V životním pojištění se může člověk pojistit na téměř libovolnou částku (nemůžeme stanovit cenu jeho života), ale věc je možné pojistit maximálně na její skutečnou hodnotu. (Nemohu auto za 800k pojistit na 2M, zbořit ho a chtít pak 2M od pojišťovny.)
Pojišťovny někdy zneužívají klesání ceny věcí: Uzavřou smlouvu na 5 let na auto v hodnotě 800k a výši pojistného určí jako 5\% z této ceny. Klient platí stále stejné pojistné, ale když auto úplně zničí třeba ve třetím roce, dostane od pojišťovny jen současnou cenu (třeba 400k), přestože pojistné platí na věc v původní hodnotě. Proto je potřeba se každý rok přepojistit podle současné hodnoty věci.
Chceme-li se pojistit na menší částku, než je cena věci (auto za 800k pojistíme na 400k), plnění vetšinou probíhá jen poměrově. Tedy pokud na autě vznikne škoda za 200k, dostaneme jen 100k.
Klient má často ve smlouvě spoluúčast na plnění v případě pojistné události. Konkrétní podoba samozřejmě závisí na smlouvě. Například to může být prostě 10\% škody; vždy 5 000 Kč; jen škody do 5 000 Kč; 10 \% ceny, ale minimálně 5 000 Kč (aby klient neotravoval s plněním za 200 Kč).
\section{Určení pojistného}
Opět se používá pravděpodobnostní model.
Například u povinného ručení je škodní frekvence (š.f.) cca 5-6 \%, průměrné pojistné plnění (PP) na plechové (na autě) škody 30 000 Kč a zdravotní 200 000 Kč. Ve velké většině případů jsou však jen plechové škody. Pokud zanedbáme zdravotní výlohy (hrubý odhad), dostaneme tedy pro netto pojištění $0,06*30 000$ Kč = 1800 Kč (ročně). Pojišťovna má však další výdaje a tak se snaží držet \textbf{škodný} (někdy se říká škodní) \textbf{poměr}
\begin{large}
\begin{eqnarray}
SP = \frac{vyplaceno}{pojistne} \thicksim 0,5-0,7 \%.
\end{eqnarray}
\end{large}
Dále se zavádí \textbf{kombinovaný škodný poměr} (CR - compact ratio), kde chceme, aby:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
CR = \frac{veskere\_ naklady}{pojistne} \in (0.95, 1.02).
\end{eqnarray}
\end{large}
To, že pojišťovna může vydělávat i při $CR>1$ je dáno zúročením peněz, které se zde jinak obecně zanedbává (bere se jako skrytá rezerva). Dlouhodobě se však snaží mít $CR>1$.
Správně bychom při výpočtu škodného poměru měli zahrnout výše zmíněné rezervy:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
SP = \frac{plneni + \Delta RBNS + \Delta IBNR}{zaslouzene\_ pojistne},
\end{eqnarray}
\end{large}
kde RBNS (Reported But Not Settled) je rezerva na škody nahlášené, ale ještě nezaplacené (čeká se na nějaké další úkony), IBNR (Incurred But Not Reported) rezerva na zatím nenahlášené škody a zasloužené plnění znamená, že například z pojistného za celý rok započteme jen poměrnou část podle toho, v jaké části roku se nacházíme.
Pozn.: V neživotním pojištění se termín netto pojištění používá pro část pojištění, která zůstane pojišťovně a nejde do zajišťovny. Na přednášce však budeme tento termín používat ve stejném významu, jako u životního pojištění (tedy pojistné bez započtení výdajů pojišťovny).
\section{Teorie určení počtu pojistných událostí}
Tato teorie je postavena na několika základních předpokladech:
\begin{enumerate}
\item $t \geq 0$
\item Pro disjunktní časové intervaly $A$ a $B$ jsou počty škod $N(A)$ a $N(B)$ nezávislé.
\item \begin{itemize}
\item $P($jedna poj. událost v $(t,t+h)$) = $qh+o(h)$ (obecněji $q_t h + o(h)$)
\item $P($2 a více poj. událostí v $(t,t+h)$) = $o(h)$
\end{itemize}
\end{enumerate}
Použité značení $o(h)$ znamená členy řádu vyššího, než $h$. (Jelikož $h$ bude malé, budeme tyto členy zanedbávat.)
Nyní si zavedeme označení: $p_k(t)=P(N_t=k)$ (pravděpodobnost, že v čase od 0 do $t$ nastane $k$ pojistných událostí). Zřejmě platí $P(N_0=0)=1$ a $P(N_0 \neq 0)=0$. S využitím předpokladu si můžeme odvodit následující vztah:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
p_0(t+h)=P(N_t=0)\cdot P(N_{t+h}-N_t=0) = p_0(t) \cdot (1-qh+o(h))
\end{eqnarray}
\end{large}
a tedy
\begin{large}
\begin{eqnarray}
\frac{\dif}{\dif t}p_0(t)=\lim_{h \rightarrow 0_+} \frac{p_0(t+h)-p_0(t)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0_+} \frac{p_0(t)(1-qh+o(h))-p_0(t)}{h} = -qp_0(t).
\end{eqnarray}
\end{large}
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice je
\begin{large}
\begin{eqnarray}
p_0(t)=e^{-qt}.
\end{eqnarray}
\end{large}
Nyní si můžeme určit například pravděpodobnost, že du času $t$ nenastala alespoň jedna pojistná událost:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
P(\tau_1<t)=1-P(N_t=0)=1-p_0(t)=1-e^{-qt},
\end{eqnarray}
\end{large}
kde první člen je poměrně nestandardně zapsán: $\tau_1$ je čas do první události, a tedy se jedná o pravděpodobnost, že čas $t$ je větší, než čas do první události.
Dále odvodíme:
\begin{large}
\begin{align}
p_k(t+h)&=\sum_{j=0}^k P(N_t=k-j)\cdot P(N_{t+h}-N_t=j) = \\
&= \{P(N_t=k-j)=o(h) \quad\mathrm{pro}\quad k-j>1\} = \\
&= \sum_{j=0}^1 P(N_t=k-j)\cdot P(N_{t+h}-N_t=j) + o(h) = \\
&= P(N_t=k)\cdot P(N_{t+h}-N_t=0) + P(N_t=k-1)\cdot P(N_{t+h}-N_t=1) + o(h) = \\
&= p_k(t)(1-qh+o(h)) + p_{k-1}(t)(qh+o(h)) + o(h).
\end{align}
\end{large}
Odtud dostaneme analogickým limitním přechodem jako v předchozím případě vztah:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
\frac{\dif}{\dif t}p_k(t) = q(p_{k-1}(t) - p_k(t)).
\end{eqnarray}
\end{large}
Z této rovnice vidíme, že se jedná o Poissonův proces, jehož řešení je:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
p_k(t) = \frac{(qt)^k}{k!}e^{-qt}.
\end{eqnarray}
\end{large}
Pro určení parametrů z reálných dat se nám ještě bude hodit určit průměrný počet pojistných událostí za dobu $t$. (Na přednášce se to nedělalo. Nevím, jestli to nejde nějak jednodušeji...)
\begin{large}
\begin{align}
<N_t> &= \sum_{k=0}^\infty k\cdot p_k(t) = \sum_{k=1}^\infty k\cdot \frac{(qt)^k}{k!}e^{-qt} = \\
&= e^{-qt} qt \sum_{k=1}^\infty \frac{(qt)^{k-1}}{(k-1)!} = e^{-qt} qt \sum_{k=1}^\infty \frac{(qt)^{k-1}}{(k-1)!} = \\
&= e^{-qt} qt \sum_{k=0}^\infty \frac{(qt)^{k}}{(k)!} = e^{-qt} qt e^{qt} = qt.
\end{align}
\end{large}
Další vlastností Poissonova procesu je to, že i rozptyl $\sigma^2$ je $qt$.
\begin{example}
V ČR bylo v roce 1993 celkem 6 000 000 aut a z toho bylo 26 500 odcizeno. Tedy bylo ukradeno 0,442\%. Pojišťovna pojistila 83 000 aut z celkového počtu a z nich tedy bylo s nejspíše ukradeno 366,6=$qt$ auta. (Dělení aut nám nevadí.) Nyní nás zajímá, jaká je pravděpodobnost, že ve skutečnosti bylo ukradeno 416 aut pojištěných touto pojišťovnou (416 aby to hezky vyšlo). Pro jednoduchost použijeme aproximaci pomocí normálního rozdělení se střední hodnotou $qt$ a variancí $\sigma^2=qt$. Adekvátnost tohoto přiblížení je vidět na obrázcích \ref{fig:poisson} a \ref{fig:poisson_normalni}. I pro případ $qt=100$ jsou rozdělení téměř identická a my zde máme dokonce 366. Pak tedy dostáváme:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
P(N_1>416) = P(\frac{N_1-366,5}{\sqrt{366,5}}<\frac{416-366,5}{\sqrt{366,5}})=1-\Phi(2,5856) \doteq 0,5\% .
\end{eqnarray}
\end{large}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=.7]{poisson.PNG}
\caption{Poissonovo rozdělení pro různé hodnoty $qt$. Je zde vidět, jak se blíží normálnímu.}
\label{fig:poisson}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{poisson_normalni.png}
\caption{Srovnání Poissonova a normálního rozdělení pro $qt=\mu=\sigma^2=100$. }
\label{fig:poisson_normalni}
\end{figure}
\end{example}
%\begin{example}
%Nahlašování PU na telefonní ústředně: Označme $x_t$ počet otevřených (nenahlášených) PU v čase $t$. Za čas $h$ může nastat několik událostí s různými pravděpodobnostmi:
%
%\begin{enumerate}
% \item vznikne jedna nová PU \ldots pravděpodobnost: $qh + o(h)$
% \item vznikne více nových PU \ldots pravděpodobnost: $o(h)$
% \item je nahlášena jedna PU \ldots pravděpodobnost: $x_t rh + o(h)$
% \item je nahlášeno více PU \ldots pravděpodobnost: $o(h)$
% \item kombinace různých událostí \ldots pravděpodobnost: $o(h)$
%\end{enumerate}
%
%?? tohle jsem nějak nerozluštil...
%\end{example}
\section{Statistický přístup}
Pro začátek uvedeme příklad pěti let pojištění.
\begin{tabular}{| p{1cm} | p{2cm} | p{2cm} | p{2cm} | p{2cm} | p{2cm} |}
\hline
Rok & poč. Kl & poč. PU & Pl celkem & Pl/PU & Pl/Kl \\ \hline
1 & 50000 & 60 & 65 000 000 & 1 083 333 & 1 300 \\ \hline
2 & 48000 & 50 & 52 000 000 & 1 040 000 & 1 083 \\ \hline
3 & 47000 & 55 & 53 000 000 & 963 636 & 1 128 \\ \hline
4 & 51000 & 45 & 44 000 000 & 977 778 & 863 \\ \hline
5 & 50000 & 55 & 57 000 000 & 1 036 364 & 1 140 \\ \hline
\end{tabular}
V této tabulce "poč. Kl" značí počet klientů, "poč. PU" počet pojistných událostí, "Pl celkem" \quad celkové platby pojišťovny, "Pl/PU" platba na jednu PU, "Pl/Kl" platba na jednoho klienta.
Pro určení pojistného můžeme použít výdaje na jednoho klienta za rok průměrovaný přes 5 let. Va našem případě to je 1103 Kč. Určit výši pojistného na tuto částku by však bylo velmi naivní. V praxi se často používá jiná metoda: "Kouknu, za kolik to má konkurence a odečtu 2 Kč."
Pro další statistický popis si zaveden označení:
\begin{itemize}
\item $N$: celkový počet let
\item $n_i$: počet klientů v $i$-tém roce
\item $x_i$: průměrné pojistné plnění na jednoho klienta v $i$-tém roce
\item $n$: předpokládaný počet klientů v dalším roce
\end{itemize}
V modelu budeme předpokládat, že náhodná veličina $X_i$ má normální rozdělení:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
X_i \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n_i}\right).
\end{eqnarray}
\end{large}
Nyní potřebujeme odhadnout parametr $\mu$ hodnotou $\hat{\mu}$ určenou na základě historických dat. Budeme hledat nejlepší (s nejmenší variancí) nestranný ($E\hat{\mu}=\mu$) lineární (lineární funkce dat) odhad. V našem případě je to prostě průměr
\begin{large}
\begin{eqnarray}
\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^N n_i x_i}{\sum_{i=1}^N n_i}.
\end{eqnarray}
\end{large}
%což ověříme. Tento odhad je zřejmě lineární, nyní ověříme nestrannost:
%\begin{large}
%\begin{eqnarray}
% E\hat{\mu} = E\left( \frac{\sum_{i=1}^N n_i x_i}{\sum_{i=1}^N n_i} \right) = \frac{\sum_{i=1}^N n_i E x_i}{\sum_{i=1}^N n_i} = \mu\frac{\sum_{i=1}^N n_i}{\sum_{i=1}^N n_i} = \mu.
%\end{eqnarray}
%\end{large}
%
%\begin{large}
%\begin{eqnarray}
% Var(\hat{\mu}) =
%\end{eqnarray}
%\end{large}
\section{Rezervy}
\subsection{Rezervy na nezasloužené pojistné (UPR)}
Tato rezerva je nudná kvůli tomu, že klient zaplatí pojistné na určitou dobu dopředu (například na rok) a my musíme do výpočtů zahrnout pouze tu část těchto peněz, která odpovídá již uplynulé části doby pojištění. (Tedy část, kterou už jsme si zasloužili.) Většinou se jednoduše vezme počet uplynulých dní děleno celkový počet dní. (Někdy se používá počítání po větších časových úsecích, třeba po týdnech.)
\subsection{Rezervy na pojistné plnění}
\begin{itemize}
\item RBNS (reported but not settled) Rezerva určená na základě odhadu likvidátora. Je konkrétně přiřazena ke každé smlouvě.
\item IBNR (incurred but not reported) Rezerva na pojistné události již vzniklé, ale zatím nenahlášené. Můžeme pouze odhadovat na základě historických dat.
\item Rezerva na související náklady (likvidátor, doktor pojišťovny,...)
\end{itemize}
\subsection{Další malé rezervy}
\begin{itemize}
\item Rezerva neživotního pojištění jako už životního. (pracovní neschopnost)
\item Výkyvová rezerva - pro případ, že nastane nějaká velká událost (povodeň, ... ). Pokud je v daném roce méně událostí, než je očekávaný průměr, uloží se část peněz na konto, ze kterého je možno je opět čerpat v roce s nadprůměrným množstvím PU. Tato rezerva je stanovena zákonem.
\item Rezerva na prémie a slevy - Například pokud člověk nemá 4 roky žádnou PU, má pátý rok zdarma. Musíme tedy počítat s tím, že pátý rok nezaplatí, ale riziko vzniku PU zůstává.
\item Závazky české kanceláře pojistitelů - viz výše. (Placení povinného ručení v případě, že viník není znám nebo není pojištěn.)
\item Jiná technická rezerva. Vymyšlený příklad: Na konci roku prší a tak uděláme rezervu na to, že v novém roce budou povodně. Tím škodu částečně převedeme do předchozího roku.
\end{itemize}
\subsection{IBNR rezervy}
