01FA2:Kapitola3
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 01:29, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory} Nechť $\dim\H=n<\infty$. Potom existuje ortonormální báze z~vlastních vek...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA2 | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:24 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:40 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:44 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:43 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Fundamentální věty funkcionální analýzy | Kubuondr | 1. 6. 2018 | 10:49 | kapitola1.tex | |
Kapitola10 | editovat | Holomorfní vektorové funkce | Kubuondr | 4. 6. 2018 | 20:19 | kapitola2.tex | |
Kapitola2 | editovat | Spektrum uzavřeného operátoru | Kubuondr | 2. 6. 2018 | 09:16 | kapitola3.tex | |
Kapitola3 | editovat | Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory | Kubuondr | 8. 6. 2018 | 09:13 | kapitola4.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:35 | kapitola5.tex | |
Kapitola9 | editovat | Hilbert--Schmidtovy operátory | Gromadan | 30. 9. 2015 | 14:33 | kapitola6.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neomezené operátory | Kubuondr | 6. 2. 2019 | 10:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola6 | editovat | Normální operátory | Admin | 1. 8. 2010 | 01:30 | kapitola8.tex | |
Kapitola7 | editovat | Samosdružené rozšíření symetrických operátorů | Kubuondr | 8. 2. 2019 | 11:08 | kapitola9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA2} \section{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory} Nechť $\dim\H=n<\infty$. Potom existuje ortonormální báze z~vlastních vektorů $\{x_n\}$: $Ax_k=\lambda_k x_k$ a tedy \[\H=\osum_{i=1}^m\Ker(A-\lambda_i'),\] kde $\sigma(A)=\{\lambda_1',\dots,\lambda_m'\}$ bez opakování. Operátor $A$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci projektorů na vlastní podprostory $\{P_1,\dots,P_m\}$: \[A=\sum_{i=1}^m\lambda_i'P_i.\] \begin{lemma} \label{slim} Nechť $A_n\in\B(\H)$, $A_n = A_n^*$, $A_1\ge A_2\ge\cdots\ge A_n\ge\cdots\ge 0$. Potom existuje \[A=\slim_{n\to\infty}A_n \in \B(\H)\] a pro každé $n$ je $A_n\ge A\ge 0$. \begin{proof} Buď $x\in\H$. Díky předpokladům je posloupnost $\{(x,A_n x)\}_n$ nezáporná a nerostoucí, tudíž je cauchyovská. Protože \[\norm{A_n}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{(x,A_nx)}=\sup_{\norm{x}=1}(x,A_nx),\] je také $\norm{A_1}\ge\norm{A_2}\ge\cdots\ge\norm{A_n}\ge\cdots$. Dále buďte $m,n\in\N$, $n>m$. Potom $A_m-A_n\ge 0$ a \[\begin{split} \norm{(A_m-A_n)x}^2&\le\norm{A_m-A_n}(x,(A_m-A_n)x)\le\\ &\le2\norm{A_1}(x,(A_m-A_n)x)=2\norm{A_1}[(x,A_mx)-(x,A_nx)]. \end{split}\] Z~toho plyne, že i $\{A_n x\}_n$ je cauchyovská a tedy existuje \[A x=\lim_{n\to\infty}A_n x.\] Tím máme definováno zobrazení $A$, $\Dom A=\H$. Buď $n_0\in\N$. Ze spojitosti skalárního součinu plyne \[\abs{(x,Ay)}=\lim_{n\to\infty}\abs{(x,A_ny)}\le \norm{A_{n_0}}\norm{x}\norm{y},\] neboť pro $n>n_0$ je $\norm{A_n}\norm{x}\norm{y}\le\norm{A_{n_0}}\norm{x}\norm{y}$. Když položíme $x=Ay$, dostaneme $\norm{Ay}^2\le\norm{A_{n_0}}\norm{Ay}\norm{y}$ pro každé $y\in\H$ a tedy $\norm{Ay}\le\norm{A_{n_0}}\norm{y}$, z~čehož plyne $\norm{A}\le\norm{A_{n_0}}$ pro každé $n_0\in\N$. Tedy $A\in\B(\H)$. Konečně pro každé $n_0\in\N$ platí \[(x,A_{n_0}x)\ge(x,Ax)=\lim_{n\to\infty}(x,A_n x)\ge 0,\] takže $0\le A\le A_{n_0}$. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} \label{ABnezap} Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A\ge 0$, $B\ge 0$ a $AB=BA$. Potom $AB\ge 0$. \begin{proof} Definujme posloupnost $A_n\in\B(\H)$: \[A_1=A,\quad A_{n+1}=A-\sum_{k=1}^n A_k^2= \left(A-\sum_{k=1}^{n-1}A_k^2\right)-A_n^2.\] Zřejmě $A_{n+1}=A_n-A_n^2$. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $\norm{A}\le 1$. Pak platí, že \[\sup_{\norm{x}=1}(x,Ax)=\norm{A}\le 1\] a z~toho plyne, že pro každé $x$ je $(x,Ax)\le\norm{x}^2=(x,x)$ a tedy $0\le A\le I$. Dokážeme, že pro každé $n$ je $0\le A_n\le I$. \begin{enumerate} \item $n=1$: $A_1=A\le I$. \item $n\to n+1$: Z~předpokladu $0\le A_n\le I$ plyne \[(x,A_n^2x)=(A_n x,A_n x)=\norm{A_n x}^2\le \norm{A_n}(x,Ax)\le(x,A_n x).\] Z~toho také plyne, že \[0\le(x,(A_n-A_n^2)x)=(x,A_{n+1}x)\] a proto $0\le A_{n+1}$. Konečně $A_{n+1}=A_n-A_n^2\le A_n\le I$. \end{enumerate} Protože pro každé $n\in\N$ je $A_n^2\ge 0$ a $A_{n+1}\le A_{n+1}+A_n^2=A_n$, je $A_2\ge A_3\ge\dots\ge A_{n+1}\ge\dots\ge 0$. Podle předchozího lemmatu existuje $\slim A_n$ a tedy existuje i \[\slim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n A_k^2=\sum_{k=1}^\infty A_k^2.\] Díky spojitosti skalárního součinu platí pro každé $x\in\H$ \[\infty>\left(x,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 x\right)= \sum_{k=1}^\infty(x,A_k^2 x)= \sum_{k=1}^\infty\norm{A_k x}^2.\] Pro každé $x$ je proto $\lim_{k\to\infty}\norm{A_k x}=0$ a $\slim_{n\to\infty}A_n=0$. Proto (v~silném smyslu) platí \[\sum_{k=1}^\infty A_k^2=A.\] Z~konstrukce posloupnosti $\{A_n\}$ plyne, že $A_n=p_n(A)$, kde $p_n$ je polynom. Protože $AB=BA$, pro každé $n$ také platí $A_nB=BA_n$ a proto \[(x,ABx)=\left(x,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 Bx\right)= \sum_{k=1}^\infty(x,A_kBA_k x)= \sum_{k=1}^\infty\underbrace{(A_k x,BA_kx)}_{\ge 0}\ge 0.\qed\] \noqed \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} \label{limkomutuje} Nechť $X_n,Y_n\in\B(\H)$ a existují $X=\slim X_n$, $Y=\slim Y_n$. Potom $XY=\slim X_nY_n$. \begin{proof} Pro každé $x$ je \[XYx-X_nY_nx=\underbrace{(X-X_n)}_{\to 0}Yx+X_n(Y-Y_n)x.\] Z~principu stejnoměrné omezenosti plyne existence $K>0$ takového, že pro každé $n$ je $\norm{X_n}\le K$ a tedy $\norm{X_n(Y-Y_n)x}\le K\norm{(Y-Y_n)x}\to 0$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} \label{odmocnina} Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom existuje právě jeden $B\in\B(\H)$, $B\ge 0$ takový, že $B^2=A$. Navíc pro každý $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\iff CB=BC$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item Existence: Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že\\ $\norm{A}\le 1$ (jinak vezmeme $A/\norm A)$ a proto $0\le A\le I$. Vytvoříme posloupnost operátorů $B_n\in\B(\H)$: $B_0=0$, $B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$. Ukážeme, že $0\le B_n\le B_{n+1}\le I$. \begin{enumerate}[a)] \item Pro $n=0$ je $B_0=0$ a $B_1=\frac12A$ a $0\le B_0\le B_1\le I$. \item Přechod $n\to n+1$: Protože $0\le B_n\le I$, je $B_n^2\le B_n$, neboť \[(x,B_n^2 x)=\norm{B_n x}^2\le\norm{B_n}(x,B_n x) \le(x,B_n x).\] Dále platí \[B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)\ge B_n+\frac12(A-B_n)= \frac12(A+B_n)\ge 0\] a \[\begin{split} I-B_{n+1}&=I-B_n-\frac12(A-B_n^2)= \frac12(I-A)+\frac12(B_n^2-2B_n+I^2)=\\ &=\frac12(I-A)+\frac12(\underbrace{B_n-I}_{\ge0})^2\ge 0, \end{split}\] tedy $0\le B_{n+1}\le I$ Nerovnost $B_{n+1}\ge B_n$ je splněna, právě když $A\ge B_n^2$. Předpokládejme, že pro $n-1$ to platí. Potom \[\begin{split} A-B_n^2&=A-\left(B_{n-1}+\frac12(A-B_{n-1}^2)\right)^2=\\ &=A-B_{n-1}^2-B_{n-1}(A-B_{n-1}^2)-\frac14(A-B_{n-1}^2)^2=\\ &=(A-B_{n-1}^2)\left(I-B_{n-1}-\frac14(A-B_{n-1}^2)\right)=\\ &=(A-B_{n-1}^2)\left(I-\frac12B_{n-1}-\frac12B_n\right)=\\ &=(A-B_{n-1}^2)\left(\frac12(I-B_{n-1})+\frac12(I-B_n)\right) \ge 0, \end{split}\] protože $A-B_{n-1}^2\ge 0$, $I-B_{n-1}\ge 0$ a $I-B_n\ge 0$. Předchozí úpravy jsou korektní, neboť $B_n$ je polynom v~A~a pro $C\in\B(\H)$ komutující s~$A$ také platí $CB_n=B_nC$. Specielně pro každé $n$ je $AB_n=B_n A$ a pro každé $m,n$ je $B_nB_m=B_mB_n$. \end{enumerate} Protože $0\le B_n\le B_{n+1}\le I$, podle lemmatu \ref{slim} (aplikovaného na $B_n'=I-B_n$) existuje $\slim B_n$ a pro každé $n\in\N$ je $B_n\le B\le I$. Navíc, protože $CA=AC$ a tedy $CB_n=B_nC$, je podle lemmatu \ref{limkomutuje} $CB=BC$. Specielně $\slim B_n^2=B^2$ a protože $B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$, limitním přechodem dostáváme $B=B+\frac12(A-B^2)$. Tedy $B^2=A$. \item Jednoznačnost: Nechť $\tilde B\in\B(\H)$, $\tilde B\ge 0$, $A=\tilde B^2$. Potom $\tilde BA=A\tilde B$, $B\tilde B=\tilde B B$ a $0=B^2-\tilde B^2=(B+\tilde B)(B-\tilde B)$. Buď $x\in\H$ libovolné, $y=(B-\tilde B)x$. Potom $(B+\tilde B)y=0$. Dále platí \[0=(y,(B+\tilde B)y)=\underbrace{(y,By)}_{\ge 0}+ \underbrace{(y,\tilde By)}_{\ge 0},\] proto $(y,By)=(y,\tilde By)=0$ a $\norm{By}^2\le\norm{B}(y,By)=0$ a tedy $By=0$. Obdobně i $\tilde By=0$. Dále platí $(B-\tilde B)^2x=(B-\tilde B)y=0$ a proto \[0=(x,(B-\tilde B)^2x)=((B-\tilde B)x,(B-\tilde B)x)= \norm{(B-\tilde B)x}^2\] pro každé $x$. Dokázali jsme tak, že $B=\tilde B$. Tedy $B$ je určen jednoznačně.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $A^2\ge 0$ a můžeme tedy definovat "absolutní hodnotu" jako $(A^2)^{1/2}=:\abs{A}\ge 0$ a platí, že $\abs{A}^2=A^2$. \end{remark} \begin{lemma} \label{og_komut1} Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$ a buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker A$. Potom pro každé $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\implies CP=PC$. \begin{proof} Protože $\Ran P=\Ker A$, je $AP=0$. Buď $C\in\B(\H)$, $CA=AC$. Potom\\ $0=CAP=ACP\iff\Ran CP\subset\Ker A\iff PCP=CP$, neboť $x\in\Ker A$ $\iff Px=x$. Z~vlastností sdruženého operátoru plyne $CA=AC\implies AC^*=C^*A$ a tedy $PC^*P=C^*P$, sdružením získáme $PCP=PC$ a tedy celkem $CP=PC$. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} \label{og_komut2} Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A^*=A$, $B^*=B$ a navíc $AB=BA$, $A^2=B^2$. Buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-B)$. Potom $P$ komutuje s~$A$ a $B$ a \begin{enumerate}[(i)] \item $A=PB+(I-P)(-B)$, \item $\Ker A=\Ker B\subset\Ker(A-B)\equiv\Ran P$ \end{enumerate} \begin{proof} Protože $A=A^*$, $B=B^*$, je \begin{equation} \label{eq:og1} (A-B)P=0=P(A-B). \end{equation} Dále, protože $A^2=B^2$ a $AB=BA$, je $(A-B)(A+B)=0\iff\Ran(A+B)\subset\Ker(A-B)$, což je ekvivalentní s~rovností \begin{equation} \label{eq:og2} P(A+B)=A+B. \end{equation} Z~předchozího lemmatu plyne, že $A(A-B)=(A-B)A\implies AP=PA$, $B(A-B)=(A-B)B\implies BP=PB$. Odečtením \eqref{eq:og1} a \eqref{eq:og2} dostaneme \[2PB=A+B\iff A=2PB-B=PB+(I-P)(-B).\] Z (ii) plyne z rovnosti $$A^2= B^2 \Rightarrow (x,A^2x) = (x,B^2x) \Rightarrow \norm{Ax} = \norm{Bx}$$ %\[x\in\Ker A\iff Ax=0\iff 0=\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\] takže $\Ker A = \Ker B$. Zřejmě $x\in\Ker A\implies x\in\Ker(A-B)$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} Ke každému samosdruženému operátoru $A\in\B(\H)$ existuje právě jeden ortogonální projektor $E_+$ s~vlastnostmi: \begin{enumerate}[(i)] \item $AE_+\ge 0$, $A(I-E_+)\le 0$, \item $\Ker A\subset\Ran E_+$, \item pro každé $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\implies CE_+=E_+C$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Existence: V~předchozím lemmatu položíme $B=\abs{A}$, $E_+=P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-\abs{A})$. Z~lemmatu plyne, že $E_+$ komutuje s~$A$ a $\abs{A}$ a dále $A=E_+\abs{A}+(I-E_+)(-\abs{A})$. Aplikací $E_+$ na tuto rovnost dostaneme $E_+A=E_+\abs{A}$. Z~lemmatu \ref{ABnezap} plyne $E_+A=E_+\abs{A}\ge 0$ a $(I-E_+)A=-(I-E_+)\abs{A}\le 0$. Tím je dokázán bod (i). Bod (ii) je shodný s~předchozím lemmatem. Nechť $C\in\B(\H)$, $CA=AC$. Potom i $CA^2=A^2C$ a z~věty \ref{odmocnina} plyne $C\abs{A}=\abs{A}C$. Proto $C(A-\abs{A})=(A-\abs{A})C$ a podle lemmatu \ref{og_komut1} je $CE_+=E_+C$. \item Jednoznačnost: Nechť $\tilde E_+$ splňuje (i), (ii), (iii). Položme \[\tilde A=\underbrace{\tilde E_+A}_{\ge 0}+\underbrace{(I-\tilde E_+)(-A)}_{\ge 0},\] pak $\tilde A^2=\tilde E_+A^2+(I-\tilde E_+)A^2=A^2$. Z~jednoznačnosti absolutní hodnoty pak plyne $\tilde A=\abs{A}=E_+A+(I-E_+)(-A)$ a \[0=\tilde A-\abs{A}=(\tilde E_+ - E_+)A+(E_+ - \tilde E_+)(-A)=2(\tilde E_+ - E_+)A.\] protože komutují. To je ekvivalentní s~tím, že $\Ran(\tilde E_+ - E_+)\subset\Ker A\subset\Ran E_+,\Ran \tilde E_+$, tedy \[E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\quad \tilde E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\] proto $E_+\tilde E_+=\tilde E_+$, $\tilde E_+E_+=E_+\implies E_+\tilde E_+=E_+$ (vlastnosti sdruženého operátoru). Z~toho plyne $\tilde E_+=E_+$.\qed \end{enumerate} \noqed \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Řekneme, že jednoparametrická množina ortogonálních projektorů $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je {\bf rozkladem jedničky}, právě když splňuje \begin{enumerate}[(i)] \item $\lambda\le\mu\implies P_\lambda\le P_\mu$, \item $\slim_{\mu\to\lambda-}P_\mu=P_\lambda$, \item existují $-\infty<m<M<+\infty$ tak, že $P_\lambda=0$ pro každé $\lambda\le m$ a $P_\lambda=I$ pro každé $\lambda > M$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: \begin{enumerate}[(i)] \item pro každé $x\in\H$ je $(x,Px)\le(x,Qx)$, \item $\Ran P\subset\Ran Q$, \item $\Ker Q\subset\Ker P$, \item $PQ=QP=P$. \end{enumerate} \end{remark}