01FA1:Kapitola3: Porovnání verzí

Verze z 23. 10. 2016, 18:23

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA1

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 01FA1	Mazacja2	12. 10. 2016	19:00
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Mazacja2	12. 10. 2016	20:10
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Mazacja2	12. 10. 2016	22:20	header.tex
Kapitola0	editovat	Předmluva	Mazacja2	5. 10. 2016	18:40	uvod.tex
Kapitola1	editovat	Značení a úvod	Mazacja2	5. 10. 2016	19:33	znaceni.tex
Kapitola2	editovat	Topologie	Mazacja2	18. 1. 2017	20:27	topologie.tex
Kapitola3	editovat	Metrické prostory	Mazacja2	20. 1. 2017	00:20	metrika.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA1}
\chapter{Metrické prostory}
\begin{define}
{\bf Metrickým prostorem} rozumíme uspořádanou dvojici $\left( X, \rho \right)$, kde $X$ je množina a~$\rho: X\times X \longrightarrow \left[0, +\infty\right)$ je tzv. {\bf metrika}
splňující následující 3 axiomy:
\begin{enumerate}
\item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$;
\item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = \rho(y,x) $;
\item $\forall x,y,z \in X$, $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) +\rho(y,z)$, tzv. trojúhelníková nerovnost. 
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
V poznámce zavedeme dva pojmy, které budeme často intuitivně využívat. Buď $x\in X$ a $r>0$.
$$B(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) < r \} \dots \mbox{tzv. {\it otevřená koule}}$$
$$\overline{B}(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) \leq r \} \dots \mbox{tzv. {\it uzavřená koule}}$$
Pro $r=0$ definujeme $B(x,0) = \emptyset$ a $\overline{B}(x,0) = \{x\}$. 
\end{remark}
 
\begin{remark}
Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $\R^n$ pro $r>0$ to platí, ale už pro $r=0$ máme
$\overline{B(x,0)} = \emptyset \neq \{x\} = \overline{B}(x,0). 
\end{remark}
 
\begin{remark}
Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku.
\end{remark}

@@ Řádka 25: / Řádka 25: @@
 \begin{remark}
 Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku.
-\end{remark}
-\begin{remark}
-{\it Součinem topologií} je myšlen kartézský součin topologií, tj. mějme $\left( X, \tau_X \right), \left( Y, \tau_Y \right)$ topologické prostory.
-Položme $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$. Toto je báze jisté topologie $\tau_{X\times Y}$ na $X \times Y$. Že je tímto topologie určena (jednoznačně)
-se dozvíte na cvičeních. Navíc platí, že pokud mám $\mathscr{F}, \G$ po řadě báze topologií $\tau_X$ a  $\tau_Y$, pak $\mathscr{H} = \{U \times V | U \in \mathscr{F} \ \land \ V \in \G \}$
-je báze topologie $\tau_{X \times Y}$. To znamená, že množina $W \subset X\times Y$ je otevřená, právě když $\forall (x,y) \in W$ existují $U \in \mathscr{F}$ a $V \in \G $ takové,
-že $(x,y) \in U \times V \subset W $.
-Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat.
 \end{remark}