Součásti dokumentu 01DIFR
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Systémy lineárních diferenciálních rovnic. Lineární rovnice
$n$-tého řádu}
Systémem lineárních diferenciálních rovnic rozumíme systém rovnic
\begin{equation}
\label{linsyst}
\begin{split}
y_1'&=a_{11}(x)y_1+a_{12}(x)y_2+\dots+a_{1n}(x)y_n+b_1(x)\\
y_2'&=a_{21}(x)y_1+a_{22}(x)y_2+\dots+a_{2n}(x)y_n+b_2(x)\\
&\vdots\\
y_n'&=a_{n1}(x)y_1+a_{n2}(x)y_2+\dots+a_{nn}(x)y_n+b_n(x),
\end{split}
\end{equation}
kde $a_{ij}(x)$, $b_i(x)$ i~řešení jsou komplexní funkce reálné
proměnné.
Tento systém lze zapsat i~maticově jako $\vec y'=\mathbf A(x)\vec
y+\vec b(x)$, kde
\begin{align*}
\vec y&=
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\\vdots\\y_n
\end{pmatrix},&
\mathbf A(x)&=
\begin{pmatrix}
a_{11}(x) & \hdots & a_{1n}(x)\\
\vdots & & \vdots\\
a_{n1}(x) & \hdots & a_{nn}(x)\\
\end{pmatrix},&
\vec b(x)=
\begin{pmatrix}
b_1(x)\\
\vdots\\
b_n(x)
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti]
Nechť $a_{ij}(x)$, $b_i(x)$, kde $i,j\in\hat n$ jsou komplexní funkce
reálné proměnné, spojité na intervalu $\I$. Nechť $x\in\I$ a
$y_{10},y_{20},\dots,y_{n0}\in\C$. Označme
\[
\vec y^{(0)}=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\
\vdots\\
y_{n0}
\end{pmatrix}.
\]
Potom systém \eqref{linsyst} má řešení
\[
\vec y(x)=
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\
\vdots\\
y_n(x)
\end{pmatrix}
\]
na intervalu $\I$, pro které platí, že $\vec y(x_0)=\vec
y^{(0)}$. Toto řešení je jediné v~tomto smyslu: Je-li
\[
\vec z(x)=
\begin{pmatrix}
z_1(x)\\
\vdots\\
z_n(x)
\end{pmatrix}
\]
řešení \eqref{linsyst} na intervalu $\I_1\subset\I$, $x_0\in\I_1$, pro
které $\vec z(x_0)=y^{(0)}$, je $\vec z(x)=\vec y(x)$ pro $x\in\I_1$.
\begin{proof}
Systém rovnic \eqref{linsyst} je ekvivalentní s~Cauchyovou počáteční
úlohou
\begin{align*}
y_1(x)&=\int_{x_0}^x\left(\sum_{j=1}^n a_{1j}(t)y_j(t)+
b_1(t)\right)\d t+y_{10}\\
&\vdots\\
y_n(x)&=\int_{x_0}^x\left(\sum_{j=1}^n a_{nj}(t)y_j(t)+
b_n(t)\right)\d t+y_{n0}
\end{align*}
\begin{align*}
\vec y^{(0)}&=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix},&
\vec y^{(p)}&=
\begin{pmatrix}
y_1^{(p)}\\\vdots\\y_n^{(p)}
\end{pmatrix},&
y_i^{(p)}(x)&=
\int_{x_0}^x\left(
\sum_{j=1}^n a_{ij}(t)y_j^{(p-1)}(t)+b_i(t)
\right)\d t+y_{i0}.
\end{align*}
Chceme dokázat, že $\vec y^{(p)}$ stejnoměrně konvergují k~$\vec y(x)$ pro
$x\in\I$, přičemž $\vec y(x)$ splňuje \eqref{linsyst}. Dokážeme, že na
každém $\I_0\subset\I$ uzavřeném a obsahujícím $x_0$ $\vec
y^{(p)}(x)\rightrightarrows\vec y(x)$, která splňuje \eqref{linsyst}.
Označme $L$ délku $\I_0$. Z~omezenosti $a_{ij}$, $b_i$ plyne
$\abs{a_{ij}(x)}\le K$, $\abs{b_i(x)}\le K$. Označme
$Y=\max(\abs{y_{10}},\abs{y_{20}},\dots,\abs{y_{n0}})$. Platí, že
\[\abs{y_i^{(p+1)}(x)-y_i^{(p)}(x)}\le
(1+nY)\frac{n^pK^{p+1}\abs{x-x_0}^{p+1}}{(p+1)!}\le
\left(\frac1n+Y\right)\frac{(nKL)^{p+1}}{(p+1)!}.\]
To dokážeme matematickou indukcí:
\[
\begin{split}
\abs{y_i^{(1)}(x)-y_i^{(0)}(x)}&\le
\abs{\,\int_{x_0}^x\abs{\sum_{j=1}^n
a_{ij}(t)y_{j0}+b_i(t)}\d t}\le
(nKY+K)\abs{x-x_0}=\\&=(1+nY)K\abs{x-x_0},
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
\abs{y_i^{(p+1)}(x)-y_i^{(p)}(x)}&\le
\int_{x_0}^x\abs{
\sum_{j=1}^n a_{ij}(t)\left(
y_i^{(p)}(t)-y_i^{(p-1)}(t)
\right)}\d t\le\\
&\le(1+nY)\frac{n^pK^{p+1}}{p!}\int_{x_0}^x\abs{t-x_0}^p\d t.
\end{split}
\]
Potom je
\[\lim_{p\to\infty}\vec y^{(p)}(x)=\lim_{p\to\infty}\left[\vec y^{(0)}(x)+
\sum_{i=1}^p\left(\vec y^{(i)}(x)-\vec y^{(i-1)}(x)\right)\right].\]
Řada má konvergentní majorantu
\[\left(\frac1n+Y\right)
\sum_{i=1}^\infty\frac{(nKL)^i}{i!}=
\left(\frac1n+Y\right)\left[e^{nKL}-1\right],\]
tudíž posloupnost
$\vec y^{(k)}(x)$ na uzavřeném $\I_0\subset\I$ stejnoměrně
konverguje.
Jednoznačnost dokážeme sporem. Mějme funkce $\vec
y(x),\vec z(x)$ takové, že $\vec z(x_0)=\vec y^{(0)}$, $\vec
y(x_0)=\vec y^{(0)}$ a nechť neplatí, že $\vec z(x)=\vec y(x)$ pro každé
$x\in\I_1$. Dokážeme, že na každém uzavřeném intervalu $\vec y(x)=\vec
z(x)$. Po dosazení do Cauchyovy počáteční úlohy dostaneme
\[y_i(x)-z_i(x)=
\int_{x_0}^x\left(
\sum_{j=1}^n a_{ij}(t)\left(y_j(t)-z_j(t)\right)\d t
\right)\]
pro každé $x\in\I_1$. Dále je díky spojitosti $\abs{a_{ij}(x)}\le A$,
$\abs{y_i(x)-z_i(x)}\le K$ pro $i\in\hat n$.
Dokážeme, že pro
$\forall p\in\No$ je
\[\abs{y_i(x)-z_i(x)}\le K\frac{(nA\abs{x-x_0})^p}{p!}.\]
To provedeme indukcí, pro $p =0$ to platí z předpokladu,
\[\begin{split}
\abs{y_i(x)-z_i(x)}&\le\int_{x_0}^x\abs{\sum_{j=1}^n a_{ij}(t)\left(y_j(t)-z_j(t)\right)}\d t\le K\frac{(nA)^p}{p!}\cdot An\int_{x_0}^x\abs{t-x_0}^p\d t=\\
&=K\frac{(nA\abs{x-x_0})^{p+1}}{(p+1)!}.
\end{split}\]
V~limitě pak
\[\lim_{p\to\infty}K\frac{(nA\abs{x-x_0})^p}{p!}=0.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Jsou-li funkce $a_{ij}(x)$, $b_i(x)$ a počáteční podmínka reálné, je
i~řešení $\vec y(x)$ reálná funkce reálné proměnné.
\end{remark}
\subsection{Řešení lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu}
Lineární rovnice $n$-tého řádu
\begin{equation}
\label{linrov}
y_n^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+\dots+p_n(x)y=q(x)
\end{equation}
je ekvivalentní se soustavou
\[
\begin{split}
y_1'&=y_2\\
y_2'&=y_3\\
&\vdots\\
y_n'&=-p_1(x)y_n-p_2(x)y_{n-1}-\dots-p_n(x)y_1+q(x),
\end{split}
\]
kde $y_1(x)=y(x)$, $y_2(x)=y'(x)$, $y_n(x)=y^{(n-1)}(x)$.
\begin{theorem}
Nechť $p_1(x),p_2(x),\dots,p_n(x),q(x)$ jsou komplexní funkce reálné
proměnné spojité v~intervalu $\I$. Buďte $x_0\in\I$ a
$y_0,y_0',y_0'',\dots,y_0^{(n-1)}$ komplexní čísla. Pak existuje
řešení $y(x)$ rovnice \eqref{linrov} v~intervalu $\I$, které splňuje
podmínky $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0'$,\dots,
$y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$. Je-li $z(x)$ řešení \eqref{linrov} na
intervalu $\I_1\subset\I$, $x_0\in\I_1$ a platí $z(x_0)=y_0$,
$z'(x_0)=y_0',\dots,z^{(n-1)}=y_0^{(n-1)}$, platí také
$z(x)=y(x)$ pro každé $x\in\I_1$.
\end{theorem}
Jak nalézt všechna řešení \eqref{linrov}:
Lineární diferenciální rovnicí bez pravé strany rozumíme rovnici
\begin{equation}
\label{linbezps}
y^{(n)}+p_1(z)y^{(n-1)}+\dots+p_n(x)y=0.
\end{equation}
Operátor
\[L(y)=y^{(n)}+p_1(z)y^{(n-1)}+\dots+p_n(x)y\]
nazýváme {\bf lineární diferenciální operátor}.\index{operátor, lineární diferenciální}
Linearita ($L(cy)=cL(y)$, $L(y+z)=L(y)+L(z)$) je zřejmá. Soustavy
\eqref{linrov} resp. \eqref{linbezps} lze pomocí tohoto operátoru
zapsat jako $L(y)=q(x)$ resp. $L(y)=0$.
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Jsou-li funkce $y_1(x),\dots,y_k(x)$ řešením \eqref{linbezps},
je řešením i~jejich lineární kombinace
\[\sum_{i=1}^k c_iy_i(x).\]
\begin{proof}
Protože $L(y_i)=0$, je
\[L\left(\sum_{i=1}^k c_iy_i\right)=\sum_{i=1}^k c_iL(y_i)=0.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\item Je-li $z(x)$ řešením \eqref{linrov}, pak $y(x)+z(x)$ je řešením
\eqref{linrov}, právě když $y(x)$ je řešením \eqref{linbezps}.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$ $L(y+z)=q,\ L(z)=q\implies L(y)
=L((y+z)-z)=L(y+z)-L(z)=0$.
\item $(\Leftarrow)$ $L(y)=0\implies L(y+z)=L(y)+L(z)=q$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
Řešení hledáme tak, že nalezneme všechna řešení $y$ \eqref{linbezps} a
jedno (partikulární) řešení $z$ rovnice \eqref{linrov}. Každé řešení
\eqref{linrov} má tvar $y+z$.
\subsubsection{Nalezení všech řešení rovnice bez pravé strany}
\begin{define}
Nechť je dáno $n$ funkcí $f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ definovaných na
intervalu $\I$. Řekneme, že jsou {\bf lineárně závislé na $\I$},
existují-li čísla $c_1,\dots,c_n$ ne všechna rovná nule tak, že
\[\sum_{i=1}^n c_i f_i=0\]
pro každé $x\in\I$. Jestliže funkce $f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$
nejsou lineárně závislé, řekneme, že jsou lineárně nezávislé.
\end{define}
\index{lineární nezávislost funkcí}
\begin{remark}
Jsou-li funkce lineárně nezávislé na $\I$, jsou lineárně nezávislé
i~na $\I_1$, kde $\I\subset\I_1$.
\end{remark}
\begin{define}
Nechť $f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ mají na $\I$ derivace až do
$(n-1)$-tého řádu. Funkci
\[
W(x)=W_{f_1,f_2,\dots,f_n}(x)=
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \hdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \hdots & f_n'(x) \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \hdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}
\]
nazýváme {\bf Wronského determinantem (wronskiánem)} funkcí
\index{determinant, Wronského}\index{wronskián}
$f_1,f_2,\dots,f_n$ na $\I$.
\end{define}
\begin{theorem}
jestliže funkce $f_1,f_2,\dots,f_n$ mají na intervalu $\I$ derivace do
$(n-1)$-tého řádu a jestliže jsou na $\I$ lineárně závislé, je
$W_{f_1,f_2,\dots,f_n}(x)=0$ pro každé $x\in\I$.
\begin{proof}
Soustava rovnic
\[
\begin{matrix}
c_1f_1(x)&+&c_2f_2(x)&+&\cdots&+&c_nf_n(x)&=&0\\
c_1f_1'(x)&+&c_2f_2'(x)&+&\cdots&+&c_nf_n'(x)&=&0\\
&&&&&&&\vdots\\
c_1f_1^{(n-1)}(x)&+&c_2f_2^{(n-1)}(x)&+&\cdots&+&c_nf_n^{(n-1)}(x)&=&0
\end{matrix}
\]
má netriviální řešení, takže $\det=W=0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Větu obecně nelze obrátit --- např. funkce $f_1(x)=x^3$,
$f_2(x)=\abs{x^3}$ na intervalu $(-a,a)$ nejsou lineárně závislé. Přitom
pro $x=0$ je $W=0$, pro $x>0$ je
\[W=
\begin{vmatrix}
x^3 & x^3 \\
3x^2 & 3x^2
\end{vmatrix}=0\]
a i~pro $x<0$ je
\[W=
\begin{vmatrix}
x^3 & -x^3 \\
3x^2 & -3x^2
\end{vmatrix}=0.\]
\end{remark}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $y=0$ řeší \eqref{linbezps}.
\item Pokud existuje řešení $Y(x)$ rovnice \eqref{linbezps} takové, že
$Y(x_0)=Y'(x_0)=\dots=Y^{(n-1)}(x_0)=0$, pak $Y(x)=0$ pro každé
$x\in\I$, plyne to z jednoznačnosti řešení.
\item Nechť $y_1(x),\dots,y_n(x)$ řeší \eqref{linbezps}. Jsou-li
lineárně závislé, je $W_{y_1,\dots,y_n}(x)=0$ pro každé
$x\in\I$. Existuje-li $x_0\in\I$ tak, že $W_{y_1,\dots,y_n}(x_0)=0$,
existují $c_1,\dots,c_n$ tak, že
\[
\begin{matrix}
c_1y_1(x_0)&+&c_2y_2(x_0)&+&\cdots&+&c_ny_n(x_0)&=&0\\
c_1y_1'(x_0)&+&c_2y_2'(x_0)&+&\cdots&+&c_ny_n'(x_0)&=&0\\
&&&&&&&\vdots\\
c_1y_1^{(n-1)}(x_0)&+&c_2y_2^{(n-1)}(x_0)&+
&\cdots&+&c_ny_n^{(n-1)}(x_0)&=&0
\end{matrix}
\]
Buď $Y(x_0)=c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)$. Protože $Y(x)$
řeší \eqref{linbezps} a $Y(x_0)=Y'(x_0)=\dots=Y^{(n-1)}(x_0)=0$, je
$c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0$ pro každé $x\in\I$. Důsledkem je
následující věta.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)$ jsou řešení \eqref{linbezps} na
intervalu $\I$. Potom jejich Wronského determinant je buď všude roven
nule nebo všude různý od nuly. V~prvním případě jsou funkce lineárně
závislé, v~druhém nezávislé.
\end{theorem}
\begin{define}
Systém $y_1(x),\dots,y_n(x)$ $n$ řešení rovnice \eqref{linbezps}
($n$-tého řádu) se nazývá {\bf fundamentální systém řešení} \index{fundamentální systém řešení}
rovnice \eqref{linbezps}, pokud jsou funkce $y_1(x),\dots,y_n(x)$ lineárně
nezávislé na $\I$, tj. pokud $W_{y_1,\dots,y_n}(x)\not=0$ na $\I$.
\end{define}
\begin{theorem}
Je-li $y_1(x),\dots,y_n(x)$ fundamentální systém řešení rovnice
\eqref{linbezps} na intervalu $\I$, lze každé řešení $y(x)$ rovnice
\eqref{linbezps} na $\I$ vyjádřit ve tvaru
\[y(x)=\sum_{i=1}^n c_i y_i(x)\]
a to jediným způsobem.
\begin{proof}
Nechť $y_1(x),\dots,y_n(x),y(x)$ řeší \eqref{linbezps} a
$y_1(x),\dots,y_n(x)$ tvoří fundamentální systém. Buď dále
$x_0\in\I$. Položme $c_1,\dots,c_n$ rovny řešení soustavy
\[
\begin{matrix}
c_1y_1(x_0)&+&c_2y_2(x_0)&+&\cdots&+&c_ny_n(x_0)&=&y(x_0)\\
c_1y_1'(x_0)&+&c_2y_2'(x_0)&+&\cdots&+&c_ny_n'(x_0)&=&y'(x_0)\\
&&&&&&&\vdots\\
c_1y_1^{(n-1)}(x_0)&+&c_2y_2^{(n-1)}(x_0)&+
&\cdots&+&c_ny_n^{(n-1)}(x_0)&=&y^{(n-1)}(x_0).
\end{matrix}
\]
Funkce \[z(x)=y(x)-c_1y_1(x)-\dots-c_ny_n(x)\] je lineární kombinací
$y_1(x),\dots,y_n(x),y(x)$, tudíž také řeší \eqref{linbezps}. Protože
\[z(x_0)=z'(x_0)=\dots=z^{(n-1)}(x_0)=0,\] je $z(x)=0$ pro každé
$x\in\I$.
Jednoznačnost dokážeme sporem. Předpokládejme, že
\[y(x)=d_1y_1(x)+\dots+d_ny_n(x),\]
pro každé $x\in\I$ a existuje $j$ takové, že $c_j\not=d_j$. Pak ale
musí platit
\[0=(d_1-c_1)y_1(x)+\dots+(d_n-c_n)y_n(x).\]
Protože jsou funkce $y_1(x),\dots,y_n(x)$ lineárně nezávislé, musí být
$c_i=d_i$ pro každé $i\in\hat n$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Na $\I_1\subset\I$ je to také fundamentální systém.
\end{remark}
\begin{theorem}
Rovnice \eqref{linbezps} má fundamentální systémy. Jsou-li
$y_1(x),\dots,y_n(x)$ řešení \eqref{linbezps} a je-li
\[Y_1(x)=\sum_{j=1}^n c_{1j} y_j(x),\
Y_2(x)=\sum_{j=1}^n c_{2j} y_j(x),\dots,
Y_n(x)=\sum_{j=1}^n c_{nj} y_j(x),
\]
platí
\[
W_{Y_1,\dots,Y_n}(x)=
\begin{vmatrix}
c_{11} & c_{12} & \hdots & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \hdots & c_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
c_{n1} & c_{n2} & \hdots & c_{nn}
\end{vmatrix}
W_{y_1,\dots,y_n}(x)
\]
a tedy $Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ tvoří fundamentální systém, právě když
\[
\begin{vmatrix}
c_{11} & c_{12} & \hdots & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \hdots & c_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
c_{n1} & c_{n2} & \hdots & c_{nn}
\end{vmatrix}\not=0.
\]
\begin{proof}
Označme $z_1(x),\dots,z_n(x)$ funkce, pro které platí
\begin{align*}
L(z_1)&=0 & z_1(x_0)&=1 & z_1'(x_0)&=0 & \dots && z_1^{(n-1)}(x_0)&=0\\
L(z_2)&=0 & z_2(x_0)&=0 & z_2'(x_0)&=1 & \dots && z_2^{(n-1)}(x_0)&=0\\
&\vdots\\
L(z_n)&=0 & z_n(x_0)&=0 & z_n'(x_0)&=0 & \dots && z_n^{(n-1)}(x_0)&=1.
\end{align*}
Platí, že $W_{z_1,z_2,\dots,z_n}=\abs{\mathbf I}=1$. Protože
\[
\begin{pmatrix}
Y_1(x)\\\vdots\\Y_n(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
c_{11} & \hdots & c_{1n}\\
\vdots & & \vdots \\
c_{n1} & \hdots & c_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\\vdots\\y_n(x)
\end{pmatrix},
\]
z~aditivity derivace je
\[
\begin{pmatrix}
Y_1^{(k)}(x)\\\vdots\\Y_n^{(k)}(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
c_{11} & \hdots & c_{1n}\\
\vdots & & \vdots \\
c_{n1} & \hdots & c_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1^{(k)}(x)\\\vdots\\y_n^{(k)}(x)
\end{pmatrix}.
\]
Celkem tedy
\[
\begin{pmatrix}
Y_1(x) & \hdots & Y_1^{(k)}(x)\\
\vdots & & \vdots\\
Y_n(x) & \hdots & Y_n^{(k)}(x)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
c_{11} & \hdots & c_{1n}\\
\vdots & & \vdots \\
c_{n1} & \hdots & c_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1(x) & \hdots & y_1^{(k)}(x)\\
\vdots & & \vdots\\
y_n(x) & \hdots & y_n^{(k)}(x)
\end{pmatrix},
\]
tedy $W_{Y_1,\dots,Y_n}(x)=\abs{c_{ij}}W_{y_1,\dots,y_n}(x)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Jsou-li $p_1(x),\dots,p_n(x)$ reálné funkce, rovnice \eqref{linbezps}
může mít i komplexní řešení $y(x)=u(x)+\im v(x)$, pak ale i $u(x)$ a
$v(x)$ jsou řešení \eqref{linbezps}, neboť
$L(u+\im v)=0\implies L(u)+\im L(v)=0\implies L(u)=0\wedge
L(v)=0$. Kromě toho má i~řešení $u-\im v$.
\end{remark}
\begin{lemma}
\label{lemma_deriv_wron}
Je-li funkce $A(x)$ definována vztahem
\[
A(x)=
\begin{vmatrix}
a_{11}(x) & \hdots & a_{1n}(x)\\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1}(x) & \hdots & a_{nn}(x)
\end{vmatrix},
\]
pak
\[
A'(x)=\sum_{i=1}^n
\begin{vmatrix}
a_{11}(x) & \hdots & a_{1n}(x)\\
%\hdotsfor{3}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{i-1,1}(x) & \hdots & a_{i-1,n}(x)\\
a'_{i1}(x) & \hdots & a'_{in}(x)\\
a_{i+1,1}(x) & \hdots & a_{i+1,n}(x)\\
\vdots & & \vdots\\
%\hdotsfor{3}\\
a_{n1}(x) & \hdots & a_{nn}(x)
\end{vmatrix}
\]
\end{lemma}
\begin{theorem}
Nechť $y_1(x),\dots,y_n(x)$ jsou řešení \eqref{linbezps} na intervalu
$\I$, nechť $x_0\in\I$. Potom
\[W_{y_1,\dots,y_n}(x)=W_{y_1,\dots,y_n}(x_0)
e^{\int_{x_0}^x p_1(t)\d t}.\]
\begin{proof}
Podle předchozího lemmatu je
\[
W'_{y_1,\dots,y_n}(x)=
\begin{vmatrix}
y_1(x) & \hdots & y_n(x)\\
y'_1(x) & \hdots & y'_n(x)\\
\vdots & & \vdots\\
y_1^{n-2}(x) & \hdots & y_n^{n-2}(x)\\
y_1^n(x) & \hdots & y_n^n(x)
\end{vmatrix},
\]
neboť všechny sčítance až na poslední jsou nulové (determinanty
obsahují dva stejné řádky). Do posledního řádku dosadíme
\[y_i^{(n)}=-p_1(x)y_i^{(n-1)}(x)-p_2(x)y_i^{(n-2)}(x)-\dots-p_n(x)y_i(x)\]
a přičteme k~poslednímu odpovídající násobky předchozích řádků tak,
abychom zrušili všechno až na $-p_1(x)y_i^{(n-1)}(x)$, z~posledního
řádku vytkneme $-p_1(x)$ a dostaneme tak
\[W'_{y_1,\dots,y_n}(x)=-p_1(x)W_{y_1,\dots,y_n}(x),\]
takže
\[\frac{W'}{W}=-p_1(x),\]
\[\ln\abs{W}=-\int p_1(x)\d x+\ln C,\]
\[W=Ce^{-\int_{x_0}^x p_1(t)\d t},\]
\[W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^x p_1(t)\d t}.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Máme-li lineární rovnici $n$-tého řádu bez pravé strany a máme-li
$n+1$ a více řešení, jsou lineárně závislé.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $y_1,\dots,y_n$ funkce, které mají v~intervalu $\I$ spojité
derivace až do řádu $n$ a nechť $W_{y_1,\dots,y_n}(x)\not=0$ pro
všechna $x\in\I$. Potom existuje právě jedna rovnice \eqref{linbezps}
se spojitými koeficienty $p_i(x)$, která má řešení
$y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)$. Je to rovnice
\[\frac{W_{y,y_1,y_2,\dots,y_n}(x)}{W_{y_1,y_2,\dots,y_n}(x)}=0.\]
\begin{proof}
Nejprve dokážeme jednoznačnost. Buď
\begin{equation}
\label{altlin}
y^{(n)}+r_1(z)y^{(n-1)}+\dots+r_n(x)y=0
\end{equation}
jiná rovnice, které také vyhovují řešení $y_1,\dots,y_n$. Buď $k$
první index takový, že $p_k(x)-r_k(x)\not=0$. Potom, protože
$p_i(x),r_i(x)$ jsou spojité, existuje $\I_1\subset\I$ takový, že
$p_k(x)-r_k(x)\not=0$ pro každé $x\in\I_1$. Odečtením
\eqref{linbezps} a \eqref{altlin} dostaneme
\begin{equation}
\label{altlin2}
(p_k(x)-r_k(x))y^{(n-k)}(x)+
%(p_{k+1}(x)-r_{k+1}(x))y^{n-k-1}+
\dots+
(p_n(x)-r_n(x))y(x)=0
\end{equation}
pro každé $x\in\I_1$. Funkce $y_1,\dots,y_n$ jsou lineárně nezávislé a
řeší \eqref{altlin2}, takže mám víc LN řešení než koeficientů, což je
spor. V~případě, že se rovnice liší pouze u~posledního koeficientu,
dostaneme $(p_n(x)-r_n(x))y(x)=0$, což sice není diferenciální
rovnice, ale dvě LN řešení také neexistují.
Platí, že
\[
W_{y,y_1,y_2,\dots,y_n}(x)=
\begin{vmatrix}
y & y_1 & \hdots & y_n\\
y' & y'_1 & \hdots & y'_n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
y^{(n-1)} & y_1^{(n-1)} & \hdots & y_n^{(n-1)}\\
y^{(n)} & y_1^{(n)} & \hdots & y_n^{(n)}
\end{vmatrix}.
\]
Po dosazení libovolné funkce $y_1,y_2,\dots,y_n$ dostaneme $W=0$,
neboť v~matici budou dva stejné sloupce. Rozvinutím podle prvního
sloupce a vydělením dostaneme rovnici typu
\eqref{linbezps}. Algebraické doplňky jsou spojité a koeficient u
$y^{(n)}$ se zkrátí.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsubsection{Lineární rovnice s~pravou stranou, metoda variace
konstant}
\index{metoda, variace konstant}
Buď \[z(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+\dots+c_n y_n(x)\] řešení rovnice
\eqref{linbezps}. Pokusíme se najít funkce $c_i(x)$ tak, aby funkce
\[z(x)=c_1(x) y_1(x)+c_2(x)y_2(x)+\dots+c_n(x)y_n(x)\] řešila rovnici
\eqref{linrov}. Hledáme tak $n$ konstant, zatím máme pouze jednu
podmínku. Dalších $n-1$ podmínek vyrobíme tak, že předchozí vztah
budeme postupně derivovat. Po prvním derivování dostaneme
\[z'(x)=c_1(x) y_1'(x)+\dots+c_n(x)y_n'(x)+
c_1'(x) y_1(x)+\dots+c_n'(x)y_n(x).\]
Aby se dalo jednoduše derivovat dál, položíme podmínku
\[\sum_{i=1}^n c_1'(x)y_i(x)=0.\]
Dalším derivováním dostaneme
\[z'(x)=c_1(x) y_1''(x)+\dots+c_n(x)y_n''(x)+
c_1'(x) y_1'(x)+\dots+c_n'(x)y_n'(x)\]
a položíme
\[\sum_{i=1}^n c_1'(x)y_i'(x)=0.\]
Nakonec dostaneme
\[\begin{split}
z^{(n-1)}(x)&=c_1(x) y_1^{(n-1)}(x)+\dots+c_n(x)y_n^{(n-1)}(x)+\\
&\quad+c_1'(x) y_1^{(n-2)}(x)+\dots+c_n'(x)^{(n-2)}(x),
\end{split}\]
$(n-1)$-tá podmínka je
\[\sum_{i=1}^n c_1'(x)y_i^{(n-2)}(x)=0.\]
Protože
\[z^{(n)}(x)=c_1(x) y_1^{(n)}(x)+\dots+c_n(x)y_n^{(n)}(x)+
c_1'(x) y_1^{(n-1)}(x)+\dots+c_n'(x)y_n^{(n-1)}(x)\]
a v~důsledku předchozích podmínek je
\[
\begin{split}
L(z)&=c_1(x)L(y_1)+c_2(x)L(y_2)+\dots+c_n(x)L(y_n)+\\
&\quad +c_1'(x)y_1^{(n-1)}(x)+\dots+ c_n'(x)y_n'^{(n-1)}(x)=q(x).
\end{split}
\]
Protože $L(y_i)=0$, dostáváme poslední podmínku
\[\sum_{i=1}^n c_i'(x)y_i^{(n-1)}(x)=q(x).\]
\subsection{Lineární rovnice $n$-tého řádu s~konstantními koeficienty}
\index{diferenciální rovnice, lineární $n$-tého řádu s~konstantními koeficienty}
Rovnice tvaru
\begin{equation}
L(y)=a_0 y^{(n)}+a_1 y^{(n-1)}+\dots+a_n y=q(x),
\end{equation}
kde $a_0\not=0$, $a_i\in\C$ a $q(x)$ je spojitá funkce
$\R\mapsto\C$. Za $y(x)$ dosadíme $e^{\lambda x}$. Potom dostaneme
\[a_0\lambda^n e^{\lambda x}+a_1\lambda^{n-1} e^{\lambda x}+
\dots+a_ne^{\lambda x}=0,\]
tedy
\[\left(a_0\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_n\right)
e^{\lambda x}=0,\]
pro každé $x\in\I$. Rovnici $F(\lambda)=0$, kde
$F(\lambda)=a_0\lambda^n+\dots+a_n$ nazýváme {\bf charakteristickou
rovnicí}, $F(\lambda)$ je {\bf charakteristický polynom}.
\index{rovnice, charakteristická} \index{polynom, charakteristický}
\begin{theorem}
Nechť $\mu$ je $k$-násobný kořen $F(\lambda)$. Pak řešením lineární
diferenciální rovnice jsou
$e^{\mu x},xe^{\mu x},x^2e^{\mu x},\dots,x^{k-1}e^{\mu x}$.
\begin{proof}
Buď $y(x)=e^{\mu x}z(x)$, $L(y)=e^{\mu x}M(z)$, kde $M$ je lineární
diferenciální operátor stejného řádu jako $L$.
\[
\begin{split}
L(y)&=\sum_{l=0}^n a_{n-l}y^{(l)}=\sum_{l=0}^n a_{n-l}\left[
\sum_{i=0}^l\binom{l}{i}\mu^i z^{(l-i)}e^{\mu x}\right]=\\
&=\underbrace{\left[\sum_{l=0}^n a_{n-l}
\sum_{i=0}^l\left(\binom{l}{i}\mu^i z^{(l-i)}\right)\right]}_{M(z)}e^{\mu x}.
\end{split}\]
Buď $G(\lambda)$ charakteristický polynom $M(z)$. Potom
\[G(\lambda)=\sum_{l=0}^n a_{n-l}\underbrace{\sum_{i=0}^l
\binom{l}{i}\mu^i\lambda^{l-i}}_{(\lambda+\mu)^l}=
F(\lambda+\mu).\]
Protože $\mu$ je $k$-násobný kořen $F$, je $F(x)=(x-\mu)^k\hat F(x)$,
kde $\hat F$ je polynom. Dále je $F(\lambda+\mu)=\lambda^k\hat
F(\lambda+\mu)$, tedy $G$ má $k$-násobný kořen $0$. Potom $G$ musí mít
tvar
\[G(\lambda)=A_0\lambda^n+A_1\lambda^{n-1}+\dots+A_{n-k}\lambda^k\]
a $M$ má tvar
\[M(z)=A_0z^{(n)}+A_1z^{(n-1)}+\dots+A_{n-k}z^{(k)}.\]
Rovnice $M(z)=0$ má zřejmě řešení $1,x,x^2,\dots,x^{k-1}$, takže
$L(y)=0$ má řešení $e^{\mu x},xe^{\mu x},\dots,x^{k-1}e^{\mu x}$.
Buďte $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p$ kořeny charakteristického
polynomu a $k_1,k_2,\dots,k_p$ jejich násobnosti, tj.
$\sum_{i=1}^p k_i=n$. Buď dále systém řešení
\begin{equation}
\label{systldr}
\begin{matrix}
e^{\lambda_1x}, & xe^{\lambda_1x}, & \hdots, & x^{k_1-1}e^{\lambda_1x},\\
e^{\lambda_2x}, & xe^{\lambda_2 x}, & \hdots, & x^{k_2-1}e^{\lambda_2x},\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
e^{\lambda_px}, & xe^{\lambda_px}, & \hdots, & x^{k_p-1}e^{\lambda_px}.
\end{matrix}
\end{equation}
Ukážeme, že řešení \eqref{systldr} jsou lineárně nezávislá na
intervalu $\I$. Nejprve ale dokážeme následující lemma.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{lemma}
Nechť $P_1(x),P_2(x),\dots,P_r(x)$ jsou nenulové polynomy a
$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_r$ vzájemně různá čísla. Pak na
každém intervalu $\I$ (obsahujícím alespoň 2 body) neplatí, že
\[P_1(x)e^{\lambda_1x}+P_2(x)e^{\lambda_2x}+\dots+P_r(x)e^{\lambda_rx}=0\]
pro každé $x\in\I$.
\begin{proof}
Větu dokážeme indukcí.
Je-li $P_1(x)e^{\lambda_1x}=0$, je nutně $P_1(x)=0$.
Předpokládáme, že $r$-členná relace platí, potom je
\begin{equation}
\label{lnpoly1}
P_1(x)=-P_2(x)e^{\lambda_2x-\lambda_1x}
-P_3(x)e^{\lambda_3x-\lambda_1x}-
\dots
-P_r(x)e^{\lambda_rx-\lambda_1x}.
\end{equation}
Buď $\mu_i=\lambda_i-\lambda_1$, platí, že $\mu_i\not=0$ pro každé
$i\in\hat r\sm\{1\}$. Protože platí
\[\left(P_i(x)e^{\mu_ix}\right)^{(k+1)}=Q_i(x)e^{\mu_ix},\]
$(k+1)$-tým derivováním \eqref{lnpoly1} dostaneme
\[0=Q_2(x)e^{\mu_2x}+\dots+Q_r(x)e^{\mu_rx},\]
tedy $(r-1)$-členná relace by musela rovněž platit, což je spor.
\end{proof}
\end{lemma}
Předpokládejme nyní rovnost
\[\sum_{i=1}^p
\underbrace{\left[\sum_{j=0}^{k_i-1}c_{ij}x^j\right]}_{P_i(x)}
e^{\lambda_ix}=0\]
pro každé $x\in\I$. Z~předchozího lemmatu vyplývá, že všechny
polynomy $P_i(x)$ jsou nulové, tudíž $c_{ij}=0$. Z~toho plyne, že
řešení \eqref{systldr} jsou lineárně nezávislá a tvoří fundamentální
systém.
Pro rovnici s~reálnými koeficienty existuje reálný fundamentální
systém. Nalezený fundamentální systém ale není reálný, protože kořeny
charakteristického polynomu mohou být komplexní. Víme ovšem, že pokud
je kořenem $a+\im b$, je kořenem i $a-\im b$. Pokud fundamentální systém
obsahuje dvojici řešení
\[y_1(x)=x^ke^{(a+\im b)x},\quad y_2(x)=x^ke^{(a-\im b)x}.\]
Tuto dvojici ze systému odstraníme a místo ní zařadíme
\[z_1(x)=\frac{y_1(x)+y_2(x)}{2},\quad
z_2(x)=\frac{y_1(x)-y_2(x)}{2\i},\]
tedy
\[z_1(x)=x^ke^{ax}\cos bx,\quad
z_2(x)=x^ke^{ax}\sin bx.\]
Je potřeba dokázat, že i~nový systém je fundamentální. Platí, že
\[
\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2 & 0 & \hdots & 0 \\
1/{2\i} & 1/{2\i} & 0 & \hdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \hdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \hdots & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\y_2(x)\\y_3(x)\\\vdots\\y_n(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
z_1(x)\\z_2(x)\\y_3(x)\\\vdots\\y_n(x)
\end{pmatrix}
\]
a protože
\[W_{z_1,z_2,y_3,\dots,y_n}=-\frac{1}{2\i}W_{y_1,y_2,y_3,\dots,y_n}\not=0\]
a protože $W_{y_1,y_2,y_3,\dots,y_n}\not=0$, je to fundamentální systém.
\subsection{Systémy lineárních diferenciálních rovnic}
Systémem lineárních rovnic rozumíme systém
\begin{equation}
\label{linsyst2}
\vec y'=\mathbf A(x)\vec y+\vec b(x).
\end{equation}
Systémem lineárních rovnic bez pravé strany rozumíme systém
\begin{equation}
\label{linsystbezps}
\vec y'=\mathbf A(x)\vec y.
\end{equation}
Zavádíme {\bf lineární diferenciální operátor} \index{operátor, lineární diferenciální}
$L(\vec y)=\vec y'-\mathbf A(x)\vec y$. Platí-li $L(\vec z)=\vec b(x)$ a $L(\vec
y)=\nulvec$, je $\vec z+\vec y$ řešením \eqref{linsyst2}. Jsou-li
$\vec y$, $\vec z$ řešení \eqref{linsyst2}, pak $\vec z-\vec y$ řeší
\eqref{linsystbezps}.
\subsubsection{Nalezení všech řešení systému bez pravých stran}
\begin{enumerate}
\item Nulový vektor $\nulvec$ je řešením \eqref{linsystbezps}.
\item Jestliže řešení $\vec y(x)$ splňuje v~bodě $x_0\in\I$ podmínku
$\vec y(x_0)=\nulvec$, pak z jednoznačnosti řešení plyne, $\vec y(x)=0$ pro každé $x\in\I$.
\item Jsou-li $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ řešení
\eqref{linsystbezps}, pak
\[\sum_{i=1}^k c_i\vec y^{(i)}(x)\]
je řešení \eqref{linsystbezps}.
\end{enumerate}
Buďte $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ funkce takové, že
\[
\vec y^{(i)}(x)=
\begin{pmatrix}
y_1^{(i)}(x)\\
y_2^{(i)}(x)\\
\vdots\\
y_n^{(i)}(x)
\end{pmatrix}.
\]
Potom definujeme wronskián \index{determinant, Wronského}\index{wronskián}
\[W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x)=
\begin{vmatrix}
y_1^{(1)}(x) & y_1^{(2)}(x) & \hdots & y_1^{(n)}(x) \\
y_2^{(1)}(x) & y_2^{(2)}(x) & \hdots & y_2^{(n)}(x) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y_n^{(1)}(x) & y_n^{(2)}(x) & \hdots & y_n^{(n)}(x)
\end{vmatrix}.\]
\begin{theorem}
Jsou-li funkce $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ lineárně
závislé na intervalu $\I$, potom v~každém bodě $x\in\I$ je
\[W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x)=0.\]
\begin{proof}
Nechť existují $c_1,c_2,\dots,c_n$ ne všechna rovná nule taková, že
pro každé $x\in\I$ je
\[\sum_{i=1}^n c_i\vec y^{(i)}(x)=\nulvec,\]
tedy pro každé $x\in\I$ a $i\in\hat n$ je
\[\sum_{j=1}^n c_jy^{(j)}_i(x)=0.\]
To je systém s~maticí stejnou jako je matice $W$ a má netriviální
řešení, tedy
$W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x)=0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Předchozí větu nelze obecně obrátit, například funkce $x$ a $x^2$ jsou
lineárně nezávislé, ale
\[\begin{vmatrix}
x & x^2\\0 & 0
\end{vmatrix}=0.\]
Platí však následující věta.
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ jsou řešení
\eqref{linsystbezps} na intervalu $\I$. Jestliže alespoň v~jednom bodě
$x_0\in\I$ je
\[W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x_0)=0,\]
jsou $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ lineárně závislé.
\begin{proof}
Buď $W(x_0)=0$. Potom existují $c_1,c_2,\dots,c_n$ ne všechna rovná
nule taková, že
\[\sum_{j=1}^n c_j\vec y^{(j)}(x_0)=0\]
Buď
\[\vec Y(x)=\sum_{i=1}^n c_i \vec y^{(i)}(x).\]
Platí, že $\vec Y(x_0)=\nulvec$ a proto z jednoznačnosti $\vec Y(x)=0$ pro každé
$x\in\I$. Proto platí
\[\sum_{i=1}^n c_i \vec y^{(i)}(x)=0\]
pro každé $x\in\I$ a tedy funkce jsou lineárně závislé.
\end{proof}
\end{theorem}
Přímým důsledkem dvou předchozích vět je následující věta.
\begin{theorem}
Jsou-li $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ řešení systému
\eqref{linsystbezps} na intervalu $\I$, potom
$W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}$ je buď pro každé
$x\in\I$ různý od nuly nebo je pro každé $x\in\I$ roven nule. První
případ nastává, když jsou řešení lineárně nezávislá, druhý, když jsou
lineárně závislá.
\end{theorem}
\begin{define}
\index{fundamentální systém řešení}
{\bf Fundamentálním systémem řešení} systému \eqref{linsystbezps}
nazýváme každých $n$ lineárně nezávislých řešení \eqref{linsystbezps}.
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ je fundamentální
systém řešení \eqref{linsystbezps}. Pak každé řešení $\vec y(x)$
systému \eqref{linsystbezps} lze psát ve tvaru
\[\vec y=c_1\vec y^{(1)}(x)+c_2\vec y^{(2)}(x)+\dots+
c_n\vec y^{(n)}(x),\]
kde $c_i$ jsou konstanty, které jsou řešením $\vec y(x)$ určený
jednoznačně.
\begin{proof}
Buď $x_0\in\I$. Protože řešení tvoří fundamentální systém, je
$W(x_0)\not=0$. Uvažujme soustavu lineárních rovnic
\[\sum_{j=1}^n c_j y_i^{(j)}(x_0)=y_i(x_0)\]
pro každé $i\in\hat n$. Protože matice soustavy je regulární, je
soustava jednoznačně řešitelná. Definujme
\[\vec Y=\vec y(x)-\sum_{i=1}^n c_i\vec y^{(i)}(x).\]
Protože $\vec Y$ je lineární kombinace řešení systému
\eqref{linsystbezps}, řeší i $\vec Y$ systém
\eqref{linsystbezps}. Protože $\vec Y(x_0)=0$, je $\vec Y(x)=0$ pro
každé $x\in\I$. Nakombinovali jsme tak řešení $\vec y$ z~fundamentálního systému.
Nechť také platí
\[\vec y(x)=\sum_{i=1}^n d_i\vec y^{(i)}(x).\]
Potom
\[\nulvec=\sum_{i=1}^n (c_i-d_i)\vec y^{(i)}(x),\]
proto musí platit $d_i=c_i$ pro $i\in\hat n$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Existují fundamentální systémy řešení systému \eqref{linsystbezps},
při reálných $a_{ij}(x)$ existují reálné fundamentální systémy.
\begin{proof}
Buď $x_0\in\I$. Buďte dále $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec
y^{(n)}$ řešení taková, že $\vec y^{(1)}(x_0)=e^{(1)},\vec
y^{(2)}(x_0)=e^{(2)},\dots, \vec y^{(n)}(x_0)=e^{(n)}$. Potom
$W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x_0)=1$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ jsou řešení
\eqref{linsystbezps}. Nechť
\[
\Gamma=
\begin{pmatrix}
\gamma_{11} & \hdots & \gamma_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
\gamma_{n1} & \hdots & \gamma_{nn}\\
\end{pmatrix},
\]
je daná matice. Položme
\begin{equation}
\label{gamma1}
\vec z^{(i)}(x)=\sum_{j=1}^n\gamma_{ij}\vec y^{(j)}(x)
\end{equation}
pro každé $i\in\hat n$. Pak funkce $\vec z^{(i)}(x)$ jsou opět řešení
\eqref{linsystbezps} a platí
\[W_{\vec z^{(1)},\dots,\vec z^{(n)}}=\det\Gamma
W_{\vec y^{(1)},\dots,\vec y^{(n)}}\]
a tudíž $\vec z^{(1)},\vec z^{(2)},\dots,\vec z^{(n)}$ je fundamentální systém,
právě když $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ je
fundamentální systém a $\det\Gamma\not=0$.
\begin{proof}
Vztah \eqref{gamma1} je ekvivalentní vztahu
\[(\vec z^{(1)},\vec z^{(2)},\dots,\vec z^{(n)})=
(\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)})\Gamma^T.\]
Z~toho vyplývá, že každá z~funkcí
$\vec z^{(1)},\vec z^{(2)},\dots,\vec z^{(n)}$ je lineární kombinací
funkcí $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$. Současně z~toho
vyplývá vztah pro determinanty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Pro libovolnou $n$-tici řešení
$\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ systému
\eqref{linsystbezps} a bod $x_0\in\J$ platí
\[W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x)=
W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}(x_0)
e^{\int_{x_0}^x\tau(\mathbf A(t))\d t},\]
kde $\tau(\mathbf A(x))=a_{11}(x)+a_{22}(x)+\dots+a_{nn}(x)=\Tr\mathbf
A(x)$ je stopa matice $\mathbf A(x)$.
\begin{proof}
Pro derivaci wronskiánu platí podle lemmatu \ref{lemma_deriv_wron}
\[
\frac{\d}{\d x}W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}=
\sum_{k=1}^n
\begin{vmatrix}
y_1^{(1)}(x) & y_1^{(2)}(x) & \hdots & y_1^{(n)}(x)\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
y_{k-1}^{(1)}(x) & y_{k-1}^{(2)}(x) & \hdots & y_{k-1}^{(n)}(x)\\
{y_k^{(1)}}'(x) & {y_k^{(2)}}'(x) & \hdots & {y_k^{(n)}}'(x)\\
y_{k+1}^{(1)}(x) & y_{k+1}^{(2)}(x) & \hdots & y_{k+1}^{(n)}(x)\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
y_n^{(1)}(x) & y_n^{(2)}(x) & \hdots & y_n^{(n)}(x)
\end{vmatrix}.
\]
Na $i$-tém místě v~derivovaném řádku je zderivovaná $k$-tá složka
$i$-tého řešení, která vyhovuje $k$-té rovnici systému:
\[{y_k^{(i)}}'=\sum_{j=1}^n a_{kj}(x)y_j^{(i)}(x).\]
Tento vztah dosadíme za derivace a odečteme od derivovaného řádku
vhodné násobky ostatních tak, aby tam zůstal pouze $k$-tý
sčítanec. $k$-tý řádek determinantu bude pak mít tvar
\[
\begin{vmatrix}
a_{kk}(x)y_k^{(1)} & a_{kk}(x)y_k^{(2)} & \hdots & a_{kk}(x)y_k^{(n)} \\
\end{vmatrix}.
\]
Potom platí, že
\[
\frac{\d}{\d x}W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}=
\sum_{k=1}^n a_{kk}(x)W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec
y^{(n)}}=W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}
\tau(\mathbf A(x)).
\]
Pro $W=0$ věta platí, pokud $W\not=0$, je to separovatelná rovnice a
její řešení je (z~počátečních podmínek $C=W(x_0)$)
\[W=W(x_0)e^{\int_{x_0}^x\tau(\mathbf A(t))\d t}.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ splňují
vztah
\[W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}\not=0\]
pro $x\in\I$, kde $\I$ je interval, a~mají na $\I$ spojité
derivace. Pak existuje právě jeden systém tvaru \eqref{linsystbezps},
jehož jsou fundamentálním systémem. Je to systém
\[
\begin{vmatrix}
y_i' & {y_i^{(1)}}' & {y_i^{(2)}}' & \hdots & {y_i^{(n)}}'\\
y_1' & {y_1^{(1)}}' & {y_1^{(2)}}' & \hdots & {y_1^{(n)}}'\\
y_2' & {y_2^{(1)}}' & {y_2^{(2)}}' & \hdots & {y_2^{(n)}}'\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\
y_n' & {y_n^{(1)}}' & {y_n^{(2)}}' & \hdots & {y_n^{(n)}}'\\
\end{vmatrix}
\frac1{W_{\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}}}=0
\]
pro každé $i\in\hat n$.
\begin{proof}
První část dokážeme sporem. Předpokládejme, že
$\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ řeší různé systémy
$\vec y^{(i)}=\mathbf A(x)\vec y^{(i)}$ i
$\vec y^{(i)}=\mathbf B(x)\vec y^{(i)}$. Potom
$(\mathbf A(x)-\mathbf B(x))\vec y^{(i)}(x)=0$ pro každé $i\in\hat n$,
tedy
\[(\mathbf A(x)-\mathbf B(x))
\underbrace{
(\vec y^{(1)}(x),\vec y^{(2)}(x),\dots,\vec y^{(n)}(x))}_{\mathbf Y}=\nulmat.\]
Matice $\mathbf Y$ je regulární, neboť funkce jsou lineárně nezávislé, proto
existuje $\mathbf Y^{-1}$, po vynásobení rovnice $\mathbf Y^{-1}$ zprava dostaneme
$\mathbf A(x)-\mathbf B(x)=\nulmat$, tedy matice $\mathbf A(x)$ a
$\mathbf B(x)$ jsou stejné, což je spor.
Rozvinutím matice podle 1.~sloupce dostaneme systém typu
\eqref{linsystbezps}. Po dosazení libovolného $\vec y^{(i)}$ za $\vec
y$ rovnost platí.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Systémy lineárních diferenciálních rovnic
s~konstantními koeficienty}
Systém $\vec y'=\mathbf A\vec y+\vec b(x)$, kde $\mathbf
A\in\C^{n,n}$.
\subsubsection{Nalezení fundamentálního systému}
Řešení systému $\vec y'=\mathbf A\vec y$ se pokusíme hledat ve tvaru
$\vec y(x)=\vec ve^{\lambda x}$; $\lambda\vec ve^{\lambda x}=\mathbf A\vec ve^{\lambda x}$.
Pokud je $\mathbf A$ diagonalizovatelná, jsou
$\vec v$ vlastní vektory. Pokud ne, je to složitější.
\begin{theorem}
Nechť $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p$ jsou všechna vzájemně
různá vlastní čísla matice $\mathbf A$ řádu $n$ s~algebraickými
násobnostmi $k_1,k_2,\dots,k_p$, $k_1+k_p+\dots+k_p=n$. Pak systém
diferenciálních rovnic $\vec y'=\mathbf A\vec y$ má fundamentální
systém řešení tvaru
\[
\begin{matrix}
\vec y_1^{(1)}(x)e^{\lambda_1x}, & \vec y_2^{(1)}(x)e^{\lambda_1x}, &
\hdots & \vec y_{k_2}^{(1)}(x)e^{\lambda_1x},\\
\vec y_1^{(2)}(x)e^{\lambda_2x}, & \vec y_2^{(2)}(x)e^{\lambda_2x}, &
\hdots & \vec y_{k_2}^{(2)}(x)e^{\lambda_2x},\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
\vec y_1^{(p)}(x)e^{\lambda_px}, & \vec y_2^{(p)}(x)e^{\lambda_px}, &
\hdots & \vec y_{k_p}^{(p)}(x)e^{\lambda_px},
\end{matrix}
\]
kde $y_j^{(i)}(x)$ je $n$ vektorů, jejichž složky jsou polynomy stupně
nejvýše $j-1$ (nebo jsou nulové).
\begin{proof}
Existuje regulární matice $\mathbf T$ taková, že platí
$\mathbf A=\mathbf T \mathbf J \mathbf T^{-1}$, kde $\mathbf J$ je
matice v~Jordanově normálním tvaru.\index{Jordanův normální tvar matice} Vynásobením rovnice
$\vec y'=\mathbf A\vec y=\mathbf T\mathbf J\mathbf T^{-1}$ maticí
$\mathbf T^{-1}$ zleva dostaneme $\mathbf T^{-1}\vec y'=\mathbf
J\mathbf T^{-1}\vec y$. Označme $\vec z=\mathbf T^{-1}\vec y$ a
uvažujme systém $\vec z'=\mathbf J\vec z$. Pokud najdeme fundamentální
systém výše uvedených vlastností systému $\vec z'=\mathbf J\vec z$,
odpovídá mu fundamentální systém stejných vlastností systému
$\vec y'=\mathbf A\vec y$, neboť lineární kombinací polynomů stupně
$k$ dostaneme opět polynom stupně $k$.
Matice $\mathbf J$ má blokový tvar
\[
\mathbf J=
\begin{pmatrix}
J_1^{(1)}\\
& J_2^{(1)}\\
& &\ddots\\
& & & J_{k_1}^{(1)}\\
& & & & \ddots\\
& & & & & J_{k_p}^{(p)}
\end{pmatrix},
\]
kde
\[
\mathbf J_i^{(1)}=
\begin{pmatrix}
\lambda_1\\
1 & \lambda_1\\
& 1 & \lambda_1\\
& & \ddots&\ddots\\
& & & 1 & \lambda_1
\end{pmatrix}.
\]
Systém $\vec z'=\mathbf J\vec z$ má tedy tvar ($q:=k_1$)
\[
\begin{array}{rcrcrcrcrrcrcrcrcrcrcrc}
z_1' &=&\lambda_1z_1\\
z_2' &=& z_1&+&\lambda_1z_2\\
z_3' &=& & & z_2&+&\lambda_1z_3\\
&\vdots& & & &\ddots\\
z_q' &=& & & & & z_{q-1}&+&\lambda_1z_q\\
z_{q+1}' &=& & & & & & & & \lambda_2z_{q+1}\\
z_{q+2}' &=& & & & & & & & z_{q+1}&+&\lambda_2z_{q+2}\\
&\vdots & & & & & & & & & \ddots
\end{array}
\]
Hledání fundamentálního systému jsme tak rozložili na dílčí
problémy. Nyní řešíme systém
\[
\begin{array}{rcrcrcrcr}
z_1' &=&\lambda_1z_1\\
z_2' &=& z_1&+&\lambda_1z_2\\
z_3' &=& & & z_2&+&\lambda_1z_3\\
&\vdots& & & &\ddots\\
z_q' &=& & & & & z_{q-1}&+&\lambda_1z_q.
\end{array}
\]
Tady $z_i' = z_{i-1}+\lambda_1 z_i$. %z_0 = 0
Zavedeme substituci $z_i(x)=e^{\lambda_1x}u_i(x)$, dosazením vyjde
\[z_i' = e^{\lambda_1x}u_{i-1}+\lambda_1e^{\lambda_1x}u_i\]
a derivací identity vyjde
\[z_i'=\lambda_1e^{\lambda_1x}u_i+e^{\lambda_1x}u_i'\]
a tedy $u_i'=u_{i-1}$. Tento systém má $q$ lineárně nezávislých řešení, například
\[
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\0\\1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\1\\x
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\1\\x\\\frac{x^2}{2!}
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\1\\x\\\frac{x^2}{2!}\\\frac{x^3}{3!}
\end{pmatrix},\dots,
\begin{pmatrix}
1\\x\\\frac{x^2}{2!}\\\vdots\\\frac{x^{q-1}}{(q-1)!}
\end{pmatrix}.
\]
Řešení celého systému pak jsou
\[
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\0\\1\\0\\\vdots\\0
\end{pmatrix}
e^{\lambda_1x},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\1\\x\\0\\\vdots\\0
\end{pmatrix}
e^{\lambda_1x},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\0\\1\\x\\\frac{x^2}{2!}\\0\\\vdots\\0
\end{pmatrix}
e^{\lambda_1x},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\\vdots\\1\\x\\\frac{x^2}{2!}\\\frac{x^3}{3!}\\0\\\vdots\\0
\end{pmatrix}
e^{\lambda_1x},\dots,
\begin{pmatrix}
1\\x\\\frac{x^2}{2!}\\\vdots\\\frac{x^{q-1}}{(q-1)!}\\0\\\vdots\\0
\end{pmatrix}e^{\lambda_1x},\dots\qed
\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je-li $\lambda_1$ $k_1$-násobné vlastní číslo, existuje skupina $k_1$
lineárně nezávislých řešení tvaru $\vec y(x)e^{\lambda_1x}$, kde $\vec
y(x)$ má za své složky polynomy stupně nejvýše $k_1-1$.
To umožňuje hledat fundamentální systémy metodou \uv{neurčitých
koeficientů}. Za $\vec y(x)$ dosadíme součin $\vec
z(x)e^{\lambda_1x}$, kde $\vec z(x)$ je \uv{polynomiální}
vektor. V~každé rovnici dostaneme rovnost dvou polynomů stupně nejvýše
$k_1-1$.
\end{remark}
\subsubsection{Metoda variace konstant}
\index{metoda, variace konstant}
Buď $\vec y^{(1)},\vec y^{(2)},\dots,\vec y^{(n)}$ fundamentální
systém systému \eqref{linsystbezps}. Předpokládáme partikulární řešení
systému s~pravou stranou
\[c_1(x)\vec y^{(1)}(x)+c_2(x)\vec y^{(2)}(x)+\dots+c_n(x)\vec
y^{(n)}(x).\]
Dosazením do systému dostaneme
\[
\begin{split}
&c_1'(x)\vec y^{(1)}(x)+c_2'(x)\vec y^{(2)}(x)+\dots+
c_n'(x)\vec y^{(n)}(x)+\\
&\quad+c_1(x)\vec {y^{(1)}}'(x)+c_2(x)\vec {y^{(2)}}'(x)+\dots+
c_n(x)\vec {y^{(n)}}'(x)=\\
&=c_1(x)\mathbf A(x)\vec y^{(1)}(x)+c_2(x)\mathbf A(x)\vec y^{(2)}(x)+\dots+
c_n(x)\mathbf A(x)\vec y^{(n)}(x)+\vec b(x)
\end{split}
\]
a
\[
\sum_{i=1}^n c_i'(x)\vec y^{(i)}(x)=\vec b(x),
\]
protože $c_i(x)\vec {y^{(i)}}'(x)=c_i(x)\mathbf A(x)\vec y^{(i)}(x)$ pro každé
$i\in\hat n$. Matice soustavy je regulární, existuje proto právě jedno
řešení. Soustavu vyřešíme Cramerovým pravidlem. Protože všechny funkce
$\vec y^{(i)}$ i $\vec b$ jsou spojité, bude spojité i~řešení.
