Součásti dokumentu 01DIFR
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Systémy diferenciálních rovnic}
\index{diferenciální rovnice, systémy}
Systémem diferenciálních rovnic nazýváme systém tvaru
\[
\begin{split}
F_1(x,y_1,y_2,\dots,y_n,y_1',y_2',\dots,y_n')&=0\\
F_2(x,y_1,y_2,\dots,y_n,y_1',y_2',\dots,y_n')&=0\\
&\vdots\\
F_n(x,y_1,y_2,\dots,y_n,y_1',y_2',\dots,y_n')&=0.
\end{split}
\]
Libovolný systém rovnic vyššího řádu lze převést na systém rovnic
prvního řádu.
\begin{example}
Pro systém $F(x,y,y',y'',z')=0$, $G(x,y,z,y',z',z'',z''')=0$ zavedeme
nové proměnné $y_1=y$, $y_2=y'$, $y_3=z$, $y_4=z'$, $y_5=z''$ a
převedeme ho na systém
\begin{align*}
y_1'&=y_2\\
F(x,y_1,y_3,y_2,y_2',y_4)&=0\\
y_3'&=y_4\\
y_4'&=y_5\\
G(x,y_1,y_3,y_2,y_4,y_5,y_5')&=0.
\end{align*}
\end{example}
Omezíme se na systémy tvaru
\begin{equation}
\label{normsyst}
\begin{split}
y_1'&=f_1(x,y_1,y_2,\dots,y_n)\\
y_2'&=f_2(x,y_1,y_2,\dots,y_n)\\
&\vdots\\
y_n'&=f_n(x,y_1,y_2,\dots,y_n),
\end{split}
\end{equation}
tzv. {\bf normální systém diferenciálních rovnic}.
\index{systém diferenciálních rovnic, normální}
Tento systém lze zapsat také vektorově
\begin{align*}
\vec y&=
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\\vdots\\y_n
\end{pmatrix},
&
\vec f(x,\vec y)&=
\begin{pmatrix}
f_1(x,y_1,\dots,y_n)\\
\vdots\\
f_n(x,y_1,\dots,y_n)
\end{pmatrix},
&
\vec y'=\vec f(x,\vec y).
\end{align*}
\begin{define}
Řešením normálního systému diferenciálních rovnic \eqref{normsyst} na
intervalu $\I$ je každá $n$-tice funkcí $y_1(x),\dots,y_n(x)$
(tj. každý vektor $\vec y$), které jsou definovány na intervalu $\I$,
mají tam derivaci a po dosazení do \eqref{normsyst} je rovnost splněna
pro každé $x\in\I$. $y_i(x)$ je {\bf $i$-tá složka řešení}.
\index{řešení, normální systém diferenciálních rovnic}
Nechť funkce $f_i(x,y_1,\dots,y_n)$ jsou definovány na nějaké oblasti
$G\subset\R^{n+1}$ a nechť
\[
\begin{pmatrix}
\phi_1(x)\\\vdots\\\phi_n(x)
\end{pmatrix}
\]
je řešení \eqref{normsyst} na $\I$. $(n+1)$-tice
\[
\begin{pmatrix}
x\\\phi_1(x)\\\vdots\\\phi_n(x)
\end{pmatrix}
\]
vytvoří pro $x\in\I$ prostorovou křivku v~$\R^{n+1}$. Tuto křivku
nazýváme {\bf integrální křivkou}.\index{křivka, integrální}
\end{define}
\begin{define}
Nechť funkce $f(x,y_1,y_2,\dots,y_n)$ je definována na množině
$A\subset\R^{n+1}$. Řekneme, že funkce $f$ splňuje na $A$ Lipschitzovu
podmínku vzhledem k~$y_1,y_2,\dots,y_n$ (s~konstantou $L$), platí-li
pro každé dva body $[x,y_1,y_2,\dots,y_n]\in A$,
$[x,\hat{y_1},\hat{y_2},\dots,\hat{y_n}]\in A$ nerovnost
\[
\norm{f(x,y_1,y_2,\dots,y_n)-f(x,\hat{y_1},\hat{y_2},\dots,\hat{y_n})}\le L\sum_{i=1}^n\abs{y_i-\hat{y_i}}.
\]
\end{define}
\begin{define}
Řekneme, že funkce $\vec f(x,y_1,y_2,\dots,y_n)$ splňuje na množině $A$
lokálně Lipschitzovu podmínku, jestliže ke každému bodu
$[x,y_1,y_2,\dots,y_n]\in A$ existuje okolí $O$ tak, že $f$ splňuje na
$O$ Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y_1,y_2,\dots,y_n$.
\index{funkce, lipschitzovská }
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f(x,y_1,y_2,\dots,y_n)$ má na otevřené množině $A$
spojité derivace $\frac{\pd f}{\pd y_j}$, $j\in\hat n$. Pak $f$
splňuje na $A$ lokálně Lipschitzovu podmínku.
\end{theorem}
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení]
Nechť funkce $f_j(x,y_1,y_2,\dots,y_n)$, kde $j\in\hat n$ jsou
v~intervalu $\I=\la x_0-a,x_0+a\ra\times\la y_{10}-b,y_{10}+b\ra
\times\dots\times\la y_{n0}-b,y_{n0}+b\ra$ (kde
$a>0,b>0,x_0,y_{10},\dots,y_{n0}$ jsou daná čísla) spojité a tudíž
omezené, $\abs{f_j(x,y_1,\dots,y_n)}<K$, $K>0$ a nechť v~$\I$ splňuje
Lipschitzovu podmínku (s~konstantou $L$) vzhledem k
$y_1,\dots,y_n$. Označme $h=\min\left(a,\frac{b}{K}\right)$. Potom
platí:
\begin{enumerate}
\item Existuje řešení
\[
\vec y(x)=
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\
%y_2(x)\\
\vdots\\y_n(x)
\end{pmatrix}
\]
systému \eqref{normsyst} v~intervalu $\la x_0-h,x_0+h\ra$, pro které
platí
\[
\vec y(x_0)=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\
%y_{20}\\
\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix}
\]
a jehož integrální křivka leží v~$\I$.
\item Toto řešení je jediné v~tomto smyslu: Je-li
\[
\vec z(x)=
\begin{pmatrix}
z_1(x)\\
%z_2(x)\\
\vdots\\z_n(x)
\end{pmatrix}
\]
jiné řešení v~intervalu $\la\alpha,\beta\ra$, kde
$x_0-h\le\alpha\le x_0\le\beta\le x_0+h$ a
\[
\vec z(x_0)=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\
%y_{20}\\
\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix},
\]
je $\vec z(x)=\vec y(x)$ pro každé $x\in\la\alpha,\beta\ra$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Řešení systému \eqref{normsyst} s~počáteční podmínkou
\[
\vec y(x_0)=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\
%y_{20}\\
\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix}
=\vec y_0
\]
je ekvivalentní řešení systému integrálních rovnic
\begin{align*}
y_1(x)&=y_{10}+\int_{x_0}^x f_1(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))\d t\\
%y_2(x)&=y_{20}+\int_{x_0}^x f_2(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))\d t\\
&\vdots\\
y_n(x)&=y_{n0}+\int_{x_0}^x f_n(t,y_1(t),y_2(t),\dots,y_n(t))\d t.
\end{align*}
%\[y_j'=f_j(x,y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x))\]
%\[y_j(x)=\int_{x_0}^x f_j(x,y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x))\d t+y_{j0}.\]
Zkonstruujeme tzv. {\bf posloupnost Picardových aproximací}
\index{Picardovy aproximace}
$\vec y^{(0)}(x),\vec y^{(1)}(x),\dots$:
\begin{align*}
\vec y^{(0)}(x)&=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix},&
\vec y^{(k)}(x)&=\vec y^{(0)}+
\int_{x_0}^x \vec f(t,\vec y^{(k-1)}(t))\d t.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Zřejmě je $\vec y^{(k)}(x_0)=\vec y_0$.
\item Zřejmě $y_j^{(k)}(x)$ jsou spojité na $\la x_0-h,x_0+h\ra$ a
také platí, že $[x,\vec y^{(k)}(x)]\in\I$ pro každé $x\in\la
x_0-h,x_0+h\ra$. To dokážeme indukcí podle $k$.
Pro $\vec y^{(0)}$ to zřejmě platí. Protože funkce $f_j$ jsou omezené,
platí, že
\[\abs{f_j(t,\vec y^{(k-1)}(t))}\le K.\]
Potom je
\[
\begin{split}
\abs{y_j^{(k)}(x)-y_{j0}}&=
\abs{\,\int_{x_0}^x
f_j(t,y_1^{(k-1)}(t),y_2^{(k-1)}(t),\dots,y_n^{(k-1)}(t))\d t}\le\\
&\le K\abs{x-x_0}\le Kh\le K\frac bK\le b,
\end{split}
\]
tedy $[x,\vec y^{(k)}(x)]\in\I$.
\item Dokážeme stejnoměrnou konvergenci posloupnosti
$\vec y^{(k)}(x)\rightrightarrows\vec y(x)$ na množině $\la x_0-h,x_0+h\ra$ Platí, že
\[
\begin{split}
&\abs{y_j^{(k)}(x)-y_j^{(k-1)}(x)}=\\
&\quad=\abs{
\int_{x_0}^x f_j(t,y_1^{(k-1)}(t),\dots,y_n^{(k-1)}(t))\d t-
\int_{x_0}^x f_j(t,y_1^{(k-2)}(t),\dots,
y_n^{(k-2)}(t))\d t}\le\\
&\quad\le
\int_{x_0}^x\abs{f_j(t,y_1^{(k-1)}(t),\dots,
y_n^{(k-1)}(t))-
f_j(t,y_1^{(k-2)}(t),\dots,y_n^{(k-2)}(t))}\le\\
&\quad\le L
\int_{x_0}^x\left(
\sum_{i=1}^n\abs{y_i^{(k-1)}(t)-y_i^{(k-2)}(t)}
\right)\d t
\le
L\sum_{i=1}^n
\int_{x_0}^x\abs{
y_i^{(k-1)}(t)-y_i^{(k-2)}(t)
}\d t.
\end{split}
\]
Dále dokážeme matematickou indukcí nerovnost
\[
\abs{y_j^{(k)}(x)-y_j^{(k-1)}(x)}\le
KL^{k-1}\frac{n^{k-1}\abs{x-x_0}^k}{k!}.
\]
Pro $k=1$ vztah platí:
\[\abs{y_j^{(1)}(x)-y_{j0}}=
\abs{\,\int_{x_0}^xf_j(t,y_{10},\dots,y_{1n})\d t}\le
K\abs{x-x_0}.\]
Přechod $k-1\to k:$
\[
\begin{split}
\abs{y_j^{(k)}(x)-y_j^{(k-1)}(x)}&\le
L\sum_{i=1}^n
\int_{x_0}^x\abs{
y_i^{(k-1)}(t)-y_i^{(k-2)}(t)}\d t\le\\
&\le KL^{k-1}n^{k-1}\frac{1}{(k-1)!}
\underbrace{\int_{x_0}^x\abs{t-x_0}^{k-1}\d t}
_{\frac{\abs{x-x_0}^k}{k}}\le
\frac{K}{Ln}\frac{(Lnh)^k}{k!}.
\end{split}
\]
Posloupnost
\[y_j^{(k)}(x)=y_j^{(0)}+\sum_{l=1}^k\left(
y_j^{(l)}(x)-y_j^{(l-1)}(x)\right)\]
stejnoměrně konverguje k~nějaké funkci $y_j(x)$, neboť řada
\[\sum_{l=1}^k\left(y_j^{(l)}(x)-y_j^{(l-1)}(x)\right)\]
má konvergentní majorantu
\[
\frac{K}{Ln}\sum_{l=1}^\infty\frac{(Lnh)^l}{l!}=
\frac{K}{Ln}\left(e^{Lnh}-1\right).
\]
Označme
\[\vec y(x)=
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\\vdots\\y_n(x)
\end{pmatrix}.\]
Díky stejnoměrné konvergenci a spojitosti $y^{(k)}_j(x)$ jsou $y_j(x)$ spojité na $\la
x_0-h,x_0+h\ra$. Dále platí, že $[x,\vec y(x)]\in\I$ pro každé
$x\in\la x_0-h,x_0+h\ra$, neboť
\[\abs{y_j(x)-y_{j0}}=\lim_{k\to\infty}\abs{y_j^{(k)}-y_{j0}}\le b.\]
\item Protože funkce $\vec y^{(k)}\rightrightarrows\vec y(x)$ a $f_j(x,\vec y)$
jsou stejnoměrně spojité, pak také $f_j(x,\vec y^{(k)}(x))\rightrightarrows
f_j(x,\vec y(x))$.
\item Limitní funkce $y_j(x)$ splňují soustavu rovnic, neboť
\[y_j(x)=\lim_{k\to\infty} y_j^{(k)}(x)=
\lim_{k\to\infty}
\left[y_{j0}+\int_{x_0}^x f_j(t,\vec y^{(k-1)})\d t\right]=
y_{j0}+\int_{x_0}^x f_j(t,\vec y(t))\d t.\]
\end{enumerate}
Tím je existence řešení dokázána.
Jednoznačnost dokážeme \emph{sporem}. Předpokládejme řešení $\vec z(x)$ na\\
$\la\alpha,\beta\ra\subset\la x_0-h,x_0+h\ra$, přičemž
\[
\vec z(x_0)=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix}
\]
a nechť dále existuje $x_1\in\la\alpha,\beta\ra$ takové, že $\vec
z(x_1)\not=\vec y(x_1)$. Definujme
\[\chi(x)=\sum_{i=1}^n\abs{y_i(x)-z_i(x)}\]
pro $x\in\la\alpha,\beta\ra$. Zřejmě $\chi(x_0)=0$, $\chi(x_1)\not=0$,
předpokládejme $x_0<x_1$. Definujme dále
$x_2=\sup\{x\in\la x_0,x_1\ra|\chi(x)=0\}$. Zřejmě
$x_0\le x_2<x_1\le\beta\le x_0+h$. Dále platí
\[\abs{y_j(x_2)-y_{j0}}=\abs{\,\int_{x_0}^{x_2}f_j(t,\vec y(t))\d t}
\le K\abs{x_2-x_0}<Kh\le b.\]
Bod $[x_2,y_1(x_2),\dots,y_n(x_2)]=
[x_2,z_1(x_2),\dots,z_n(x_2)]$ leží {\bf uvnitř} intervalu $\I$, takže
\begin{enumerate}
\item Existuje $\delta>0$ takové, že $x_2+\delta<x_1$.
\item Pro $x\in\la x_2,x_2+\delta\ra$ je
$[x_2,z_1(x_2),\dots,z_n(x_2)]\in\I$.
\end{enumerate}
Zvolíme $\delta<\frac{1}{nL}$.
Definujme
\[A=\sup_{x\in\la x_2,x_2+\delta\ra}\chi(x)>0.\]
Pro $x\in\la x_2,x_2+\delta\ra$ dále platí
\[
\begin{split}
\abs{y_j(x)-z_j(x)}&=
\abs{\left(y_j(x_2)+\int_{x_2}^x f_j(t,\vec y(t))\d t\right)-
\left(z_j(x_2)+\int_{x_2}^x f_j(t,\vec z(t))\d t\right)}=\\
&=\abs{\,\int_{x_2}^x(f_j(t,\vec y(t))-f_j(t,\vec z(t)))\d t
}\le
\int_{x_2}^x\abs{f_j(t,\vec y(t))-f_j(t,\vec z(t))}\d t\le\\
&\le L\int_{x_2}^x\sum_{i=1}^n\abs{y_i(t)-z_i(t)}=
L\int_{x_2}^x\chi(t)\d t.
\end{split}
\]
\[\chi(x)=\sum_{i=1}^n\abs{y_j(x)-z_j(x)}\le nL
\int_{x_2}^x\chi(t)\d t\le nLA\delta,\]
tedy $A\le nLA\delta$, takže
\[\delta\ge\frac{1}{nL},\]
což je hledaný spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Nadále budeme předpokládat, že funkce $f_1,\dots,f_n$ jsou lokálně
lipschitzovské a spojité na $G\subset\R^{n+1}$.
\end{remark}
\begin{define}
Nechť $\vec\phi(x)$ je řešení systému $\vec y'=\vec f(x,y)$ na
intervalu $\I$. Řešení $\vec\psi(x)$ systému \eqref{normsyst} na
interval $\J$ se nazývá {\bf prodloužení řešení} $\phi$, platí-li
\begin{enumerate}
\item $\I\subset J$, $\I\not=\J$,
\item $\vec\psi(x)=\vec\phi(x)$ pro $x\in\I$.
\end{enumerate}
řešení, ke kterému neexistuje žádné prodloužení, se nazývá {\bf
neprodloužitelné (úplné)} a jeho graf se nazývá {\bf charakteristika}.
\index{charakteristika}
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f_j(x,y_1,y_2,\dots,y_n)$ pro $j=1,2,\dots,n$ jsou
spojité a lokálně lipschitzovské na oblasti $G\in\R^{n+1}$. Potom
platí:
\begin{enumerate}
\item Nechť bod $[x,y_{10},\dots,y_{n0}]\in G$. Pak existuje právě
jedno řešení
\[
\vec y(x)
\begin{pmatrix}
y_1(x)\\
\vdots\\
y_n(x)
\end{pmatrix}
\]
systému \eqref{normsyst}, které je neprodloužitelné a splňuje podmínky
\[
\vec y(x)
\begin{pmatrix}
y_{10}\\
\vdots\\
y_{n0}
\end{pmatrix},
\]
tj. každým bodem $G$ prochází právě jedna charakteristika.
\item Každé řešení systému \eqref{normsyst} je částí některé
charakteristiky.
\item Dvě charakteristiky systému \eqref{normsyst}, které mají
společný bod, jsou totožné.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zkonstruujeme řešení s~definičním oborem $\la x_0,B)$ neprodloužitelné
vpravo. Na intervalu $\la x_0-h,x_0+h\ra$ existuje řešení procházející
bodem $[x_0,y_0]$, existuje i řešení na $\la x_0,x_0+h\ra$. Na bod
$[x_0+h,\vec y(x_0+h)]$ opět aplikujeme větu o~existenci. Definujme
číslo $B=\sup M$, kde $M$ je množina všech $b$ takových, že na $\la
x_0,b)$ existuje řešení $\vec y(x)$ splňující počáteční podmínku
\[
\vec y(x_0)=
\begin{pmatrix}
y_{10}\\\vdots\\y_{n0}
\end{pmatrix}.
\]
Uvedeným postupem jsme získali posloupnost $b_1<b_2<\cdots$ takovou,
že $\lim_{i\to\infty}\beta_i=B$, $\vec y^{(i)}$ řeší rovnici na $\la
x_0,\beta_i)$. Potom pro $k<m$ platí, že $\vec y^{(k)}(x)=\vec
y^{(m)}(x)$ na $\la x_0,\beta_k)$. To dokážeme sporem. Předpokládejme,
že existuje $\xi\in\la x_0,\beta_k)$ takové, že $\vec
y^{(k)}(\xi)\not=\vec y^{(m)}(\xi)$. Buď dále $x_1=\sup\{x|\vec
y^{(k)}(x)=\vec y^{(m)}(x)\}$. Protože $\vec y^{(k)}(x_1)=\vec
y^{(m)}(x_1)$, bodem $[x_1,\vec y^{(k)}(x_1)]$ procházejí dvě
integrální křivky, což je spor.
Na intervalu $\la x_0,B)$ je řešením $\vec y(x)=\vec y^{(k)}$, kde
$x\in\la x_0,\beta_k)$. Neexistuje řešení na $\la x_0,B_1)$, kde
$B_1>B$ protože $B$ je supremum. Analogicky se dokáže tvrzení pro směr
doleva.
Uvažujme řešení $\vec z(x)$ na $(\alpha,\beta)$, které se shoduje s
$\vec y$ v~$x_1\in(\alpha,\beta)$. Pak
\begin{enumerate}
\item $(\alpha,\beta)\subset(A,B)$,
\item $\vec z(x)=\vec y(x)$ pro $x\in(\alpha,\beta)$.
\end{enumerate}
Buď $(\gamma,\delta)=(A,B)\cap(\alpha,\beta)$. Potom $\vec z(x)=\vec
y(x)$ pro $x\in(\gamma,\delta)$. Nechť pro $\xi\in(\alpha,\beta)$ je
$\vec y(\xi)\not=\vec z(\xi)$. Buď $x_2=\sup\{x|\vec z(x)=\vec
y(x)\}$, potom určitě $\alpha\le x_2<\xi$, $\vec z(x_2)=\vec y(x_2)$
(díky spojitosti).
Dokážeme, že $\gamma=\alpha$, $\delta=\beta$. Předpokládejme, že
$x_1<\delta=B<\beta$.
\begin{enumerate}
\item Při volbě počáteční podmínky $x_0=x_1$ dostáváme spor s~definicí
$B=\sup b$.
\item $x_0>x_1$ $x_1<x_0<\delta=B<\beta$ opět spor s $B=\sup b$.
\item Je-li $x_0<x_1$, zkonstruujeme řešení
\[
\vec Y(x)=\begin{cases}
\vec y(x)&x\in\la x_0,x_1\ra\\
\vec z(x)&x\in\la x_1,\beta).
\end{cases}
\]
To splňuje počáteční podmínku a opět dostáváme spor.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f(x,y_1,\dots,y_n)$, $j=1,\dots,n$ mají na oblasti
$G\subset\R^{n+1}$ spojité derivace podle všech proměnných do řádu
$p$ ($p\in\No$). Pak všechna řešení systému \eqref{normsyst} mají
spojité derivace podle $x$ do řádu $p+1$.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f(x,y_1,\dots,y_n)$ jsou spojité a omezené na oblasti
$G\subset\R^{n+1}$ a nechť každým bodem $[x_0,\vec y^{(0)}]\in G$
prochází právě jedna charakteristika systému \eqref{normsyst}. Nechť
$\vec y(x)$ je řešení systému na $\la\alpha,\beta\ra$,
$x_0\in\la\alpha,\beta\ra$ a $\vec y(x_0)=\vec y^{(0)}$. Potom toto
řešení závisí spojitě na pravé straně $\vec f(x,y)$ a bodu $[x_0,\vec
y^{(0)}]$.
To je: Nechť bodem $[x_0,\vec y^{(0)}]$ prochází graf řešení $\vec
y(x)$ s~definičním oborem $\la\alpha,\beta\ra$
($\alpha<x_0<\beta$). Pak pro libovolné $\epsilon>0$ existuje
$\delta>0$ tak, že pro každý bod $\left[\hat{x_0},\vec{\hat
y}^{(0)}\right]$ a každou funkci $f$ takové, že $\abs{\hat
x_0-x_0}<\delta$, $\norm{\vec{\hat y}^{(0)}-\vec
y^{(0)}}_{\mathrm{II}}<\delta$, $\abs{\vec{\hat{f_j}}(x,\vec
y)-\vec{f_j}(x,\vec y)}<\delta$ pro $j\in\hat n$ a $[x,\vec y]\in G$
(přičemž $\vec f(x,y)$ je spojitá na $G$) lze každé řešení $\hat y(x)$
rovnice $\vec y=\vec{\hat f}(x,\vec y)$ splňující $\vec
y(\hat{x_0})=\hat y^{(0)}$ prodloužit na $\la\alpha,\beta\ra$ a platí
$\norm{\vec{\hat y}(x)-\vec y(x)}_{\mathrm{II}}<\epsilon$ pro
$x\in\la\alpha,\beta\ra$.
\end{theorem}
