Součásti dokumentu 01DIFR
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Řešení některých speciálních rovnic 1. řádu}
\subsection{Řešení rovnice $y'=f(x,y)$}
Rovnici tvaru $y'=f(x,y)$ nazýváme rovnicí ve tvaru vyřešeném vzhledem
k~1.~derivaci. Křivku $f(x,y)=c$ nazýváme {\bf isoklina}.\index{křivka, isoklina}
\subsection{Rovnice se separovanými proměnnými}
\index{rovnice diferenciální, separovaná}
Rovnicí se separovanými proměnnými rozumíme rovnici tvaru
\begin{equation}
\label{ode_sep}
P(x)+Q(y)y'=0,
\end{equation}
kde $P(x)$ a $Q(y)$ jsou spojité funkce jedné reálné proměnné.
\begin{theorem}
Nechť $P(x)$ je spojitá na intervalu $\I=(a,b)$ a $Q(y)$ spojitá na
intervalu $\K=(c,d)$. Potom
\begin{enumerate}
\item každé řešení rovnice \eqref{ode_sep} na intervalu
$\I_1\subset\I$ splňuje rovnici
\begin{equation}
\label{ode_sep2}
\int P(x)\d x+\int Q(y)\d y=C
\end{equation}
pro nějaké $C$.
\item Každá funkce implicitně definovaná vztahem \eqref{ode_sep2} při
libovolném $C$ na intervalu $\I_2\subset\I$, která má na intervalu
$\I_2$ derivaci, je řešením \eqref{ode_sep}.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$ Integrováním rovnice a substitucí $y=u(x)$
okamžitě dostáváme
\[C=\int (P(x)+Q(u(x))u'(x))\d x=\int P(x)\d x+\int Q(y)\d y.\]
\item $(\Leftarrow)$ Buď $F'(x)=P(x)$, $G'(y)=Q(y)$, nechť platí
$F(x)+G(y)=C$, $F(x)+G(z(x))=C$. Potom pro derivaci musí platit
$$P(x)+Q(z(x))z'(x)=0$$.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $P(x)$ je spojitá na $(a,b)$, $Q(y)$ spojitá na $(c,d)$, nechť
$Q(y)\not=0$ pro $y\in(c,d)$. Potom každým bodem oblasti
$(a,b)\times(c,d)$ prochází právě jedna integrální křivka rovnice
\eqref{ode_sep} (tj. je-li $[x_0,y_0]\in(a,b)\times(c,d)$ existuje
právě jedno řešení \eqref{ode_sep} splňující rovnici $y(x_0)=x_0$).
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buďte $F'(x)=P(x)$, $G'(y)=Q(y)$, nechť funkce $y(x)$ vyhovuje
rovnici $F(x)+G(y(x))=C$. Současně musí platit $F(x_0)+G(y_0)=C$,
celkem tedy musí $y(x)$ splňovat rovnici
$F(x)+G(y(x))=F(x_0)+G(y_0)$. Díky spojitosti parciálních derivací lze
$y(x)$ z~této rovnice explicitně vyjádřit.
\item Buďte $y_1(x),y_2(x)$, $y_1(x_0)=y_2(x_0)=y_0$ různá řešení
\eqref{ode_sep} na $(\alpha,\beta)\ni x_0$. Potom musí platit
\[P(x)+Q(y_1(x))y_1'(x)=P(x)+Q(y_2(x))y_2'(x),\]
\[\frac{\d}{\d x}G(y_1(x))=\frac{\d}{\d x}G(y_2(x)),\]
tedy $G(y_1(x))=G(y_2(x))+C$. Protože tato rovnice musí platit i~pro
$x=x_0$, jedinou možnou hodnotou $C$ je $C=0$. Protože $Q$ je spojitá
a $Q(x)\not=0$, je $G$ prostá, tudíž $y_1(x)=y_2(x)$, což je spor.\qed
\end{enumerate}
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Separovatelné rovnice}
\index{rovnice diferenciální, separovatelná}
Separovatelnou rovnicí rozumíme rovnici tvaru
\[P_1(x)P_2(y)+Q_1(x)Q_2(y)y'=0,\]
kde $P_1,Q_1$ jsou spojité na $(a,b)$ a $P_2,Q_2$ jsou spojité na
$(c,d)$. Za předpokladu $Q_1(x)P_2(y)\not=0$ lze tuto rovnici převést
na rovnici tvaru
\[\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{Q_2(y)}{P_2(y)}y'=0.\]
Označme $a_1,a_2,\dots,a_m\in(a,b)$ a $b_1,b_2,\dots,b_n\in(c,d)$
nulové body $Q_1$ resp. $P_2$. Řešením původní rovnice jsou
i~konstantní křivky $y=b_i$ na $(a,b)$.
Při určování definičního oboru je nutné ověřit případné průsečíky s~konstantami.
\subsection{Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu}
\index{rovnice diferenciální, homogenní 1. řádu }
\begin{define}
Funkce $n$ reálných proměnných $F(x_1,x_2,\dots,x_n)$ se nazývá {\bf
homogenní stupně $k$}, platí-li, že
\[F(tx_1,tx_2,\dots,tx_n)=t^k F(x_1,x_2,\dots,x_n).\]
\end{define}
\index{funkce, homogenní stupně $k$}
Rovnici
\begin{equation}
\label{homog1}
P(x,y)+Q(x,y)y'=0,
\end{equation}
kde $P,Q$ jsou homogenní funkce stejného stupně $k$ nazýváme {\bf
homogenní rovnicí stupně $k$}. K~řešení vede substituce $y=xu$, kde
$u$ je nová neznámá funkce. Ta převede původní rovnici na rovnici
\[P(x,xu)+Q(x,xu)(u+xu')=0,\]
\[x^k[P(1,u)+Q(1,u)(u+xu')]=0,\]
která je separovatelná.
\begin{theorem}
Nechť $0\not\in M\subset\R$. Je-li $u(x)$ řešení rovnice
\begin{equation}
\label{homog2}
P(1,u)+Q(1,u)u+xQ(1,u)u'=0,
\end{equation}
je $y(x)=xu(x)$ řešením rovnice \eqref{homog1}. Je-li $y$ řešením
rovnice \eqref{homog1} na $M$, existuje $u(x)$, které je řešením
\eqref{homog2} na $M$ tak, že $y(x)=xu(x)$.
\end{theorem}
\begin{remark}
\index{rovnice diferenciální, kvazihomogenní}
Zavádí se také {\bf zobecněné homogenní (kvazihomogenní) rovnice}.
Ty se řeší substitucí $y = x^\alpha\cdot u$ pro $\alpha\in \R$. Této substituce je možné využít,
pokud lze po substituci vytknout $x$ z každého členu diferenciální rovnice ve stejné mocnině.
\end{remark}
% dodělat zobecněně homogenní rovnice
\subsection{Rovnice tvaru $y'=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right)$}
U~rovnice tvaru
\begin{equation}
\label{rac1}
y'=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right)
\end{equation}
rozlišíme následující případy:
\begin{enumerate}
\item $\alpha=\beta=a=b=0$: Potom
\[y'=f\left(\frac{c}{\gamma}\right),\]
tedy
\[y=f\left(\frac{c}{\gamma}\right)x+C.\]
\item $b=\beta=0$: Potom
\[y'=f\left(\frac{ax+c}{\alpha x+\gamma}\right),\]
\[y(x)=\int f\left(\frac{ax+c}{\alpha x+\gamma}\right)+C.\]
\item $c=\gamma=0$:
\[y'=f\left(\frac{ax+by}{\alpha x+\beta y}\right),\]
tato rovnice je homogenní.
\item Neplatí $b=\beta=0$, ale je
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
\alpha & \beta
\end{vmatrix}=0.\]
Buď $b\not=0$, pak $a\beta-\alpha b=0$ a $\alpha=\frac{\beta}b a$ a
rovnici upravíme na tvar
\[y'=f\left(
\frac{ax+by+c}{\frac{\beta}{b}(ax+by)+\gamma}
\right)\]
a dále na
\begin{equation}
\label{rac2}
z'=a+bf\left(\frac{z+c}{\frac{\beta}{b}z+\gamma}\right).
\end{equation}
Funkce $y(x)$ je řešením \eqref{rac1} na množině $M$, právě když
$z(x)=ax+by(x)$ je řešením \eqref{rac2}.
\item Platí, že
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
\alpha & \beta
\end{vmatrix}\not=0.\]
Vyřešíme soustavu rovnic
\begin{align*}
ax_0+by_0+c&=0\\
\alpha x_0+\beta y_0+\gamma&=0
\end{align*}
a zavedeme substituci
\begin{align*}
u&=x-x_0 & x&=x_0+u\\
v&=y-y_0 & y&=y_0+v.
\end{align*}
Platí
\[v(u)=y(x)-y_0=y(x_0+u)-y_0\implies y(x)=v(x-x_0)+y_0.\]
Substitucí dostaneme
\begin{equation}\label{rac3}
\begin{split}
v'&=y'=f\left(
\frac{a(x_0+u)+b(y_0+v)+c}{\alpha(x_0+u)+\beta(y_0+v)+\gamma}
\right)=\\
&=f\left(
\frac{au+bv+ax_0+by_0+c}{\alpha u+\beta v+
\alpha x_0+\beta y_0+\gamma}
\right)=
f\left(
\frac{au+bv}{\alpha u+\beta v}
\right).
\end{split}
\end{equation}
Je-li $v(u)$ řešením rovnice \eqref{rac3}, pak $y(x)=y_0+v(x-x_0)$ je
řešením rovnice \eqref{rac1} a naopak ke každému řešení $y(x)$ rovnice
\eqref{rac1} lze nalézt řešení \eqref{rac3} tak, že daný vztah platí.
\end{enumerate}
\subsection{Lineární diferenciální rovnice 1. řádu}
Rovnice tvaru
\begin{equation}
\label{linrov1}
y'+p(x)y=q(x),
\end{equation}
kde $p(x)$ a $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$.
\index{rovnice diferenciální, lineární 1. řádu}
\begin{enumerate}
\item Řešení rovnice bez pravé strany: Mějme rovnici
$y'+p(x)y=0$. Tuto rovnici zřejmě řeší $y(x)=0$ pro každé $x$. Po
vydělení $y$ (předpokládáme $y\not=0$) dostaneme
\[\frac{y'}{y}+p(x)=0,\]
což je ekvivalentní s~rovnicí
\[\ln\abs{y}+\int p(x)\d x=\ln K.\]
Po odlogaritmování dostaneme
\[y=Ce^{-\int p(x)\d x},\quad C\in\R\]
což je {\bf obecné řešení rovnice bez pravé strany} pro každé $C$.
\begin{theorem}
Je-li $p(x)$ spojitá na $(a,b)$, prochází každým bodem
$[x_0,y_0]\in(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ právě jedna integrální
křivka rovnice $y'+p(x)y=0$, která je řešením rovnice na celém
$(a,b)$.
\begin{proof}
Obecné řešení má tvar
\[y=Ce^{-\int_{x_0}^xp(x)\d x},\]
bodem $[x_0,y_0]$ prochází pouze
\[y=y_0 e^{-\int_{x_0}^xp(x)\d x}.\]
Osou $x$ prochází právě $y=0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\index{metoda, variace konstant}
\item Metoda variace konstanty: Předpokládejme, že $C$ závisí na $x$
\[y=C(x)e^{-\int p(x)\d x},\]
tedy
\[C(x)=y(x)e^{\int p(x)\d x}.\]
Dosazením za $y$ do \eqref{linrov1} obdržíme
\[\underbrace{C'(x)e^{-\int p(x)\d x}-C(x)e^{-\int p(x)\d x}p(x)}
_{y'}+
p(x)\underbrace{C(x)e^{-\int p(x)\d x}}_{y}=q(x),\]
po úpravě
\[C'(x)e^{-\int p(x)\d x}=q(x),\]
\[C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C.\]
Obecné řešení rovnice s~pravou stranou je
\[y(x)=\left[\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C\right]e^{-\int p(x)\d x}.\]
\begin{theorem}
Nechť $p(x)$, $q(y)$ jsou funkce spojité na $(a,b)$. Potom pro
libovolné $C$ je funkce
\begin{equation}
\label{varkonst}
y(x)=\left[\int q(x)e^{\int p(x)\d x}+C\right]
e^{-\int p(x)\d x}
\end{equation}
řešením rovnice $y'+p(x)y=q(x)$ na $(a,b)$. Každým bodem $[x_0,y_0]\in
(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ prochází právě jedna integrální křivka,
která je řešením na $(a,b)$ a je popsána rovnicí tvaru
\eqref{varkonst} pro vhodnou volbu $C$.
\end{theorem}
\end{enumerate}
\begin{theorem}
Obecné řešení lineární diferenciální rovnice s~pravou stranou je
součtem obecného (homogenního) \index{řešení, homogenní} řešení rovnice bez pravé strany a libovolného pevně
zvoleného řešení rovnice s~pravou stranou (partikulárního řešení).\index{řešení, partikulární}
\end{theorem}
\subsection{Bernoulliho rovnice}
Rovnice tvaru
\begin{equation}
\label{bern1}
y'+p(x)y=q(x)y^\alpha,
\end{equation}
\index{rovnice diferenciální, Bernoulliho}
kde $p(x)$, $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$, $\alpha\in\R$.
Pokud je $\alpha=0$ nebo $\alpha=1$, je to lineární rovnice prvního
řádu. Jinak opět $y=0$ triviálně řeší, za předpokladu $y\not=0$ můžeme
rovnici upravit na
\[\frac{y'}{y^\alpha}+p(x)y^{1-\alpha}=q(x),\]
dále substitucí $z=y^{1-\alpha}$, $z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$ na
\[\frac{z'}{1-\alpha}+p(x)z=q(x)\]
a
\begin{equation}
\label{bern2}
z'+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x).
\end{equation}
\begin{theorem}
Nechť $\alpha\not=0,1$. Nechť $p(x)$, $q(x)$ jsou spojité na $(a,b)$,
$q(x)$ není na $(a,b)$ identická $0$. nechť $z(x)$ je řešením
\eqref{bern2} na $(a,b)$. Pak každá funkce $y(x)$ splňující na
intervalu $\I\subset(a,b)$ rovnici $y^{1-\alpha}(x)=z(x)$ a taková, že
na svém definičním oboru je $y(x)\not=0$ a existuje $y'(x)$ na $\I$ je
řešením \eqref{bern1} na $\I$.
Naopak nechť $y(x)$ je řešení \eqref{bern1} na $\I\subset(a,b)$ a
$y(x)\not=0$ na $\I$. Pak existuje řešení $z(x)$ rovnice \eqref{bern2}
na $\I$ takové, že $y^{1-\alpha}(x)=z(x)$.
\end{theorem}
\subsection{Riccatiho rovnice}
\begin{equation}
\label{ricc}
y'=a_0(x)+a_1(x)y+a_2(x)y^2,
\end{equation}
\index{rovnice diferenciální, Riccatiho}
kde $a_0,a_1,a_2$ jsou spojité funkce na $(a,b)$.
Je-li $a_0\equiv 0$, je to Bernoulliho rovnice, je-li $a_2\equiv 0$,
je to lineární rovnice.
\begin{enumerate}
\item Substituce $x=\phi(t)$, kde $\phi$ má spojité derivace na $(c,d)$,
$\phi(c,c)\subset(a,b)$, {\bf nezabere},
\[\frac{\d y}{\d t}=\frac{\d y}{\d x}\phi'(t)=a_0(\phi(t))\phi'(t)+
a_1(\phi(t))\phi'(t)y+a_2(\phi(t))\phi'(t)y^2\]
protože dostaneme jenom novou Riccatiho rovnici.
\item Substituce
\[y=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta},\]
kde $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ mají spojité derivace na
$(c,d)\subset(a,b)$ a je
\[
\begin{vmatrix}
\alpha & \beta\\ \gamma & \delta
\end{vmatrix}\not= 0
\]
také nezabere.
\[
\begin{split}
\frac{\d y}{\d x}&=\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}
[(\alpha z'+\alpha' z+\beta')(\gamma z+\delta)-
(z'\gamma+\gamma' z+\delta')(\alpha z+\beta)]=\\
&=\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}
[(\alpha\delta-\gamma\beta)z'+(\alpha'\gamma-\gamma'\alpha)z^2+\\
&\quad+(\alpha'\delta+\beta'\gamma-\gamma'\beta-\delta'\alpha)z+
(\beta'\delta-\delta'\beta)]
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
a_0(x)+a_1(x)y+a_2(x)y^2&=
\frac{1}{(\gamma z+\delta)^2}
[a_0(\gamma z+\delta)^2+a_1(\gamma z+\delta)(\alpha z+\beta)+\\
&\quad+a_2(\alpha z+\beta)^2].
\end{split}
\]
Abychom se v~nové rovnici zbavili $z^2$, musí platit
\[\alpha'\gamma-\gamma'\alpha-a_0\gamma^2-a_2\alpha^2
-a_1\gamma\alpha=0,\]
\[\frac{\alpha'\gamma-\gamma'\alpha}{\gamma^2}-a_0-
a_2\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)^2-a_1\frac{\alpha}{\gamma}=0,\]
\[\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)'-a_0-
a_2\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)^2-a_1\frac{\alpha}{\gamma}=0.\]
Dostali jsme opět pouze jinou Riccatiho rovnici.
\item Kanonický tvar Riccatiho rovnice: U~$y^2$ je koeficient $\pm 1$
a $y$ v~rovnici nevystupuje. Prvního lze dosáhnout substitucí
\[y=\omega(x)z,\]
\[\omega z'+z\omega'=a_0+a_1\omega z+a_2\omega^2z^2,\]
\[z'=\frac{a_0}{\omega}+\left(a_1-\frac{\omega'}{\omega}\right)z+
a_2\omega z^2,\]
z~čehož dostáváme podmínku pro $\omega(x)$
\[\omega=\pm\frac{1}{a_2(x)}.\]
Nulového koeficientu u~$y$ dosáhneme substitucí $y=u+\alpha$, tím
rovnice přejde na
\[u'=[a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2-\alpha']+(a_1+2a_2\alpha)+a_2u^2,\]
tedy $\alpha$ musí být
\[\alpha(x)=-\frac{a_1(x)}{2a_2(x)}.\]
\item Známe-li jedno řešení $y_1(x)$ na $(a,b)$, umíme najít
zbývající. Buď $y_1(x)$ řešení Riccatiho rovnice
\[y_1'(x)=a_0(x)+a_1(x)y_1(x)+a_2(x)y_1^2(x).\]
Zavedeme substituci
\[u(x)=\frac{1}{y(x)-y_1(x)},\]
za předpokladu $u(x)\not=0$ je
\[y(x)=y_1(x)+\frac{1}{u(x)}.\]
Po dosazení dostaneme
\[\begin{split}
y'&=y_1'-\frac{u'}{u^2}=a_0+a_1\left(y_1+\frac{1}{u}\right)+
a_2\left(y_1+\frac1u\right)^2=\\
&=a_0+a_1y_1+a_2y_1^2+\frac{a_1}{u}+\frac{2a_2y_1}{u}+\frac{a_2}{u^2}
\end{split},\]
takže
\[u'+(a_1+2a_2y_1)u+a_2=0.\]
Tím jsme Riccatiho rovnici převedli na lineární diferenciální rovnici
prvního řádu.
\item Vztah Riccatiho rovnice a lineární diferenciální rovnice
2.~řádu.
Uvažujme lineární diferenciální rovnici 2.~řádu
\[p_0(x)y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=r(x),\quad p_0(x)\not=0.\]
Buďte $a_0,a_1,a_2,a_2'$ spojité na $(a,b)$, $a_2(x)\not=0$,
$y(x)$ řešení Riccatiho rovnice na
$(\alpha,\beta)\subset(a,b)$. Zavedeme substituci
\[u(x)=e^{-\int a_2(x)y(x)\d x},\]
\[u'(x)=-a_2(x)y(x)u(x).\]
Z~této rovnice vyjádříme $y$
\[y(x)=\frac{-u'(x)}{a_2(x)u(x)}\]
a derivováním výrazu
\[\frac{u'}{u}=-a_2y\]
dostaneme
\[\frac{u'u-u'^2}{u^2}=-a_2'y-a_2y'.\]
Vynásobíme to $u^2$
\[u''u-u'^2=(-a_2'y-a_2y')u^2,\]
dosadíme za $y'$
\[u''u-u'^2=[-a_2'y-a_2(a_0+a_1y+a_2y^2)]u^2,\]
dosadíme $u'(x)=-a_2(x)y(x)u(x)$, vynásobíme $a_2/u$
\[u''u=-a_2'yu^2-a_2a_0u^2-a_2a_1yu^2,\]
\[a_2u''=-a_2'a_2yu-a_2^2a_0u-a_2^2a_1yu,\]
dosadíme za $y$
\[a_2u''=a_2'u'-a_2^2a_0u+a_2a_1u'.\]
Řešení Riccatiho rovnice vyhovuje lineární diferenciální rovnici
2.~stupně
\begin{equation}
\label{ricc2}
a_2u''-[a_2'+a_1a_2]u'+a_2^2a_0u=0.
\end{equation}
\begin{theorem}
Nechť $a_0(x),a_1(x),a_2(x),a_2'(x)$ jsou spojité na $(a,b)$. Nechť
$y(x)$ řeší \eqref{ricc}. Potom funkce
\[u(x)=e^{-\int a_2(x)y(x)\d x}\]
je řešením \eqref{ricc2} na $(\alpha,\beta)$. Naopak, nechť $u(x)$ je
řešením \eqref{ricc2} na $(\gamma,\delta)\subset(a,b)$ a $u(x)\not=0$,
$a_2(x)\not=0$ pro $x\in(\gamma,\delta)$. Potom
\[y(x)=-\frac{u'(x)}{a_2(x)u(x)}\]
je řešením \eqref{ricc} na $(\gamma,\delta)$.
\end{theorem}
\item Speciální Riccatiho rovnice:
\index{rovnice diferenciální, speciální Riccatiho}
\[y'+ay^2=bx^\alpha,\]
kde $a,b\not=0$ jsou konstanty, $\alpha\in\R$. Pro $\alpha=0$ je to
separovatelná rovnice, pro $\alpha=-2$ dostaneme po substituci
\[y(x)=\frac{1}{u(x)}\]
\[-\frac{u'}{u^2}+\frac{a}{u^2}=\frac{b}{x^2}\]
homogenní rovnici
\[u'=a-b\left(\frac{u}{x}\right)^2.\]
Jinak zavedeme substituci
\[y=u(x)z+v(x)\]
\[u'z+uz'+v'+a(u^2z^2+2uvz+v^2)=bx^\alpha\]
\[uz'+(u'+2auv)z+(v'+av^2)+au^2z^2=bx^\alpha.\]
Položme $v'+av^2=0$ a $u'+2auv=0$. Potom
\[-\frac{v'}{v^2}=a\implies v(x)=\frac{1}{ax}\]
\[u'+2auv=u'+\frac{2u}{x}=0\implies u(x)=\frac1{x^2}\]
Zavedeme tedy substituci
\[y=\frac{z}{x^2}+\frac1{ax}.\]
Dostaneme
\[\frac{z'}{x^2}+a\frac1{x^4}z^2=bx^\alpha,\]
\[z'+\frac{a}{x^2}z^2=bx^{\alpha+2}.\]
Za $z$ dosadíme
\[z=\frac1{z_1},\]
\[-\frac{z_1'}{z_1^2}+\frac{a}{x^2z_1^2}=bx^{\alpha+2},\]
to vynásobíme $z_1^2$
\[z_1'+bx^{\alpha+2}z_1^2=\frac{a}{x^2}.\]
Rovnici přetransformujeme do nové proměnné $x_1=x^{\alpha+3}$,
$x=x_1^\frac{1}{\alpha+3}$, za předpokladu $\alpha\not=-3$, $x>0$. Pro
derivace platí
\[\frac{\d}{\d x}=(\alpha+3)x^{\alpha+2}\frac{\d}{\d x_1},\quad
\frac{\d}{\d x_1}=\frac1{(\alpha+3)x^{\alpha+2}}\frac{\d}{\d x},\]
původní rovnici upravíme na
\[\frac{z_1'}{x^{\alpha+2}}+bz_1^2=\frac{a}{x^{\alpha+4}}\]
a po transformaci obdržíme
\[(\alpha+3)\frac{\d z_1}{\d x_1}+bz_1^2=
ax_1^{-\frac{\alpha+4}{\alpha+3}}.\]
Po úpravě máme novou Riccatiho rovnici, ale s~jiným $\alpha$.
\[\frac{\d z_1}{\d x_1}+\frac{b}{\alpha+3}z_1^2=
\frac{a}{\alpha+3}x_1^{\alpha_1},\]
kde
\[\alpha_1=-\frac{\alpha+4}{\alpha+3}.\]
%\[y'+ay^2=bx^\alpha\]
Chceme dojít k~$\alpha_1=-2$ nebo $\alpha_1=0$. Pro $\alpha_1=-2$ je
$\alpha=-2$, pro $\alpha_1=0$ je $\alpha=-4$. Napíšeme rekurentní vztah
\[\alpha_k=-\frac{\alpha_{k-1}+4}{\alpha_{k-1}+3}\]
\[\alpha_k+2=-\frac{\alpha_{k-1}+4}{\alpha_{k-1}+3}+
2\frac{\alpha_{k-1}+3}{\alpha_{k-1}+3}=
\frac{\alpha_{k-1}+2}{\alpha_{k-1}+3}\]
\[\frac{1}{\alpha_k+2}=\frac{\alpha_{k-1}+3}{\alpha_{k-1}+2}=
1+\frac{1}{\alpha_{k-1}+2}=k+\frac{1}{\alpha+2}.\]
Pro $\alpha_k=0$
($\alpha_k=-2$ nemá význam, protože se nikam nehnu) dostaneme
\[\frac12=\frac{1}{\alpha+2}+k\implies
\alpha=\frac{-4k}{2k-1},\]
kde $k=0,1,2,\dots$. Pokud zvolíme opačný směr rekurze
\[\frac{1}{\alpha+2}=k+\frac{1}{\alpha_{-k}+2},\]
dostaneme
\[\alpha=\frac{-4k}{2k+1},\]
kde $k=1,2,\dots$. Celkem tedy můžeme nalézt řešení pro
\[\alpha=\frac{-4k}{2k-1},\]
kde $k\in\Z$. Lze dokázat, že pro jiná $\alpha$ to nejde. Kromě toho
lze řešení této rovnice převést na tvar $y''+qx^\alpha y=0$, kde $q$
je konstanta.
\end{enumerate}
\subsection{Diferenciální rovnice tvaru $x=f(y')$ resp. $y=g(y')$}
\begin{enumerate}
\item Rovnice typu $x=f(y')$. Rovnici parametrizujeme $y'=t$,
$x=f(t)$. Potom po substituci $\d x=f'(t)\d t$ dostaneme
\[y=\int y'\d x+C=\int t\d x+C=\int t f'(t)\d t=
\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+C.\]
\begin{theorem}
Nechť funkce $f(t)$ má v~intervalu $(t_1,t_2)$ spojitou kladnou
(resp. zápornou) derivaci, nechť
\begin{align*}
a&=\inf_{t\in(t_1,t_2)} f(t)&
b&=\sup_{t\in(t_1,t_2)} f(t)
\end{align*}
(resp. $a=-\infty$ pro $f$ neomezenou zdola, $b=+\infty$ pro $f$
neomezenou shora). Pak každým bodem
$[x_0,y_0]\in(a,b)\times(-\infty,+\infty)$ prochází právě jedna
integrální křivka rovnice $x=f(y')$, jejíž tečna má směrnici
z~intervalu $(t_1,t_2)$ a je řešením rovnice na celém
$(a,b)$. Parametrické rovnice této křivky jsou
\begin{align*}
x&=f(t)\\
y&=\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+y_0,
\end{align*}
kde $t\in(t_1,t_2)$. Platí, že $f(t_0)=x_0$.
\begin{proof}
Protože funkce $f$ je prostá, rovnici $x=f(y')$ lze převést na tvar
$y'=f^{-1}(x)$, což je rovnice se separovatelnými proměnnými. Z~toho
okamžitě plyne existence a jednoznačnost řešení.
Integrováním a použitím počátečních podmínek dostaneme
\[y(x)=\int f^{-1}(x)\d x+C=\int_{x_0}^x f^{-1}(\xi)\d\xi+y_0.\]
Položením $x=f(t)$, $x_0=f(t_0)$ a po substituci $x=f(\tau)$, $\d
x=f'(\tau)\d t$ máme
\[y=\int_{f(t_0)}^{f(t)} f^{-1}(\xi)\d\xi+y_0=
\int_{t_0}^t\tau f'(\tau)\d\tau+y_0.\qed\]
\noqed
\end{proof}
\end{theorem}
\item Rovnice typu $y=g(y')$. Parametrizace $y'=t$, $y=g(t)$.
\[x=\int\frac{\dx}{\dy}\d y+C=\int\frac{1}{t}g'(t)\d t+C=
\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau+x_0.\]
\begin{theorem}
Nechť funkce $g(t)$ má na intervalu $(t_1,t_2)$ spojitou kladnou
(resp. zápornou) derivaci. Nechť $0\not\in(t_1,t_2)$. Označme
\begin{align*}
\alpha&=\inf_{t\in(t_1,t_2)} g(t) &
\beta&=\sup_{t\in(t_1,t_2)} g(t)
\end{align*}
(resp. $\alpha=-\infty$, resp. $\beta=+\infty$). Potom každým bodem
$[x_0,y_0]\in(-\infty,+\infty)\times(\alpha,\beta)$ prochází právě
jedna integrální křivka, která je řešením rovnice na intervalu
$(a,b)$, kde
\begin{align*}
a&=x_0+\inf_{t\in(t_1,t_2)}\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau,&
b&=x_0+\sup_{t\in(t_1,t_2)}\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau,
\end{align*}
přičemž $t_0$ je definováno vztahem $y_0=g(t_0)$. Parametrické rovnice
křivky jsou:
\begin{align*}
x&=x_0+\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau\\
y&=g(t)+y_0,
\end{align*}
kde $t\in(t_1,t_2)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Funkce $g$ je prostá, tudíž existuje inverzní funkce $g^{-1}$, tedy
$y'=g^{-1}(y)$ a pokud $y'\neq 0$
\[\frac{y'}{g^{-1}(y)}=1.\]
To je rovnice se separovanými proměnnými, z~čehož plyne existence a
jednoznačnost řešení.
Integrací a z~počátečních podmínek dostaneme
\[x=\int\frac{\d y}{g^{-1}(y)}+C=
x_0+\int_{y_0}^y\frac{\d\eta}{g^{-1}(\eta)}.\]
Dosadíme $y=g(t)$, $y_0=g(t_0)$ a zavedeme substituci $\eta=g(\tau)$,
$\d\eta=g'(\tau)\d\tau$.
\[x=x_0+\int_{g(t_0)}^{g(t)}\frac{\d\eta}{g^{-1}(\eta)}=x_0+\int_{t_0}^t\frac{g'(\tau)}{\tau}\d\tau.\qed\]
\noqed
Na závěr se musí vyšetřit případ, kdy $y' = 0$ a to je
tehdy když $y_0 = g(0)$, takže je to konstantní řešení.
\end{proof}
\end{enumerate}
