Součásti dokumentu 01DIFR
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR}
\section{Úvod}
Obyčejná diferenciální rovnice $n$-tého řádu je každá rovnice tvaru
\begin{equation}
\label{ode}
F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0,
\end{equation}
\index{rovnice, diferenciální}
kde $F$ je funkce $n+2$ proměnných taková, že $y^{(n)}$ ve funkčním
předpisu skutečně vystupuje.
\begin{define}
{\bf Řešením (integrálem)} \index{řešení diferenciální rovnice} diferenciální rovnice na neprázdné množině
$M\subset\R$ se nazývá každá funkce $f(x)$, která má na $M$ $n$
derivací a platí: $F(x,f(x),f'(x),\dots,f^{(n)}(x))=0$ pro každé $x\in
M$.
\end{define}
\begin{define}
{\bf Integrální křivkou} \index{křivka, integrální} se nazývá graf řešení.
\end{define}
\begin{uloha}
Hledejte řešení rovnice \eqref{ode}, které v~bodě $x_0$ splňuje zadané
podmínky:
\begin{enumerate}
\item $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0',\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$
--- tzv. Cauchyova (počáteční) úloha.\index{počáteční úloha, Cauchyova}
\item Okrajová úloha: Řešení se hledá na intervalu $\la a,b\ra$;\index{počáteční úloha, okrajová}
hodnoty řešení a derivací splňují v~okrajových bodech zadané podmínky.
\end{enumerate}
\end{uloha}
\begin{define}
Říkáme, že bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální křivka
dané rovnice 1. řádu, právě když existuje interval $\I$, obsahující
$x_0$ uvnitř tak, že všechna řešení rovnice na množinách $M$
obsahujících interval $\I$ a procházejících bodem $[x_0,y_0]$ na
intervalu $\I$ splývají.
\end{define}
\begin{define}
Řekneme, že daným bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální
křivka rovnice \eqref{ode} $n$-tého řádu, splňující podmínky
$y'(x_0)=y_0'$, $y''(x_0)=y_0''$,\dots,$y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$,
existuje-li interval $\I$ obsahující $x_0$ uvnitř tak, že všechna
řešení rovnice na množině $M$ obsahující $\I$ a procházející bodem
$[x_0,y_0]$ na intervalu $\I$ splývají.
\end{define}
