Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Afinní prostory}
\index{afinní prostor}
\begin{define}
\label{affine}
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď
definováno zobrazení $X\times X\to\VEC X$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $\left( \forall x,y,z\in X\right) \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$
bijekce.
\end{enumerate}
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem
nad $T$}. Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}.
\index{přidružený lineární prostor}
\index{volný vektor}
$\VEC X$ nazýváme {\bf přidruženým lineárním prostorem} a jeho prvky se nazývají {\bf volné vektory}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.
\item
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]
\[
\begin{split}
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,
\end{split}
\]
tedy
\[
\vec k=\vecc{z-y},
\]
takže rovnost platí.
\item Příkladem afinního prostoru je lineární varieta $W$ (Přidruženým vektorovým prostorem je její zaměření $\mathcal {Z}(W)$), resp. vektorový prostor (je jak nosnou množinou, tak přidruženým prostorem).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém
lineárním prostoru.
\end{define}
\index{afinní zobrazení}
\index{přidružené lineární zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $a:X\to Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje
lineární zobrazení $L$ z $\VEC X$ do $\VEC Y$ takové, že
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Afinní zobrazení mezi normovanými afinními prostory je spojité právě tehdy, když je $L$ spojité, tj. $L\in \L(\VEC X,\VEC Y)$. (Věty \ref{Spojitost lin. zobr. kon. dom.} a \ref{Spojitost lin. zobr.} říkají, že to pro konečnou dimenzi platí vždy.) Zde je rozdíl oproti LA, kde se spojitost nezkoumala.
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
\label{derivace z telesa}
Buď $\phi:T \to X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0)) \in \VEC X,\]
nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$
\end{define}
\begin{remark}
Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)
\end{remark}
\index{směr}
\begin{define}
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.
\end{define}
\index{derivace ve směru}
\begin{define}[G\^ateaux]
Buď $f: X \to Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme $\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$.
Existuje-li $\phi'(0)$, tj.
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(f(x_0+t\vec v)-f(x_0)),\]
řekneme, že $f$ {\bf má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}
Derivaci ve směru $\vec v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
I derivace ve směru je vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{Y}$.
\end{remark}
\begin{example}
\[f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
\[
\vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right]
\]
\[
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=1
\]
$f$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.
\end{example}
\index{souřadný systém}
\begin{define}
Buď $E$ prostor dimenze $n \in \N$. Pak $(n+1)$-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$, právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $\vec{E}$.
\end{define}
\index{parciální derivace}
\begin{define}
Buď $f: X \to Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ normální souřadný systém ($\forall i \in \hat n \; \norm{\vec e_i} = 1$) na $X$.
Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(
\frac{\pd f}{\pd v}
\right)(x_0)=
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)
=f_{\vec v\vec w}(x_0)
\]
\item
\[
f_i(x_0) \equiv \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)
\]
\item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
\item
\[
f(x,y)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace
v~$(0,0)$ ale existují:
\[
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0
\]
\[
\phi(0)=0
\]
\[
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=
\begin{cases}
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}
\end{cases}
\]
\end{example}
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]
\label{blba o prirustku}
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f: X \to \mathbb{R}$ definované na kouli
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný
systém na $X$, a nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in
B(x_0,r)$ tak, že
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]
kde
\[
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)
\]
\begin{proof}
Nejdříve předpokládejme \[
\begin{split}
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\
y_0&=x_0\\
y_n&=x\\
\end{split}
\]
pak
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0) & =
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\
& =\sum_{i=1}^n\left(
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).
\end{split}
\]
\uv {Vynechaná} proměnná je nezávislá proměnná, tj. $f$ je funkcí vynechané proměnné. Můžeme použít Lagrangeovu větu, protože $\norm{y_i-x_0} \leq \norm{x-x_0}$
spolu s předpokladem existence parciálních derivací uvnitř $B(x_0,r)$ zajišťuje její předpoklady. (Využíváme toho, že v metrice indukované normou je koule konvexní.)
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ představuje standardní skalární součin; proto je třeba předpokládat Eukleidovský prostor. Abychom mohli zavést derivaci na obecnějších prostorech, je třeba pracovat s obecným skalárním součinem. K tomu nám v příští kapitole pomůže Rieszova věta a abstraktnější zavedení derivace.
\item Využíváme reálnost funkce, věta neplatí pro komplexní funkce.
\end{enumerate}
\end{remark}
