Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Úplné prostory}
\index{cauchyovská posloupnost}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
\item Pokud je posloupnost $\posl{x_n}$ cauchyovská a existuje vybraná posloupnost $\posl{x_{k_n}}$ konvergující k $x$, tj. má hromadnou hodnotu, pak i $\posl{x_n}$ konverguje k $x$. (Z cauhyovskosti musí být všechny členy od $n_0$ dál vzdáleny od sebe navzájem maximálně o epsilon, nemohou tedy být daleko od hromadné hodnoty).
\item Pokud $\posl{x_n}$ konverguje, je cauchyovská. (Stačí vzít $\rho(x_n,L)<\frac{\epsilon}{2}$, kde $L$ je limita.)
\end{enumerate}
\end{remark}
\index{úplný prostor}
\begin{define}
\label{uplnost}
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Úplný prostor je uzavřený vzhledem k operaci $x_n \to$. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také.
\item Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
kompaktní metrický prostor je úplný}.
\item Prostor, jehož uzavřené koule jsou kompaktní, je úplný. (Všechny členy $x_n,n>n_0$ jsou díky cauchyovskosti v $B(x_{n_0},\epsilon)\subset S(x_{n_0},\epsilon)$ a kompaktnost $S(x_{n_0},\epsilon)$ zajistí konvergenci)
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Podmnožinu $A$ metrického prostoru $(X,\rho)$ nazveme úplnou, pokud je úplná jako metrický podprostor.
\end{define}
\begin{theorem}
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je úplná.
\begin{proof}
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z $A$. Protože $X$ je úplný, má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v $A$, a tedy limita leží v uzávěru $A$. $A$ je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s $A$ je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každé je bod z $A$, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo $A$. To je spor s tím, že $A$ je úplná.
\end{proof}
\end{theorem}
\index{kontrahující zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
právě když
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\end{define}
\begin{remark}
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
\end{remark}
\begin{define}
\index{hustá množina}
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
\index{separabilní prostor}
Prostor, který má všude hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
\index{řídká množina}
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou}, právě když $X\sm\uz{B}$ je všude hustá.
\end{define}
\begin{example}
Je-li například $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$, potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní.
\end{example}
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
\index{Banachova věta o pevném bodě}
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje právě jedno takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
\begin{proof}
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že
\[
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
k\rho(x_m,x_{m-1})\le k^m\rho(x_1,x_0)=k^m\rho(f(x_0),x_0)
\]
což můžeme použít v cauchyovské podmínce
\[
\rho(x_{n+p},x_n)\le\sum_{i=1}^p\rho(x_{n+i-1},x_{n+i})\le
\sum_{i=1}^p k^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\le
\frac{k^n}{1-k}\rho(x_1,x_0)<\epsilon
\]
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
$\rho(x,x')\le k\rho(x,x')<\rho(x,x')$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
matematice. V~praxi často nelze zajistit, aby zobrazení $f$ bylo
kontrahující, přesto ale posloupnost postupných aproximací
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
\[
f_i(f(x))=f_{i+1}(x)=f(f_i(x))=f(x),
\]
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
Sestrojme pak $i$ posloupností:
\[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & & i \\ \hline
x_0 & x_1=f(x_0) & x_2=f_2(x_0) & \cdots & x_{i-1}=f_{i-1}(x_0) \\
x_i=f_i(x_0) & x_{i+1}=f_{i+1}(x_0) & x_{i+2}=f_{i+2}(x_0) & \cdots & x_{2i-1}=f_{2i-1}(x_0) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots
\end{array}
\]
Všechny posloupnosti jsou posloupnostmi aproximací $i$-té iterace pro
různé počáteční body. Všechny konvergují k~$x$ a podle věty o~pokrytí
celá posloupnost postupných aproximací pro zobrazení $f$ konverguje
k~$x$.
\end{remark}
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
\end{remark}
\begin{define}
Lineární prostory klasifikujeme následovně:
\begin{itemize}
\item Normovaný lineární prostor, který je úplný vzhledem k metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
\item Pre-Hilbertův prostor, který je úplný vzhledem k metrice indukované skalárním součinem, se nazývá {\bf Hilbertův}.
\end{itemize}
\end{define}
\begin{remark}
Hilbertův prostor je Banachův.
\end{remark}
