Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Spojitost}
\index{spojitost}
\begin{define}
\label{def_spojitost}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení mezi dvěma topologickými prostory. Řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité v~bodě $x_0 \in X$}, právě když vzor každého okolí bodu $f(x_0)$
$f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je okolí bodu $x_0$. Řekneme, že $f$ je spojité, je-li spojité v~každém bodě $x_0 \in X$.
\end{define}
\begin{remark}
Vzor topologie $\tau_Y$ při spojitém zobrazení tvoří topologii na prostoru $X$. Spojitost je topologická vlastnost (závislá na topologiích prostorů $X$ a $Y$).
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$. Potom následující
tři tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ je spojité.
\item pro každou množinu $B=\vn{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ otevřená v~$X$, tj,
$f^{-1}(B)=\vn{f^{-1}(B)}^X$.
\item pro každou množinu $B=\uz{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ uzavřená v~$X$, tj,
$f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item (ii) $\iff$ (iii): Pro libovolnou množinu $B \subset Y$ platí $f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B).$
Ukažme nyní implikaci (ii) $\implies$ (iii), obrácená implikace se dokazuje analogicky.
Nechť $B=\uz{B}^Y$. Potom
$Y \sm B = \vn{(Y \sm B)}^Y.$ Podle předpokladu je vzor této množiny otevřený v X, tj.
$$\vn{(f^{-1}(Y \sm B))}^X = f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B) = \vn{( X \sm f^{-1}(B))}^X$$
Odtud dostáváme $f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.
\item (i) $\implies$ (ii):
Buď $B=\vn{B}^Y$, $x\in f^{-1}(B)$. Pak $f(x)\in B$ a ze spojitosti
$f$ vyplývá $f^{-1}(B)=\H_x$, tedy $f^{-1}(B)$ je okolím všech svých
bodů, tedy je otevřená.
\item (ii) $\implies$ (i):
Buď $\H_{f(x_0)}$ okolí bodu $f(x_0)$. Pak existuje $B=\vn{B}$ tak, že
platí $f(x_0)\subset B\subset\H_{f(x_0)}$, tedy $x_0\in
f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\H_{f(x_0)})$, tedy $f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je
okolím $x_0$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\index{homeomorfismus}
\begin{define}
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$ tak, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $f$ je bijekcí,
\item $f$ a $f^{-1}$ jsou spojité.
\end{enumerate}
Potom $f$ nazýváme {\bf homeomorfismem} $X$ na $Y$.
\end{define}
\begin{remark}
Předpoklad spojitosti $f^{-1}$ není nadbytečný --- identita $(\R,\d) \to (\R,\abs{\cdot})$ je spojité zobrazení, zatímco inverzní ne.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $f$ bijekce $X$ na $Y$. Potom následující výroky jsou
ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $f$ je homeomorfismus.
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\vn{A}^X\iff f(A)=\vn{(f(A))}^Y$.
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\uz{A}^X\iff f(A)=\uz{f(A)}^Y$.
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\vn{A}^X)=\vn{(f(A))}^Y$.
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\uz{A}^X)=\uz{f(A)}^Y$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zřejmé :-)
\index{zřejmý důkaz}
\end{proof}
\end{theorem}
\index{ekvivalence metrik}
\begin{define}
Řekneme, že dvě metriky $\rho$ a $\sigma$ na množině $X$ jsou
{\bf ekvivalentní}, právě když indukují tutéž topologii. Jinými slovy:
identita $(X,\rho) \to (X,\sigma)$ je homeomorfismus.
\end{define}
\begin{remark}
$\tau = \tau'$ pokud $\forall A \in \tau$ existuje $A'\in \tau'$, že $A'\subset A$ a
zároveň pokud $\forall B' \in \tau'$ existuje $B\in \tau$, že $B\subset B'$
\end{remark}
\index{ekvivalence norem}
\begin{define}
Řekneme, že dvě normy jsou {\bf ekvivalentní}, právě když indukují ekvivalentní metriky.
\end{define}
\begin{theorem}[ekvivalence norem]
\label{hom_lin}
Buď $\VEC X$ lineární prostor. Potom dvě normy $\norm{\cdot}_1$, $\norm{\cdot}_2$
jsou ekvivalentní, právě když existují konstanty $k,K>0$ tak, že platí:
\[k\norm{\vec x}_1\le\norm{\vec x}_2\le K\norm{\vec x}_1\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$: V {\it lineárním} prostoru platí, že uzávěr
$\uz{B(x,r)}$ otevřené koule $B(x,r)$ je uzavřená koule $S(x,r)$.
Otevřená koule $B_2(0,1)$ v~prostoru s~normou $\norm{\ }_2$ je
otevřená množina. V~prostoru s~normou $\norm{\ }_1$ proto existuje
koule $B_1(0,r)$ tak že platí: $B_1(0,r)\subset
B_2(0,1)$. Z~vlastnosti uzávěru a výše uvedené poznámky pak platí, že
$S_1(0,r) \subset S_2(0,1)$, tedy $\norm{\vec x}_1\le r\implies \norm{\vec x}_2\le 1$.
Pro libovolný vektor $\vec y$ pak platí:
\[\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_1\le r,\]
z~čehož vyplývá:
\[
\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_2\le 1\implies
\frac{r}{\norm{\vec y}_1}\norm{\vec y}_2\le 1\implies
\norm{\vec y}_2\le\frac1r\norm{\vec y}_1,
\]
kde $\frac1r$ je konstanta $K$ z~tvrzení věty. Druhá nerovnost se
dokáže analogicky.
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A=\vn{A}$ otevřená množina z~$(\VEC X, \norm{\
}_1$), $x\in A$. Pak existuje koule $B_1(x,r_1)\subset
A$. Z~předpokladu věty a z~definice koule pak ale vyplývá, že koule
$B_2(x,kr_1)$ z~$(\VEC X, \norm{\ }_2$) je podmnožinou koule $B_1$, tudíž
$B_2\subset A$. Tedy v~$(\VEC X, \norm{\ }_2$) pro každý bod $x\in A$
existuje koule $B_2(x,r_2)\subset A$, tedy $A$ je v~$(\VEC X, \norm{\ }_2$)
otevřená.
Opačná inkluze ($B_1(x,r_1)\subset B_2(x,K r_2)$) se dokáže analogicky.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\index{konvergence posloupnosti}
\index{limita}
\begin{define}[limita]
Buď $\posl{x_n}$ posloupnost bodů z~topologického prostoru $X$. Říkáme, že
posloupnost {\bf konverguje} k~bodu $x$ (značíme $x_n \to x$), právě když leží
v~každém jeho okolí až na konečně mnoho bodů. Bod $x$ se nazývá {\bf limita}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Je-li $f$ bijekce $\N\biject\N$, pak $x_n\to x\iff x_{f(n)}\to x$ (přerovnání členů posloupnosti).
\item Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu (důsledek Hausdorffova axiomu).
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Řekneme, že topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf metrizovatelný},
právě když na $X$ existuje metrika $\rho$ taková, že indukuje $\tau$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $A\subset X$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $x\in\uz{A} \Longleftrightarrow (\exists \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x)$.
\item $x\in\hr{A} \Longleftrightarrow (\exists \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x)
\wedge(\exists \posl{y_n}\subset X\sm A)(y_n\to x)$.
\item $x\in A' \Longleftrightarrow (\exists \posl{x_n}\subset A\sm\{x\})(x_n\to x)$.
\item $x\in\vn{A} \Longleftrightarrow (\forall \posl{x_n})
(x_n\to x\implies \posl{x_n}\subset A\text{ až na konečný počet výjimek})$.
\item $x\in\iz{A} \Longleftrightarrow (\forall \posl{x_n}\subset A)(x_n\to x\implies
x_n=x\text{ až na konečný počet výjimek})$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Zřejmé :-)
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
V topologickém prostoru platí pouze implikace, pro první tři $\Leftarrow$ a pro ostatní $\Rightarrow$,
protože tam nemůžeme zajistit konvergenci těch posloupností.
\end{remark}
\begin{theorem}[Heine]
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $f: X \to Y$ zobrazení,
$A\subset X$. Potom $\lim_{x\to x_0,x\in A}f(x)=a$, právě když pro
každou posloupnost $\posl{x_n}$ takovou, že $\posl{x_n} \subset A,x_n\not=x_0,x_n\to x_0$, platí $f(x_n)\to a$.
\begin{proof} $(\Rightarrow)$: Volíme pevné $\epsilon > 0$. K němu nalezneme $ \delta >0 $ tak, že
\[ (\forall x \in A)(x \neq x_0)((\rho(x,x_0) < \delta) \Rightarrow (\rho(f(x),a) < \epsilon)).\]
Dále $ \exists n_0 \in \N$ tak, že pro $ (\forall n \in \N)(n>n_0) $ naleznu $x_n$ tak, že platí $x_n \in (B(x_0,\delta) \sm \{x_0 \}) \cap A $.
Pro $ (\forall n \in \N)(n>n_0) $ tudíž platí $(f(x_n) \in B(a,\epsilon)).
$(\Leftarrow)$: (sporem) Předpokládejme, že $ \exists \epsilon>0$ tak, že
\[( \forall \delta > 0)(\exists x \in A)(x \neq x_0)((x \in B(x_0,\delta)) \wedge (f(x) \ni B(a,\epsilon))) \]
Vezmeme si $n \in \N$ a položíme $\delta = \frac{1}{n}$. Podle předpokladu najdeme k tomuto $\delta$ prvek $x_n$ tak, že
$x_n \in (B(x_0, \frac{1}{n}) \sm \{x_0\}) \cap A $ a $(f(x_n) \not\in B(a,\epsilon))$. Pak posloupnost $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ splňuje
$x_n\to x_0$ v $A$, ale není pravda, že $f(x_n) \to a$ v $Y$.
\end{proof}
\end{theorem}
