Součásti dokumentu 01VYMA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01VYMA}
\section{Laurentovy řady}
Zobecnění mocniných řad.
\subsection{Laurentovy řady}
\subsubsection{Definice}
Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada
\begin{equation} \label{eq:L_rada}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}
\end{equation}
se nazývá Laurentova řada.
\subsubsection{Poznámka}
Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.
\subsubsection{Poznámka - mezikruží}
Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\
Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$
%
\subsubsection{Věta - Laurentova}
Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že
\begin{equation} \label{eq:L_rada2}
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:koeficienty}
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}
\end{equation}
pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.
%
\subsubsection{Definice}
Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.
\subsubsection{Poznámka}
Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem
\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)
\end{equation*}
\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$
\begin{equation*}
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi
\end{equation*}
\begin{equation*}
a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n
\end{equation*}
což je spor.
\item nyní dokážeme existenci
\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.
\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat
\begin{align*}
f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\
& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\
& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}
\end{align*}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Příklad}
Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.
\begin{equation*}
f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}
\end{equation*}
pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.
\begin{align*}
\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\
-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n
\end{align*}
\begin{equation*}
f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}
Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).
Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je
\begin{description}
\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.
\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$
\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.
\end{description}
%
\subsubsection{Příklady}
\begin{itemize}
\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$
\begin{equation*}
f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}
\end{equation*}
$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.
\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$
\begin{equation*}
f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}
\end{equation*}
$\implies$ 1 je pól stupně 3.
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$
\begin{equation*}
f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}
\end{equation*}
$\implies$ 0 je podstatná singularita.
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita
\begin{equation*}
\lim_{z \to z_0}f(z)
\end{equation*}
a je konečná.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0
\end{equation*}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně
\begin{equation*}
\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}
\end{equation*}
na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
\begin{align*}
f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\
& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]
\end{align*}
\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"
\begin{align*}
f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\
& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\
g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots
\end{align*}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$
\begin{equation*}
\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}
\end{equation*}
%
\subsection{Reziduum} % REZIDUUM
\subsubsection{Poznámka}
Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.
\begin{equation*}
a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi
\end{equation*}
kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál
\begin{equation*}
\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Definice - reziduum}
Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.
%
\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}
\begin{enumerate}
\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.
\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.
\item $z_0$ je pól stupně 1
\begin{align*}
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\
(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}
\end{align*}
\begin{equation}
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}
\end{equation}
\item $z_0$ je pól stupně $m>1$
\begin{align*}
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\
(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\
\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}
\end{align*}
\begin{equation}
\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}
\end{equation}
\end{enumerate}
%
\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}
Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom
\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f
\end{equation}
%
\subsubsection{Poznámka}
Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f
\end{equation*}
\subsubsection{Příklad}
Vypočtěte reálný integrál $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, kde $a>1$\\
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} =
\begin{vmatrix}
z = e^{it} \\
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\
\end{vmatrix}
= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}
\end{equation*}
funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kruhu $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $z_0 =-a+\sqrt{a^2-1}$, zjevně se jedná o pól 1.stupně, snadno tedy určíme reziduum
\begin{equation*}
\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}
\end{equation*}
a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}
Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.
\subsubsection{Poznámka}
Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.
\begin{enumerate}
\item odstranitelná singularita:
\begin{equation*}
g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}
\end{equation*}
\item pól stupně $m$
\begin{align*}
g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\
f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}
\end{align*}
\item podstatná singularita
\begin{align*}
g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\
f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}
\end{align*}
\end{enumerate}
%
\subsubsection{Příklady}
\begin{itemize}
\item $f(z)=\frac{1}{z}$
\begin{equation*}
\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0
\end{equation*}
$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.
\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\
$\implies \infty$ je pól stupně $n$.
\item $f(z)=e^z$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}
\end{equation*}
$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}
\end{equation*}
$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.
\end{itemize}
%
\subsubsection{Definice}
Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme
\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}
\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z
\end{equation}
kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.
%
\subsubsection{Poznámka}
Vzpomeňte
\begin{equation*}
\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z
\end{equation*}
$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\
Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.
%
\subsubsection{Příklad}
$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1
\end{equation*}
protože $\varphi$ je záporně orientovaná.
%
\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}
Má-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f
\end{equation*}
kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.
\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0
\end{equation*}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Příklad}
\begin{equation*}
f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z
\end{equation*}
Integrál můžeme počítat dvěma způsoby
\begin{enumerate}
\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f
\end{equation*}
\begin{align*}
\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\
& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots
\end{align*}
koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.
\end{enumerate}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom
\begin{equation}
\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g
\end{equation}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{align*}
\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\
& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}
\end{align*}
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom
\begin{equation}
\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
\end{equation}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{equation*}
\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
\end{equation*}
