02OKS:Kapitola7

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.
Součásti dokumentu 02OKS

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02OKS	Kyseljar	5. 9. 2015	11:16
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	13:52
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Kyseljar	5. 9. 2015	11:04	header.tex
Kapitola1	editovat	Úvodní stránka	Kyseljar	5. 9. 2015	11:06	titlepage.tex
Kapitola2	editovat	Přehled značení	Kyseljar	5. 9. 2015	11:07	Prehled_znaceni.tex
Kapitola3	editovat	Úvod	Maresj23	12. 8. 2017	16:05	Uvod.tex
Kapitola4	editovat	Operátor hustoty	Gajaleks	15. 2. 2023	11:13	Operator_hustoty.tex
Kapitola5	editovat	Matematický aparát	Maresj23	1. 10. 2017	07:30	Matematicky_aparat.tex
Kapitola6	editovat	vonNeumannova entropie	Kyseljar	5. 9. 2015	11:08	vonNeumannova_entropie.tex
Kapitola7	editovat	Kvantové měření	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Kvantove_mereni.tex
Kapitola8	editovat	Kvantové operace	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Kvantove_operace.tex
Kapitola9	editovat	Změny kvantového systému	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Zmeny_kvantoveho_systemu.tex
Kapitola10	editovat	Dovětek	Kyseljar	5. 9. 2015	11:09	Dovetek.tex
Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02OKS}
 
\section{Kvantové měření}
\label{sec:Kvantove_mereni}
 
V základním kurzu kvantové mechaniky jsme se seznámili se způsobem, jakým se popisuje kvantové měření. Na rozdíl od měření v klasické fyzice, kvantové měření se přímo účastní vývoje systému. Po změření je stav systému obecně jiný, než před ním. To může být na jednu stranu nevýhodou, na druhou stranu lze však takovéto měření využít k přípravě stavů v přesně daném tvaru. Mějme úplný soubor pozorovatelných $M_1, \ldots, M_k$ odpovídajících nějakým fyzikálním veličinám $V_1, \ldots, V_k$. Po měření na daném stavu obdržíme soubor hodnot, neboli výsledků měření, $m_1, \ldots, m_k$ příslušný pozorovatelným $M_1, \ldots, M_k$. Z úplnosti množiny pozorovatelných pak máme zajištěno, že se změřený systém bude nacházet ve stavu, který je vlastním vektorem všech daných pozorovatelných s vlastními čísly $m_1, \ldots, m_k$. Můžeme si tedy připravit mnoho těchže systémů v libovolných stavech, na nich provádět měření a vybrat vždy jen ty systémy, pro které byly naměřené hodnoty totožné a rovné $m_1, \ldots, m_k$. Takto lze vyrábět stejné stavy o daném tvaru.
 
Existuje několik způsobů, jak formalizovat měření v kvantové mechanice. O nich lze ukázat, že jsou ekvivalentní, pokud vezmeme v úvahu i další postuláty kvantové mechaniky, nejen postulát o měření. V následujícím si představíme dvě koncepce, von Neumannovo měření a zobecněné měření.
 
\subsection{von Neumannovo měření}
 
Často používaným formalizmem je ten von Neumannům. Zde je každé vlastnosti $B$ přidružen ortogonální projektor $E(B)$. Platí tedy $E(B) = \adj{E}(B) = E^2(B)$. Je-li na systému ve stavu $\rho$ zjištěn výskyt veličiny $B$, tak se systém po změření nachází ve stavu
\begin{equation}
\rho' = \frac{E(B) \rho E(B)}{\tr(E(B) \rho E(B))}.
\end{equation}
Vlastnost $B$ je přitom naměřena s pravděpodobností% $p(B) \equiv \tr(E(B) \rho E(B)) = \tr(E(B) \rho)$. 
\begin{equation}
p(B) \equiv \tr(E(B) \rho E(B)) = \tr(E(B) \rho).
\end{equation}
 
Jak víme ze základního kurzu, každé veličině přísluší nějaká pozorovatelná $R$, tj. hermitovský operátor působící na Hilbertově prostoru daného kvantového systému. Ukažme si nyní, jak je toto pojetí v souladu s formalizmem von Neumannova měření. Mějme samosdružený operátor $R$ definovaný obecně na podmnožině $D(R)$ Hilbertova prostoru $\hilb$, tedy $R: D(R) \to \hilb$, $R = \adj{R}$. Z funkcionální analýzy plyne, že tento operátor lze spektrálně rozložit způsobem
\begin{equation}
R = \int_{-\infty}^\infty r \, \de{E_r},
\end{equation}
kde $E_r$ je spektrální třída projektorů splňující následující tři vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $E_{r'} \geq E_r \quad \mathrm{pro} \quad r' \geq r$,
\item $\lim_{\varepsilon \to 0} E_{r+\varepsilon} = E_r$,
\item $\lim_{r \to -\infty} E_r = 0, \quad \lim_{r \to +\infty} E_r = \ident$.
\end{enumerate}
Označme si nyní $\Delta r_i = (r_{i-1}, r_i]$ a $\Delta E_i = E_{r_i} - E_{r_{i-1}}$. Platí tedy zřejmé vztahy $\bigcup_i \Delta r_i = \R$ a $\sum_i \Delta E_i = \ident$, $\Delta E_i \Delta E_j = \delta_{ij} \Delta E_i$. Množině $\{\Delta E_i\}$ se říká \emph{ortogonální rozklad jednotky}. Měřme nyní fyzikální veličinu reprezentovanou pomocí pozorovatelné $R$ na systému o stavu $\rho$. Při každém měření můžeme dostat obecně různé číselné výsledky $r \in \R$. Ptejme se dále, s jakou pravděpodobností obdržíme po změření hodnotu $r$ ležící v intervalu $\Delta r_i$. Intervalu odpovídá projektor $\Delta E_i$, tato pravděpodobnost je tedy podle von Neumanna rovna $p(\Delta r_i) = \tr(\Delta E_i \, \rho)$. Podobně výsledný stav po takovém měření zní
\begin{equation}
\rho' = \frac{\Delta E_i \, \rho \, \Delta E_i}{\tr(\Delta E_i \, \rho)}.
\label{eq:final_state_measured}
\end{equation}
Z těchto výrazů a vztahů pro ortogonální rozklad jednotky ihned plynou rovnosti $\sum_i p(\Delta r_i) = 1$ a $\rho'_i \rho'_j = \delta_{ij} \rho'_i$. Veličinu $p_i \equiv p(\Delta r_i)$ lze tedy skutečně interpretovat jako pravděpodobnost, neboť je správně normalizovaná na jedničku a navíc je pro každý interval $\Delta r_i$ nezáporná, což plyne z pozitivity operátorů $\Delta E_i$.
 
Jak vidno, měřením vzniknou podmíněné soubory operátorů hustoty $\{(p_i, \rho'_i)\}_i$. Po měření máme s pravděpodobností $p_i$ výsledný stav tvaru $\rho'_i$. Lze rozlišovat mezi dvěma způsoby, jakým měření provádíme. Buď daný počáteční stav změříme a koukneme se na výsledek měření. Tak zjistíme, že systém je v některém ze stavů tvaru \eqref{eq:final_state_measured}. Této variantě se říká \textbf{selektivní měření}. Naproti tomu můžeme však systém změřit a na výsledek měření se nepodívat. Neboť nyní nevíme, v jakém stavu se systém přesně nachází, musíme středovat přes všechny možnosti s příslušnými pravděpodobnostmi. Na konci měření máme tak systém popsán stavem
\begin{equation}
\rho' = \sum_i p_i \rho'_i = \sum_i \tr(\Delta E_i \, \rho) \frac{\Delta E_i \, \rho \, \Delta E_i}{\tr(\Delta E_i \, \rho)} = \sum_i \Delta E_i \, \rho \, \Delta E_i.
\end{equation}
Tato varianta se nazývá \textbf{neselektivní měření}.
 
\subsection{Zobecněné měření}
 
Ukažme si nyní obecnější přístup k zachycení kvantového měření. Po změření daného systému v daném stavu $\rho$ dostáváme výsledek měření, nějakou číselnou hodnotu $m$. Označme si množinu všech takovýchto možných výstupů měření symbolem $\mathcal{M}$ a zkoumejme s jakou pravděpodobností naměříme hodnotu $m \in \mathcal{M}$. Od počátku uvažujeme, že tato pravděpodobnost bude záviset jednak na hodnotě $m$, jednak na vstupním stavu $\rho$. Je to tedy jistá funkce $p(m) = f_m(\rho)$. Vezmeme-li v úvahu rozklad $\rho = \sum_i p_i \rho_i$ a základní pravidla pro počítání s podmíněnými pravděpodobnostmi $p(\cdot | \cdot)$, docházíme ke vztahům
\begin{equation}
f_m(\rho) = p(m) = \left( \sum_i p(i|m) \right) p(m) = \sum_i p(i|m) p(m) = \sum_i p(m|i) p_i = \sum_i p_i f_m(\rho_i).
\end{equation}
Vidíme tedy, že funkce $f_m$ by měla být lineární na konvexních kombinacích stavů. Bez újmy na obecnosti ji tedy můžeme chápat jako lineární zobrazení na celém prostoru omezených operátorů $\bound{\hilb}$. Toto zobrazení navíc na vstupní stav vrátí číslo. Jedná se tedy o lineární funkcionál a z Rieszovy věty existuje jednoznačně daný operátor $F_m \in \bound{\hilb}$ tak, že lze $f_m$ vyjádřit pomocí skalárního součinu $f_m(\rho) = (\rho, F_m)$. Připomeňme, že Hilbert-Schmidtův skalární součin je definován vztahem $(A,B) = \tr(\adj{A} B)$. Celkem jsme tedy dostali operátor $F_m$ tak, že $p(m) = \tr(F_m \rho)$. Aby výraz $p(m)$ mohl představovat pravděpodobnostní rozdělení, musíme ještě požadovat nezápornost $p(m) \geq 0$ a normalizaci na jedničku. Tyto podmínky jsou zajištěny, splňují-li operátory $F_m$ pro hodnoty $m \in \mathcal{M}$ vztah $\sum_{m \in \mathcal{M}} F_m = \ident$ a jsou-li všechny pozitivní, $F_m \geq 0$. Právě uvedená úvaha byla motivací pro zavedení pravděpodobnosti ve tvaru
\begin{equation}
p(m) = \tr(F_m \, \rho),
\end{equation}
kde $F_m$ jsou pozitivní operátory splňující $\sum_{m \in \mathcal{M}} F_m = \ident$. Těmto operátorům se říká \textbf{efekty}. Dosud jsme popisovali zobecněné kvantové měření pouze z pohledu jeho výstupních hodnot $m \in \mathcal{M}$ a jejich pravděpodobností $p(m)$. Nezajímali jsme se o tvar výsledného stavu $\rho'_m$. Této koncepci se říká \textbf{POVM měření}, což pochází z anglického \emph{Positive-Operator-Valued Measurement}. POVM operátory $F_m$ nejsou schopny zachytit tvar výsledného stavu, ale hodí se pro popis pravděpodobností s jakými dostaneme jednotlivé výsledky.
 
Abychom mohli popsat i výsledný stav po měření $\rho'_m$, musíme formalizmus zobecněného měření rozšířit o další prvek. Tím jsou zobrazení $\phi_m: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, která se nazývají \textbf{kvantové operace}, popřípadě \textbf{instrumenty}. Máme-li systém ve stavu $\rho$, po změření hodnoty $m \in \mathcal{M}$ přejde tento stav do tvaru
\begin{equation}
\rho'_m = \frac{1}{p(m)} \phi_m(\rho).
\label{eq:zobec_mer_stav}
\end{equation}
O zobrazeních $\rho_m$ lze ukázat, že to jsou lineární a pozitivní superoperátory (viz později). Neboť výsledné stavy musejí být normalizovány na jednotkovou stopu, $1 = \tr(\rho'_m) = \tr(\phi_m(\rho))/p(m)$, dostáváme
\begin{equation}
\tr(\phi_m(\rho)) = p(m) = \tr(F_m \, \rho).
\label{eq:zobec_mer_pravd}
\end{equation}
Při selektivním měření tedy obdržíme stav \eqref{eq:zobec_mer_stav} s pravděpodobností \eqref{eq:zobec_mer_pravd}. Při neselektivním pak máme
\begin{equation}
\rho' = \sum_{m \in \mathcal{M}} p(m) \, \rho'_m = \sum_{m \in \mathcal{M}} \phi_m(\rho).
\end{equation}
 
Snadno nahlédneme, že při položení $F_m = \Delta E_m$ a $\phi_m(\rho) = \Delta E_m \, \rho \, \Delta E_m$ se zobecněné měření redukuje na von Neumannovo měření. Lze však ukázat i opačnou implikaci. Pokud se neomezíme jen na měření samotné a v úvahu vezmeme i unitární vývoj celého systému, jde zobecněné měření popsat pomocí měření von Neumannova a tohoto unitárního vývoje.
 
Vraťme se ještě k POVM měření popsanému výše, kdy se nestaráme o výsledný stav $\rho'_m$. Uvažujme obecnou situaci, kdy máme pro dané měření k dispozici instrumenty $\phi_m$. Z rovnice \eqref{eq:zobec_mer_pravd} je vidět, že pokud provedeme pouze POVM měření, máme ve volbě instrumentů $\phi_m$ jistou volnost. Skutečně, soubor tvořený instrumenty $\phi_m(\rho) = \sqrt{F_m} \, \rho \, \sqrt{F_m}$ dává stejné pravděpodobnosti jako soubor tvořený instumenty $\phi_m(\rho) = U \sqrt{F_m} \, \rho \, \sqrt{F_m} \adj{U}$, kde $U$ je nějaký unitární operátor.
 
\begin{priklad}
\emph{Diskriminace stavů.} V tomto příkladu si připomeneme měření čistých stavů. Vzhledem k měřením popsaným výše se toto měření redukuje pouze na projekci čistých stavů coby vektorů na vektory nějaké ortonormální báze daného Hilbertova prostoru. Z dřívějška víme, že čisté stavy, které jsou navzájem ortogonální, lze s jistotou vždy rozlišit, měříme-li je ve vhodné ortonormální bázi. Pro konkrétnost mějme dva stavy $\ket{+} = (\ket{0} + \ket{1})/\sqrt{2}$ a $\ket{-} = (\ket{0} - \ket{1})/\sqrt{2}$. Lze se snadno přesvědčit, že tyto stavy jsou správně znormalizované a navzájem kolmé. Měříme-li je ve výpočetní bázi $\{\ket{0}, \ket{1}\}$ dostáváme pro oba z nich s pravděpodobností $1/2$ vektor $\ket{0}$ a se stejnou pravděpodobností i vektor $\ket{1}$. Ve výpočetní bázi tedy tyto stavy odlišit nelze. Pootočíme-li však výpočetní bázi do báze tvořené samotnými vektory $\{\ket{+}, \ket{-}\}$, jejich rozlišení je zjevně dokonalé. Pro stav $\ket{+}$ obdržíme po projekci s pravděpodobností 1 tentýž stav $\ket{+}$ a podobně pro $\ket{-}$.
 
Uvažme nyní situaci, kdy máme dva různé vektory $\ket{\psi_1}$ a $\ket{\psi_2}$, které na sebe \emph{nejsou} kolmé. I v tomto případě lze zkonstruovat měření, které je schopné tyto stavy odlišit. Avšak za cenu toho, že toto odlišení nebude možné při každém měření. Jako možnou konstrukci uvažujme dva ortogonální projektory, $P_1 = \ketbraSame{\psi_1}$ a $P_2 = \ident - \ketbraSame{\psi_1}$. Snadno si rozmyslíme, že když zařízení odpovídající projektoru $P_2$ zaznamená vzruch, tak do něm vletěl stav $\ket{\psi_2}$. Pokud ale činnost zaznamenalo zařízení sdružené s operátorem $P_1$, nemůžeme o vlétajícím stavu nic říct, neboť oba stavy $\ket{\psi_1}$ i $\ket{\psi_2}$ mají nenulovou složku ve směru vektoru $\ket{\psi_1}$. Kdyby tomu tak nebylo, tak by $\braket{\psi_1}{\psi_2} = 0$, což je ve sporu s předpoklady. Víme tedy alespoň, při kterém měření jsme \emph{nedostali} stav $\ket{\psi_1}$. Obecně lze tento postup implementovat pomocí POVM operátorů
\begin{equation}
E_1 = a_1 \ketbraSame{\psi_2^\perp}, \quad E_2 = a_2 \ketbraSame{\psi_1^\perp}, \quad E_0 = \ident - E_1 - E_2,
\label{eq:POVM_priklad}
\end{equation}
které nejsou projekcemi(!) Čísla $a_i$ jsou zatím nespecifikovaná. V následujícím určíme jejich hodnotu tak, aby pravděpodobnost správného rozlišení stavů $\ket{\psi_i}$ byla největší. Označme si pravděpodobnost úspěchu, že zjistíme stav $\ket{\psi_i}$ jako $p_i$. Pak dostáváme $p_1 = \bra{\psi_1} E_1 \ket{\psi_1} = a_1 \bra{\psi_1} (\ident - \ketbraSame{\psi_2}) \ket{\psi_1} = a_1 (1 - |d|^2)$, kde $d = \braket{\psi_1}{\psi_2}$. Obdobně bychom obdrželi i vztah $p_2 = a_2(1-|d|^2)$. Dále zjevně platí $\bra{\psi_2} E_1 \ket{\psi_2} = 0 = \bra{\psi_1} E_2 \ket{\psi_1}$. Pravděpodobnosti neúspěchu jsou rovny $q_i = \bra{\psi_i} E_0 \ket{\psi_i} = 1 - p_i$. Z těchto výsledků snadno nahlédneme explicitní tvar matice $E_0$. Protože tento operátor musí být pozitivní, platí
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
q_1 & d \\
\cc{d} & q_2
\end{pmatrix}
\geq 0,
\end{equation}
neboli $q_1 q_2 \geq |d|^2$. Symbolem $\eta_i$ dále označme pravděpodobnost, s jakou je stav $\ket{\psi_i}$ posílán do měřícího přístroje. Průměrná pravděpodobnost správného určení stavu tak zní zřejmě $P = p_1 \eta_1 + p_2 \eta_2$ a podobně průměrná pravděpodobnost nesprávného určení je $Q = q_1 \eta_1 + q_2 \eta_2 = 1 - P$. Jak vidno, maximum veličiny $P$ odpovídá minimu pro $Q$. Snažíme-li se maximalizovat pravděpodobnost správného určení stavů, musíme minimalizovat výraz $q_1 \eta_1 + q_2 \eta_2$, kde $q_i$ vystupují jako parametry. Z pozitivity operátoru $E_0$ vidíme, že tento operátor je nulový pro $q_2 = |d|^2/q_1$. (Tehdy máme ve hře jen operátory $E_1$ a $E_2$.) Dosadíme-li tuto hodnotu do minimalizovaného výrazu, dostáváme rovnost
\begin{equation}
\min Q = q_1 \eta_1 + \frac{|d|^2}{q_1} \eta_2,
\end{equation}
kde $q_1$ vystupuje jako parametr. Pomocí derivace určíme minimum tohoto výrazu. Zjišťujeme, že minima se nabývá pro $q_1 = |d|\sqrt{\eta_2 / \eta_1}$ a $q_2 = |d|\sqrt{\eta_1 / \eta_2}$, kdy je $Q_{\mathrm{min}} = 2 \sqrt{\eta_1 \eta_2} |d|$. Můžeme nyní zpětně dopočítat hodnoty $a_i$
\begin{equation}
a_1 = \frac{1-|d| \sqrt{\frac{\eta_2}{\eta_1}}}{1-|d|^2}, \quad a_2 = \frac{1-|d| \sqrt{\frac{\eta_1}{\eta_2}}}{1-|d|^2}.
\label{eq:a_i}
\end{equation}
 
Celkem tedy, POVM soubor operátorů tvaru \eqref{eq:POVM_priklad}, pro nějž je pravděpodobnost správného rozlišení stavů $\ket{\psi_1}$ a $\ket{\psi_2}$ největší, má prefaktory $a_i$ rovny \eqref{eq:a_i}.
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
NECHAPU UCEL PRIKLADU, ANI JEHO ZNENI Uvažujme dva operátory hustoty $\rho, \sigma \in \states{\hilb}$. Nechť $\sigma$ je stav, který dostávám. Jaká je pravděpodobnost, že tento stav zaměním se stavem $\rho$, provádím-li na něm měření? Míru, s jakou se dva stavy navzájem odlišují, lze kvantifikovat pomocí relativní entropie $S(\sigma \| \rho) = \tr(\sigma\ln \sigma) - \tr(\sigma \ln \rho)$. Veškerou informaci, kterou jsme schopni získat o tvaru obou stavů a jejich případné odlišnosti, pochází z kvantového měření a odpovídajících pravděpodobností nalezení daných výsledků. Různost dvou stavů lze tedy popsat i skrze klasickou entropii aplikovanou na pravděpodobnostní rozdělení příslušná jednotlivým stavům. Pro nějaký POVM soubor $\{A_i\}_i$ dostáváme prav\-dě\-po\-dob\-nos\-ti $p_i = \tr(A_i \, \sigma)$ a $q_i = \tr(A_i \, \rho)$. Hledáme nyní tedy takové POVM $\{A_i\}_i$, aby (klasická) relativní entropie $S^{\mathrm{klas}}_1$ byla nejvyšší, totiž aby
\begin{equation}
S^{\mathrm{klas}}_1(\sigma \| \rho) = \sup_{\{A_i\}} \left( \sum_i (\tr(A_i \, \sigma) \ln \tr(A_i \, \sigma) - \tr(A_i \, \sigma) \ln \tr(A_i \, \rho)) \right).
\end{equation}
Tato hodnota nám bude říkat, jak moc lze stavy $\sigma$ a $\rho$ od sebe odlišit. Počítání hrůzného výrazu výše pro klasickou entropii lze zjednodušit, vezmeme-li $N$ kopií $\sigma^N \coloneqq \sigma^{\tens N}$ a $\rho^N \coloneqq \rho^{\tens N}$ původních stavů a zvolíme-li POVM následujícím způsobem. Při volbě $A_i \in \bound{\hilb^{\tens N}}$ (tj. operátory $A_i$ působí na celých $\sigma^N$, resp. $\rho^N$), kde $\sum_i A_i = \ident$, je nejvyšší možná relativní entropie tvaru
\begin{equation}
S_N(\sigma \| \rho) = \sup_{\{A_i\}} \frac{1}{N} \left( \sum_i (\tr(A_i \, \sigma^N) \ln \tr(A_i \, \sigma^N) - \tr(A_i \, \sigma^N) \ln \tr(A_i \, \rho^N)) \right).
\label{eq:S_N_rel_entropie_priklad}
\end{equation}
Dále lze ukázat, že obecně $S(\sigma \| \rho) \geq S_N(\sigma \| \rho)$, kde se rovnosti nabývá právě tehdy, když $\com{\rho}{\sigma} = 0$. Navíc, v limitě platí rovnost vždy, $S(\sigma \| \rho) = \lim_{N \to \infty} S_N(\sigma \| \rho)$. Když počítáme relativní entropii dvou stavů, stačí tedy uvažovat výrazy tvaru \eqref{eq:S_N_rel_entropie_priklad}, které nám poskytnou spodní odhad, a popřípadě provést limitu $N \to \infty$.
\end{priklad}