01MAA3:Kapitola13

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 7. 2. 2014, 18:04, kterou vytvořil Klinkjak (diskuse | příspěvky) (hack! (proč nepoužíváme balíček amsmath?))

Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201414:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201509:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201717:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 22. 2. 201600:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201614:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201718:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieAdmin 13. 1. 202516:13 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostAdmin 13. 1. 202516:13 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201722:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201711:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201712:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201713:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201718:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201710:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201514:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Derivace vyšších řádů}
 
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~každém bodě definičního
oboru. Nechť $f'$ je diferencovatelné v~$x_0$. Potom řekneme, že
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci
2. řádu).
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pro definici vyšší diferencovatelnosti je zapotřebí derivovat zobrazení z prostoru $\VEC X$ do prostoru $\L(\VEC X,\VEC Y)$. Odtud vyplývá nutnost definovat derivaci zobrazení v obecnějších prostorech --- při studiu zobrazení z $\R^n$ do $\R^m$ by bylo obtížné definovat vyšší derivace.
\item Dle definice je $(f')'(x_0)\in\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y))$. Tento prostor je lineárně izometrický s prostorem všech bilineárních zobrazení $\VEC X  \times\VEC X \mapsto\VEC Y$. Značíme $\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y))\cong\L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$.
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\index{druhá derivace}
\begin{define}
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací $f''(x_0)$ rozumíme prvek
$\L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$, tedy $f''(x_0)(\vec h,\vec
k)=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k=\left((f')(x_0)\vec k\right)'\vec h$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu
v~libovolných dvou směrech a platí
\[f_{\vec v\vec w}(x_0)=\frac{\pd^2}{\pd w\pd v}f(x_0)=
f''(x_0)(\vec w,\vec v)=
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení.
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f:X \mapsto \R$] Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h),  (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$  leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in\left[ \vec 0,\vec h\right] $ lze definovat
\[
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)
\]
\[
\begin{split}
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=
g(\vec h)-g(\vec 0)=g'(\vec \xi)\vec h=\\
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.
\end{split}
\]
Protože
\[
f'(x)=f'(x_0)+(f')'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0},
\]
platí
\[
F(t)=t\left((f')'(x_0)t\vec k+\omega(x_0+t(\vec\xi+\vec k))
\norm{t(\vec\xi+\vec k)}-\omega(x_0+t\vec\xi)\norm{t\vec\xi}\right)\vec h.
\]
(členy $f'(x_0)$ a $f'(t\vec\xi)$ se odečtou)
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h+\nu(t),
\]
kde
\[
\lim_{t\to 0}\nu(t)=0.
\]
Protože $F(t)$ je symetrické v~$\vec k$ a $\vec h$, analogickými
úpravami lze dospět ke vztahu
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k+\eta(t),
\]
takže 2. derivace je symetrická.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Matici druhé derivace jakožto matici kvadratické formy nazýváme {\bf Hessovou maticí} a její determinant {\bf Hesiánem}. Pro Hessovu matici platí polarizační identity a další vlastnosti kvadratických forem. Navíc $f''(x_0)\sim\JJ(\grad f(x_0))$ ($\sim$ značí ekvivalenci matic).
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Jestliže v~bodě $x_0$ má zobrazení $f$ spojitou derivaci $f_{\vec
v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Derivace m-tého řádu je symetrický tenzor m-tého řádu, tj.
\[
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}.
\]
Směrové derivace m-tého řádu nezávisí na pořadí derivování, pokud je zobrazení v daném bodě m-krát diferencovatelné.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení, nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \mapsto \VEC Y$ takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+\omega(x)\norm{\vec h}^m,
\]
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a
\[L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.\]
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Pro $m=1$ věta zřejmě platí díky poznámce \ref{poznamka_dif_v_bode}. Předpokládejme tedy platnost věty pro $m \in \N$. Buď $f$ zobrazení $(m+1)$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$ a zaveďme pomocné zobrazení $g: \VEC X \mapsto \VEC Y$ definované předpisem
\[
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i.
\]
Uvědomme si, že $g$ je diferencovatelné na jistém okolí bodu $\vec 0$ a že platí 
\[
g'(\vec h) = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}(f')^{(i-1)}(x_0)\vec h^{i-1} = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec h^i.
\]
Podle indukčního předpokladu nyní existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\mu: X \mapsto \VEC Y$ takové, že pro všechna $\vec h$, pro která je $x_0 + \vec h \in \H_{x_0}$, platí
\[
g'(\vec h) = \mu(x_0+\vec h)\norm{\vec h}^m,
\]
\[
\lim_{x \to x_0} \mu(x) = 0.
\]
Pro $Y \subset \R$ podle věty \ref{oprirustkufunkce} dostáváme
\[
g(\vec h) = g(\vec h)-g(\vec 0) = g'(\vec \xi)\vec h = \mu(x_0+\vec \xi)\norm{\vec \xi}^m\vec h,
\]
\[
\norm{g(\vec h)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec \xi}^m} \norm{\vec h} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec h}^{m+1},
\]
neboť $\norm{\vec \xi} \leq \norm{\vec h}$. Pro všechna $x \in \H_{x_0}$ tedy platí
\[
f(x) = \sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i-\omega(x)\norm{x-x_0}^{m+1},
\]
kde $\norm{\omega(x)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)}$ a tudíž $\lim_{x \to x_0} \omega(x) = \vec 0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{hladká funkce}
\index{analytická funkce}
\begin{define}[třídy hladkosti] 
Řekneme, že $f$ je {\bf třídy} 
\begin{enumerate}[(I)]
\setlength{\itemsep}{3pt}
\item $\c{k}$, pokud existují $f',f'',\dots,f^{(k)}\in\c{0}$, tj. $f$ je {\bf spojitě diferencovatelná do řádu $k$};
\item $\c{\infty}$, pokud má spojité derivace všech řádů, tj. $f$ je {\bf hladká};
\item $\c{\omega}$, pokud její Taylorův rozvoj konverguje k $f$ a $f\in\c{\infty}$, tj. $f$ je {\bf analytická}.
\end{enumerate}
Pokud se neuvede explicitně množina, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Všeobecně platí
\[
\c{0}\supset\c{1}\supset\c{k}\supset\dots\supset\c{\infty}\supset\c{\omega}.
\]
Méně zřejmé je, že ani jedna inkluze není rovností.
\end{remark}
 
\begin{example}
Funkce $f:\R^n\mapsto\R$ zadaná
\[
f(x) = \begin{cases}
	e^{1/(\norm{x}^2-1)} & \norm x < 1    \\
	0                    & \norm x \ge 1.
\end{cases}
\]
je hladká na celém $\df f$, tj. $f\in\c{\infty}(\R^n)$. Platí však $f^{(n)}(x)=0$ --- její Taylorův rozvoj v okolí nuly tedy odpovídá všude nulové funkci, tj.  $f\not\in\c{\omega}(\R^n)$. Tuto funkci doc. Krbálek nazývá {\bf Cimrmanovou buřinkou}.
\end{example}
 
\begin{theorem}[Taylor]
Buď $f:X\mapsto\R$ taková, že $f\in\c{0}\left[ x_0,x\right]$ a $f\in\c{m+1}(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+
\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}.
\]
\begin{proof}
Definujme funkci
\[
\phi(t)=f(x_0+t(x-x_0)).
\]
Pak
\[
\phi'(t)=f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0),\quad
\phi'(0)=f'(x_0)(x-x_0),
\]
\[
\phi''(0)=f''(x_0)(x-x_0)^2,\quad
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.
\]
$\phi(t)$ je zobrazení $\R\mapsto\R$, lze tedy uplatnit klasickou
verzi Taylorovy věty:
\[
\phi(1)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\phi^{(i)}(0)+\frac{\phi^{(m+1)}(\vartheta)}{(m+1)!}.
\]
\end{proof}
\end{theorem}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola13&oldid=5250“