01MAA3:Kapitola1
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 21. 9. 2013, 21:40, kterou vytvořil Nguyebin (diskuse | příspěvky) (Přidání přehledu značení.)
| [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
| PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
| ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
| součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:09 | ||
| Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
| Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 12:36 | header.tex | |
| Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 08:50 | preamble.tex | |
| Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 16:45 | kapitola1.tex | |
| Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 21. 2. 2016 | 23:42 | kapitola2.tex | |
| Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 13:14 | kapitola4.tex | |
| Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 17:32 | kapitola5.tex | |
| Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 21:08 | kapitola6.tex | |
| Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:14 | kapitola7.tex | |
| Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 21:51 | kapitola8.tex | |
| Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 10:28 | kapitola9.tex | |
| Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:08 | kapitola10.tex | |
| Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:43 | kapitola11.tex | |
| Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 17:50 | kapitola12.tex | |
| Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 09:50 | kapitola13.tex | |
| Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 13:31 | kapitola14.tex | |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section*{Značení} \vspace{0,5cm} \begin{tabular}{| c | p{250pt} |} \hline \textbf{Značka} & \textbf{Popis} \\ \hline\hline $\RR$ & $\R\cup \left\lbrace -\infty, +\infty \right\rbrace$ \\ $\CC$ & $\C\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$ \\ $\mathbbm{X}_0$ & $\mathbbm{X} \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace$, kde $\mathbbm{X}$ je číselná množina \\ $\n$ & $\left\lbrace m \in \N \, \vert \, m \leq n \right\rbrace$ \\ $\df f $ & definiční obor zobrazení $f$ \\ $\obr f $ & obor hodnot zobrazení $f$ \\ $\P(X)$ & potenční množina (množina všech podmnožin $X$) \\ $\posl{x}$ & posloupnost jdoucí od $1$ do $+\infty$ \\ $\left(c,d\right)$ & otevřený interval \\ $\left[c,d\right] $ & uzavřený interval \\ $\sim$ & ekvivalence matic, množin či funkcí \\ $\to$ & bodová konvergence \\ $\mapsto$ & přiřazení \\ \hline $\vn A$ & vnitřek množiny $A$ \\ $\hr A$ & hranice množiny $A$ \\ $\uz A$ & uzávěr množiny $A$ \\ $\iz A$ & izolátor množiny $A$ \\ $\dot A$ & derivace množiny $A$ \\ $\uz A^Y$ & množina $A$ uzavřená v množině $Y$ \\ $\vn A^Y$ & množina $A$ otevřená v množině $Y$ \\ \hline $\VEC V = V^n$ & lineární vektorový prostor dimenze $n$ \\ $\covec V=V^\# = V_n $ & lineární kovektorový (duální) prostor dimenze $n$ \\ $\L(\VEC X,\VEC Y)$ & prostor lineárních zobrazení z $\VEC X$ do $\VEC Y$ \\ $\vert b \ra = \vec b = (b^1,b^2,\dots ,b^r)^\text{T}$ & ket = vektor (kontravariantní tenzor 1.řádu) = sloupcový vektor \\ $\la a \vert = \covec a = a^\# =(a_1,a_2,\dots ,a_r)$ & bra = kovektor (kovariantní tenzor 1.řádu) = lineární funkcionál (1-forma) = řádkový vektor \\ $\covec a \vec b = \la a \vert b \ra$ & akce kovektoru na vektor (funkcionál v bodě) = braket \\ $\la \vec a, \vec b \ra$ & skalární součin vektorů \\ $\norm{\vec x}_p$ & $p$--norma vektoru $\vec x$ \\ \hline $\c p(M)$ & třída všech funkcí majících na množině $M$ spojitou derivaci až do řádu $p$ \\ $\pd_k = \frac{\pd}{\pd x_k} $ & operátor parciální derivace podle $k$--té složky\\ $\im$ & imaginární jednotka \\ \hline \end{tabular} \vspace{0,5cm} \begin{remark} \ \begin{enumerate} \item V~textu budeme používat lehce jiné značení než z přednášky a na~něž jste byli doposud zvyklí ze středních škol. Naše značení je však bližší tomu mezinárodnímu, s~nímž se potkáte ve vyšších ročnících, a~budete se tak snáze adaptovat. \item Braketovou notaci ani tenzorové názvosloví v~textu používat nebudeme, je však užitečné je zmínit, abyste si dali do kontextu dosavadní matematickou látku s~fyzikální aplikací. \item Zápisy $\la \vec a, \vec b \ra$ a $\la a \vert b \ra$ díky Riezsově větě (viz LAA2) znamenají totéž. Z~fyzikálních důvodů je však užitečné mezi těmito zápisy rozlišovat, ač se v~prvním ročníku preferuje braketový zápis a míní se jím skalární součin. Ve starší literatuře se dále můžete potkat se~značením $( \vec a, \vec b)$, tento zápis se však dnes považuje za zastaralý. \end{enumerate} \end{remark} \clearpage \section{Funkční posloupnosti} \index{limitní funkce} \index{bodová limita} \begin{define} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině $A\subset\C$. Nechť dále pro každé $z\in A$ posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje. Potom funkci $f$ definovanou na množině $A$ předpisem $z\mapsto\lim_{n\to\infty}f_n(z)$ nazýváme {\bf limitní funkcí posloupnosti} $\posl{f_n}$ (též {\bf bodovou limitou posloupnosti}). \end{define} \index{stejnoměrná konvergence} \begin{define} Buď $f$ funkce a $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí definovaných na množině $A$. Řekneme, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ {\bf konverguje k~$f(z)$ stejnoměrně na množině $A$}, jestliže ke každému kladnému číslu $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna přirozená $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí $\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon$. \end{define} \begin{theorem} Posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje k~$f(z)$ stejnoměrně na množině $A$ právě tehdy, když \[\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\right)=0.\] \begin{proof} Přímo z~definice dostáváme: \[ \begin{split} f_n(z)\sk{A}f(z) & \iff (\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(\forall z\in A) (\forall n>n_0)(\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon)\iff \\ &\iff (\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(\forall n>n_0) \left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\le\epsilon\right)\iff \\ &\iff \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{z\in A}\abs{f_n(z)-f(z)}\right)=0. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Bolzano, Cauchy] \label{bcfp} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině $A$. Potom posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje stejnoměrně na množině $A$ (k~nějaké limitní funkci) právě tehdy, když pro každé kladné číslo $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ takové, že pro všechna přirozená $n>n_0$, pro všechna přirozená $p$ a pro všechna $z\in A$ platí: \[\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\epsilon\] \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item $(\Rightarrow)$ Nechť $f_n(z)\sk{A}f(z)$ a zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí: $\abs{f_n(z)-f(z)}<\frac\epsilon 2$. Odtud dostáváme pro všechna $n>n_0$, pro všechna $z\in A$ a pro všechna přirozená $p$: \[\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}\le\abs{f_{n+p}(z)-f(z)}+\abs{f_n(z)-f(z)}<\epsilon.\] \item ($\Leftarrow$) Předpokládejme, že pro libovolné $\epsilon>0$ existuje $n_0$ tak, že pro všechna $n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ platí: \begin{equation} \label{e3-4-1} \abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\frac\epsilon 2. \end{equation} Pro libovolné pevné $z\in A$ odtud plyne, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje. Buď $f$ limitní funkce posloupnosti $\posl{f_n}$ na množině $A$. Přejdeme-li nyní v~nerovnosti \eqref{e3-4-1} k~limitě pro $p\to\infty$, vidíme, že pro všechna $\epsilon>0$ existuje $n_0$ tak, že pro všechna $n>n_0$ a všechna $z\in A$ platí: \[\abs{f(z)-f_n(z)}\le\frac\epsilon 2<\epsilon\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{lokálně stejnoměrná konvergence} \begin{define} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině $A$. Řekneme, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje na množině $A$ {\bf lokálně stejnoměrně} (k~$f(z)$), jestliže ke každému bodu $z\in A$ existuje okolí $\H_z$ bodu $z$ takové, že posloupnost $\posl{f_n(z)}$ konverguje stejnoměrně (k~$f(z)$) na množině $A\cap\H_z$. \end{define} \index{stejně omezená posloupnost} \begin{define} $\posl{f_n}$ se nazývá {\bf stejně omezená} na množině $A$, existuje-li kladné číslo $K$ takové, že pro všechna $n\in \N$ a všechna $z\in A$ platí $\abs{f_n(z)}<K$. \end{define} \begin{theorem}[o~limitě] \label{olimite-p} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině $A\subset\C$ a nechť \begin{enumerate}[(I)] \item $z_0\in A'$; \item Pro všechna přirozená $n$ existuje $\lim_{z\to z_0,z\in A}f_n(z)=a_n$; \item $f_n(z)\sk{A}f(z)$. \end{enumerate} Potom platí: \begin{enumerate}[(i)] \item Posloupnost $\posl{a_n}$ konverguje; \item Existuje $\lim_{z\to z_0,z\in A}f(z)$; \item Limity v~bodech (i) a (ii) jsou si rovny. \end{enumerate} \begin{vulgar} \[ \lim_{n\to\infty}\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)= \lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z). \] \end{vulgar} \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Z~(III) a z~věty \ref{bcfp} plyne, že k~libovolnému $\epsilon>0$ existuje $n_0$ tak, že pro všechna přirozená $n>n_0$, všechna $p\in\N$ a všechna $z\in A$ platí $\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}<\frac\epsilon 3$. Zvolme nyní pevně $n>n_0$ a $p\in\N$. Potom z~(II) plyne existence okolí $\H_z$ bodu $z_0$ tak, že pro všechna $z\in A\cap\H_z\sm\{z_0\}$ bude platit $\abs{f_n(z)-a_n}<\frac\epsilon 3$ i $\abs{f_{n+p}-a_{n+p}}<\frac\epsilon 3$. Tudíž \[\abs{a_{n+p}-a_n}\le\abs{f_{n+p}(z)-a_{n+p}}+\abs{f_{n+p}(z)-f_n(z)}+\abs{f_n(z)-a_n}< \frac\epsilon 3+\frac\epsilon 3+\frac\epsilon 3=\epsilon.\] \item Označme $a=\lim_{n\to\infty}a_n$ a zvolme $\epsilon>0$. Potom z~(III) a již dokázaného tvrzení (i) plyne existence $n_0$ takového, že pro všechna $n>n_0$ platí: $\abs{f_n(z)-f(z)}<\frac\epsilon 3$ pro všechna $z\in A$ a $\abs{a_n-a}<\frac\epsilon 3$. Zvolme pevně $n>n_0$. Potom z~(II) existuje okolí $\H_{z_0}$ bodu $z_0$ takové, že pro všechna $z\in A\cap\H_{z_0}\sm\{z_0\}$ je $\abs{f_n(z)-a_n}<\frac\epsilon 3$ a tudíž \[\abs{f(z)-a}<\abs{f(z)-f_n(z)}+\abs{f_n(z)-a_n}+\abs{a_n-a}<\epsilon.\] Dokázali jsme tak, že $\lim_{z\to z_0,z\in A}f(z)=a$, tj. tvrzení (ii) i~(iii). \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~spojitosti] \label{ospojitosti-p} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na množině $A\subset\C$ a spojitých v~bodě $z_0\in A$ (vzhledem k~$A$). Nechť dále posloupnost $\posl{f_n(z)}$ stejnoměrně konverguje na množině $A$ k~$f(z)$. Potom funkce $f$ je spojitá v~bodě $z_0$ vzhledem k~$A$. \begin{proof} V~každém izolovaném bodě množiny $A$ je (dle definice spojitosti) funkce $f$ spojitá. Předpokládejme proto, že $z_0$ je hromadný bod množiny $A$. Potom jsou splněny všechny předpoklady věty \ref{olimite-p} a tudíž platí: \[\lim_{n\to\infty}\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)= \lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z). \] Ze spojitosti funkcí $f_n$ v~bodě $z_0$ vzhledem k~množině $A$ odtud plyne: \[ \lim_{n\to\infty}f_n(z_0)= \lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\lim_{n\to\infty}f_n(z) \text{, tj. } f(z_0)=\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f(z). \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~derivaci] \label{oderivaci-p} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na omezeném a otevřeném intervalu $\J\subset\R$ takových, že platí: \begin{enumerate}[(I)] \item Existuje $c\in\J$ tak, že posloupnost $\posl{f_n(c)}$ konverguje; \item Posloupnost $\posl{f_n'(x)}$ konverguje stejnoměrně na $\J$. \end{enumerate} Potom platí: \begin{enumerate}[(i)] \item Posloupnost $\posl{f_n(x)}$ konverguje stejnoměrně na $\J$; \item Limitní funkce $f$ posloupnosti $\posl{f_n}$ je diferencovatelná na intervalu $\J$; \item Derivace $f'$ je limitní funkcí posloupnosti $\posl{f_n'}$. \end{enumerate} \begin{vulgar} \[ \left(\lim_{n\to\infty} f_n\right)' = \lim_{n\to\infty} f_n' \] \end{vulgar} \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item Zvolme $\epsilon>0$. Z~bodů (I) a (II) plyne existence $n_0$ takového, že pro všechna $n>n_0$ a pro všechna $p\in\N$ $\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}<\frac\epsilon 2$ a $\abs{f'_{n+p}(y)-f'_n(y)}<\frac\epsilon{2\abs{\J}}$ pro všechna $y\in\J$. Buď $n>n_0$ a $p\in\N$; potom pro všechna $x\in\J$ je \[ \begin{split} \abs{f_{n+p}(x)-f_n(x)}&\le\abs{(f_{n+p}(x)-f_n(x))-(f_{n+p}(c)-f_n(c))}+ \abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}=\\ & = \abs{(f_{n+p}-f_n)(x)-(f_{n+p}-f_n)(c)}+\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}=\\ & = \abs{x-c}\,\abs{(f_{n+p}-f_n)'(\xi)}+\abs{f_{n+p}(c)-f_n(c)}<\\ & < \abs{\J}\frac{\epsilon}{2\abs{\J}}+\frac\epsilon 2=\epsilon, \end{split} \] kde $\xi$ je podle věty o~přírůstku funkce aplikované na funkci $f_{n+p}-f_n$ vnitřní bod intervalu o~krajních bodech $x$ a $c$. Tím je dokázáno tvrzení (i). \item Tvrzení (ii) a (iii) dokážeme pomocí věty \ref{olimite-p}. Zvolme $x_0\in\J$ a položme $A=\J\sm\{x_0\}$, \[g_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}\text{ pro všechna $x\in A$ a $n\in\N$.}\] Potom pro všechna $x\in A$ a všechna $n,p\in\N$ existuje (podle věty o~přírůstku funkce) v~otevřeném intervalu o~hraničních bodech $x_0,x$ bod $\xi$ tak, že platí \begin{multline*} \abs{g_{n+p}(x)-g_n(x)}=\frac1{\abs{x-x_0}}\abs{(f_{n+p}-f_n)(x) - (f_{n+p}-f_n)(x_0)}= \\ =\abs{(f_{n+p}-f_n)'(\xi)}=\abs{f_{n+p}'(\xi)-f_n'(\xi)}. \end{multline*} Protože posloupnost $\posl{f'(x)}$ konverguje na intervalu $\J$ stejnoměrně, plyne odtud, že také posloupnost $\posl{g_n(x)}$ stejnoměrně konverguje na množině $A$. Přitom platí: \begin{enumerate}[(I)] \item $x_0\in A'$; \item pro všechna $n\in\N$ existuje $\lim_{x\to x_0,x\in A}g_n(x)=f_n'(x_0)$; \item \[g_n(x)\sk{A}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\] \end{enumerate} Můžeme tedy užít věty \ref{olimite-p}. Podle ní existuje \[\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] (tj. existuje derivace funkce $f$ v~bodě $x_0$) a platí \[f'(x_0)=\lim_{\substack{x\to x_0\\x\in A}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{n\to\infty} f_n'(x_0).\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~integraci] \label{ointegraci-p} Buď $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí (riemannovsky) integrabilních na intervalu $[a,b]$. Nechť dále posloupnost $\posl{f_n(x)}$ stejnoměrně konverguje na intervalu $[a,b]$ k~$f(x)$. Potom limitní funkce $f$ je na intervalu $[a,b]$ (riemannovsky) integrabilní a platí: \[\int_a^b f(x)\dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\dx\] \begin{proof} Buď $\epsilon\in\Rp$. Protože $f_n(x)\sk{[a,b]}f(x)$, existuje $n_0$ tak, že pro všechna $n>n_0$ a všechna $x\in [a,b]$ platí: \begin{equation} \label{e4-8-1} \abs{f_n(x)-f(x)}<\frac{\epsilon}{4(b-a)}. \end{equation} Zvolme pevně $n>n_0$. Potom z~existence Riemannova integrálu funkce $f_n$ na intervalu $[a,b]$ plyne, že existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $\delta$-rozdělení $\sigma$ intervalu $[a,b]$ je \begin{equation} \label{e4-8-2} \Omega(f_n,\sigma)<\frac\epsilon2. \end{equation} Přitom klademe $\Omega(f_n,\sigma)=S_n(\sigma)-s_n(\sigma)$, kde $S_n(\sigma)$ resp. $s_n(\sigma)$ je horní resp. dolní Darbouxův integrální součet funkce $f_n$ na intervalu $[a,b]$ při rozdělení $\sigma$. Značme dále $M_n^i$ resp. $m_n^i$ suprémum resp. infimum funkce $f_n$ na $i$-tém částečném intervalu rozdělení $\sigma$. Analogické značení (ovšem bez indexu $n$) užijeme pro limitní funkci $f$. Potom podle \eqref{e4-8-1} je pro všechna $x$ z~$i$-tého částečného intervalu rozdělení $\sigma$ splněna nerovnost : \[f_n(x)-\frac{\epsilon}{4(b-a)}<f(x)<f_n(x)+\frac{\epsilon}{4(b-a)}\] a tudíž \[m_n^i-\frac{\epsilon}{4(b-a)}\le m^i\le M^i\le M_n^i+\frac{\epsilon}{4(b-a)}.\] Po vynásobení poslední nerovnosti délkou $i$-tého částečného intervalu a sečtení přes všechny částečné intervaly rozdělení $\sigma$ obdržíme: \[s_n(\sigma)-\frac\epsilon4\le s(\sigma) \le S(\sigma)\le S_n(\sigma)+\frac\epsilon4\] a tedy \[S(\sigma)-s(\sigma)\le S_n(\sigma)-s_n(\sigma)+\frac\epsilon2,\] tj. \[\Omega(f,\sigma)\le\Omega(f_n,\sigma)+\frac\epsilon2.\] k~libovolnému $\epsilon>0$ proto existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $\delta$-rozdělení $\sigma$ intervalu $[a,b]$ platí (dle \eqref{e4-8-2}) $\Omega(\sigma, f)<\epsilon$. Funkce $f$ je tedy (riemannovsky) integrabilní na intervalu $[a,b]$; přitom platí pro $n>n_0$: \begin{multline} \abs{\int_a^b f_n(x)\dx-\int_a^b f(x)\dx} = \abs{\int_a^b (f_n(x)-f(x))\dx} \le \\ \le \int_a^b\abs{f_n(x)-f(x)}\dx \le \int_a^b\frac{\epsilon}{4(b-a)}\dx=\frac\epsilon4<\epsilon, \end{multline} tj. \[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\dx=\int_a^b f(x)\dx.\] \end{proof} \end{theorem}
