01VYMA

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

---

Součásti dokumentu 01VYMA

součást	akce		popis	poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 01VYMA		Drtikol	7. 6. 2011	11:40
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků		Admin	7. 9. 2015	13:47
Header	editovat	Hlavičkový soubor		Drtikol	7. 6. 2011	11:50	header.tex
Kapitola1	editovat	Fourierovy řady		Drtikol	7. 6. 2011	11:44	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	Komplexní čísla, Funkce komplexní proměnné		Johndavi	18. 6. 2016	23:19	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Laurentovy řady		Johndavi	18. 6. 2016	23:31	kapitola3.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01VYMA}
 
\input{}
 
\title{VYMA}
\author{The }
%\date{} % Activate to display a given date or no date (if empty),
         % otherwise the current date is printed
 
\begin{document}
 
\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage
 
 
\section{Fourierovy řady}
\section {Komplexní čísla}
\section{Funkce komplexní proměnné}
\subsection{Základní pojmy}
\defi{Funkce komplexní proměnné}  Řekněme, že na množině $M \cC$ je dána {\it funkce $f$ komplexní proměnné}, je-li každému $z\zC$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\zC$. Potom značíme $ w=f(z)$ $\forall z \in M$.
 
\pozn{Reálná a imaginární složka FKP}
	$z=\reca\, z + i \, \imca\, z$\\
	$w=\reca\, w + i \, \imca\, z$\\
Pro komplexní FKP $f$  $\exists u,v: \R^2 \rightarrow \R$ takové, že
 $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$, $x,y \zR$\\
$ u(x,y)=\reca f(x+iy) $ reálná a  \\
$ v(x,y)=\imca f(x+iy)  $ imaginární složka FKP \\
 
 
\pr{} $f(z)=z^2$\\
$ z = x+iy$, kde $x,y \zR$\\
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ i \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \R^2 \Leftrightarrow f $ je definována $\forall z \zC$.
 
\defi{Komplexní nekonečno} %Limita a spojitost FKP\\
Rozšíříme \textbf{C} o komplexní nekonečno $  \overline{\textbf{C}} = \textbf{C} \cup \{\infty\}  $\\
operace s nekonečnem:
\begin{itemize}
	\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}}$
	\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \zC \backslash \{0\}$ % PRUH???
	\item $ \frac {z}  {\infty} = 0 \qquad \forall z \zC$
	\item $ \frac {z}  {0} = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}} \backslash \{0\}$
\end{itemize}
 
nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $ \infty + \infty,\  0 \cdot \infty,\  \frac{0}{0},\  \frac{\infty}{\infty}$\\
 
 
\subsection{Limita a spojitost FKP}
 
\defi{Okolí bodu}
$\forall \varepsilon > 0$ rozumíme $\varepsilon$-okolí bodu $z_0 \zC$ množinu $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| < \varepsilon \}$\\
$\varepsilon$-okolí nekonečna: $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| > \varepsilon \}$\\
Nechť $z_0\zCp$ je hromadný bod definičního oboru fce $f$. Řekneme, že fce $f$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \zCp$ a píšeme $ w=\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) $, právě tehdy když \\
$$
  \left( \forall H(w) \right)
 \left( \exists H(z_0) \right)
 \left( \forall z \in H(z_0) \cap D_f \backslash \{z_0\} \right)
 \left( f(z) \in H(w) \right)  \Leftrightarrow
$$
 
$$
 \Leftrightarrow
 \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
 \left(  \exists \delta > 0 \right)
 \left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right)
 \left( |f(z)-w| < \varepsilon \right)
$$
 
Speciálně pro:
\begin{itemize}
\item $
		 z\zC, w=\infty \\   \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
	 	\left(  \exists \delta > 0 \right)
		\underbrace{ \left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right) }_{z \in U^*_\delta (z_0)}
	 	\underbrace{\left( |f(z)-w| > \varepsilon \right)}_{\rightarrow \infty}
	$
\item $
		 z=\infty, w\zC \\   \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
	 	\left(  \exists \delta > 0 \right)
		 \left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right)
	 	\left( |f(z)-w| < \varepsilon \right)
	$
 
\item $
		 z=\infty, w=\infty \\   \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
	 	\left(  \exists \delta > 0 \right)
		 \left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right)
	 	\left( |f(z)-w| > \varepsilon \right)
	$
 
 
\end{itemize}
 
\pozn{} Speciálně pro posloupnosti $D_f = {\bf N} \quad (a_n)_{n \in {\bf N}}: {\bf N} \rightarrow {\bf C}$\\
$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}=a \zCp \Leftrightarrow	  \left( \forall H(a) \right)
								 \left( \exists n_0 \zR \right)
								 \left( \forall n \in {\bf N}, n > n_0) \right)
								 \left( a_n \in H(a) \right)
$
 
\pozn{} Podobně jako v \R platí v \C věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v \C.\\
Narozdíl od \R  platí v \C :\\
\centerline{ $ z_n \rightarrow \infty \Leftrightarrow |z_n| \rightarrow + \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Rightarrow$" }
\centerline{ $ z_n \rightarrow 0 \Leftrightarrow \frac {1} {z_n} \rightarrow  \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Leftarrow$"}
 
\defi{} Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $z_0 \zC$, pokud je v $z_0$ definována a platí $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) -=  f(z_0)$.\\
Funkce definovaná na $M\cC \Leftrightarrow$ je spojitá v každém bodě  $z_0 \in M$.
 
\veta{} Funkce je spojitá v bodě  $z_0 \zC \Leftrightarrow$ její složky $u,v$ jsou spojité v funkce v bodě $ [x_0,y_0] \zR^2$, kde $z_0=x_0+iy_0$.
 
\pr{} $f(z)=\frac 1 z \qquad D_f = \C \backslash \{0\}$ \\
$$f(x+iy)= \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$
 
 
$$ u(x,y) =\frac{x}{x^2+y^2}; \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2}$$
 
 
$$x^2+y^2 = 0 \Leftrightarrow [x,y]=[0,0] \Leftrightarrow z=0$$
$ {u \choose v} :{\bf R^2} \rightarrow {\bf R^2} $ je spojité $\forall [x,y] \in {\bf R^2} \backslash [0,0] \Leftrightarrow$ f je spojité $ \forall z \zC \backslash \{0\}$
 
\pr{} $ \arg z \qquad \forall z \zC \quad \arg z \zR \in (-{\rm \pi},{\rm \pi}>$\\
$\displaystyle \cos \varphi = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \R$
 
$$
  \arg z = 	\begin{cases}
			\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
			- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
		\end{cases}
$$
 
 
$$ u(x,y) = \begin{cases}
			\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
			- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
	\end{cases} $$
 
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \R$ }
 
\begin{itemize}
\item $x>0, y=0$\\
$ \lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]}  u(x,y)=0$
 
\item $x_0 <0,y_0=0$\\
$\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)={\rm \pi}$
 
\item $y_0>0$\\
$\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=-{\rm \pi}$
 
\end{itemize}
 
{\large Celkově limita neexistuje}\\
$\arg z$ je spojitá na $\C \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta) | \alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má
$\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2{\rm \pi}$.
 
\pr{} Fce $f(z)=|z|$ je spojitá funkce na \C.
 
 
 
\subsection {Elementární FKP}
 
\defi{} \begin{itemize}
\item $ \displaystyle e^z = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
\item $\displaystyle \cos z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
\item $\displaystyle  \sin z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
\end{itemize}
 
\par
Za pomoci těchto definic můžeme získat {\it Eulerův vzorec}:\\
 $ \displaystyle e^{iz}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{i^n z^n}{n!} =  \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + i \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos z + i \sin z \qquad \forall z \zC$\\
$\Rightarrow $ každé $z \zC$ lez psát ve tvaru $z=|z|e^{i\phi}$, kde $\varphi \in$ Arg $(z)$
 
$$e^{iz} = \cos z + i \sin z \qquad  e^{-iz} = \cos z - i \sin z $$
sečtením těchto dvou rovností získáme:
$$ \cos z = \frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2} \qquad \cosh z = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}$$
odečtením získáme:
$$ \sin z = \frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad \sinh z = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}$$
 
 
\veta{} $ \displaystyle \forall z,w \zC: \quad e^{z+w}=e^z e^w$\\
Důkaz: $ \displaystyle  e^z e^w= \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left(  \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)
		= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{z^n}{n!} \frac{w^n-k}{n-k!} = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} 			\sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w}	$
 
\pr{Peridiciota exponenciály}
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}\\$
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y) \\$
$|e^z| = | e^x e^{iy}|=  |e^x|\underbrace{|e^{iy}|}_{1}=e^x$ \\
 Hodnota  $|e^{iy}|=1$, protože $e^{iy}$ je bod jednotkové kružnice v komplexní rovině.\\
$ \displaystyle  |e^z|=e^{\reca z}$\\
$y=\imca z \in $Arg$ (e^z)$\\
$$ \Rightarrow e^{z+ 2k{\rm \pi} i}=e^z
		\qquad \forall z \zC, \forall k \in {\bf Z}$$
\centerline{\emph{Exponenciála je v\C periodická funkce s periodou $2{\rm \pi} i$}}
 
\pr{Komplexní logaritmus}
	Pro zadané $w \zC$ řešte rovnici $e^z=w$ \\
	hledáme množinu $Ln (w) = \{ z \zC, e^z = w\}=?$\\
	$w=|w|e^{i\phi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\
	$z$ hledáme ve tvaru $x+iy,\quad x,y \zR$\\
	$e^z=e^x e^{iy}=w \qquad$ na rovnici aplikuji abs.hodnotu\\
	$e^x=|w| \quad \Rightarrow \quad x=\ln |w| $\\
	$y \in Arg (w)$\\
	$z=x+iy \in \ln |w| + i$ Arg$ (w)$\\
	$$\Rightarrow  Ln (w) = \ln |w| + i \mbox{Arg} (w) $$
	Fci $e^z$ nelze invertovat na \C, protože není na \C prostá. V množině $Ln(w)$ existuje právě jedno číslo 		$z$ takové, že $\imca z \in (-{\rm \pi}, {\rm \pi}>$. Toto $z$ značíme $\ln w$ (přirozený logaritmus čísla $w$) = \emph{hlavní 	hodnota logaritmu}.
$$\ln w = \ln |w| + i \arg (w)$$
 
\pozn{} Funkce $\ln w$ je definovaná $\forall w \zC \backslash \{0\}$.
 
\pozn{} Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln w$, ale i $z_k= \ln w + 2k{\rm \pi} i, \quad k \in {\bf Z}$
 
\pozn{} $Ln (z\cdot w)= Ln(z)+Ln(w)$\\
	$\ln (z\cdot w)=\ln (z) + \ln(w) + 2k{\rm \pi} i, \quad$ pro \emph{vhodně} zvolené $k$.
 
\defi{Obecná mocnina}
	$ \displaystyle  z^w:=e^{w\ln z} \quad \forall z,w \zC, z \neq 0$
 
\pr{} $ \displaystyle  \sqrt i = e^{{1 \over 2} \ln z} = \exp \left( {{1 \over 2}\cdot 1\cdot i {{\rm \pi} \over 2}}\right)= e^{i{{\rm \pi} \over 4}}$
 
\pozn{} Rovnice $ z^n=w$ má n řešení v \C ve tvaru $$  z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k{\rm \pi}}{n}i} \quad k \in \hat{n} .$$
 
 
 
\subsection {Derivace FKP}
 
\defi{}
Nechť funkce $f$ komplexní proměnné je definována na množině $M \cC$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní 		\footnote{stačilo by, aby byl hromadný} bod $D_f$. Existuje-li konečná limita \\
$$
		\lim\limits_{z \rightarrow_M z_0} \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0},
		 $$
potom říkáme, že $f$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$.\\
Pokud je $f$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} v $z_0$.\\
Pokud je $f$ diferencovatelná v každém bodě množiny $M$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} na $M$.
 
\pozn{} Je-li $f$ diferencovatelná v $z_0 \zC$ pak $f'(z_0)$ bude stejná, pokud $z \rightarrow z_0$ po libovolné cestě.
 
\par Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$
	\begin{enumerate}
		\item $z = x_0 + \Delta x + i y_0 \qquad \Delta x \zR \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\
			$f(x+iy)=u(x+iy)+i\cdot v(x+iy) \qquad u,v: {\bf R^2} \rightarrow \R$\\
			$$f' (z_0)=f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+i\cdot 	v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,iy_0)-v(x_0,iy_0)}{x_0+\Delta x + i y_0 - x_0 - iy_0}=$$   $$=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} 	\left(
	\frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - i \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x}
\right)=$$ $$= \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac {\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0) $$
 
		\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \zR$ přibližování $\updownarrow\\$
			$$f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+i\cdot v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-v(x_0,y_0)}{x_0+iy_0+i\Delta y-x_0-iy_0}=$$   $$
			=\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0}
			\left(
		\frac 1 i \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac i i \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y}
			\right) = $$
			$$= \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0)$$
	\end{enumerate}
 
	Když je $f$ diferencovatelná, tak 1) musí být stejná jako 2) $\Rightarrow$ musí se rovnot reálné i imaginární části:\\
 
	$$  \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$$
	$$  \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$$	
	Tyto dvě rovnosti se nazývají \emph{Cauchy-Riemannovy podmínky}.
 
\veta{Cauchy Riemannova}  % 343
Funkce $\C \rightarrow \C$ má v bodě $z_0=(x_0+iy_0), x_0,y_0 \zR$ derivaci, tehdy a jen tehdy mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+iy)$ a $v(x,y)=\imca f\left(x+iy\right)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky.
 
\pr{} $$f(z)=e^{\overbrace{x+iy}^{z}}=e^x(\cos y + i \sin y)$$
	$$u(x,y)=e^x \cos y$$
	$$v(x,y)=e^x \sin y$$
 
\begin{center}
$$ \mbox{spojité } \forall[x,y]\zR^2
	\begin{cases}
		\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^x \cos y \\
		 \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -e^x \sin y \\
		 \frac{\partial v}{\partial x}(x,y) =e^x \sin y \\
		  \frac {\partial v}{\partial y}(x,y)=e^x \cos y
	\end{cases} $$
\end{center}  $\Rightarrow u,v$ mají totální diferenciál $\forall [x,y]\zR^2$\\
		Cauchy-Riemannovy podmínky $  \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) \wedge \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$ jsou splněny. Tedy $f$ je diferencovatelná všude v\C.
		$$f'(x+iy)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos y + i\cdot e^x \sin y=e^x(\cos y + i \sin y)=e^z=f'(z) $$
 
\pr{} Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$
	$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$
	$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$
	$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$
	$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
	$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
	$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
	$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
	Jsou definované a spojité $\forall [x,y] {\bf R^2} \backslash \{[0,0]\}$. Obecně neplatí  Cauchy-Reimannovy podmínky, ale pro určitá $x,y$ jsou splněny. První $\Leftrightarrow x = \pm y$, druhá $xy=-xy \Leftrightarrow 2xy=0 \Leftrightarrow x=0 \vee y=0$. \\
	$$ \exists f'(0)=0$$
 
\veta{} Nechť $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $z \zC$ a nechť $c \zC$. Potom:
	$$(f\pm g)'(z)=f'(z)\pm g'(z)$$
	$$(cf)'(z)=cf'(z)$$
	$$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z) $$
	$$\left({f \over g}\right)'(z)= \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \hbox{pokud} \, g(z) \neq 0$$
 
\veta{} Pokud je $f$ diferencovatelná v bodě $z\zC$, pak je i v bodě $z$ spojitá.
 
\pozn{} Obrácené tvrzení neplatí.
 
\veta{O derivaci složené funkce} Je-li $g$ diferencovatelná v $z\zC$ a $f$ je diferencovatelná v $g(z)$, potom $f\circ g$ je diferencovatelná v $z$ a platí: $$(f\circ g)'(z)=f'(g(z))\cdot g'(z)$$
 
\veta{O derivaci inverzní funkce} Nechť $f$ je holomorfní v oblasti $\Omega, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}$ inverzní funkce k funkce $f$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}$ je holomorfní na $\Omega '$  a platí: $$ \left( f^{-1} \right) (z)=\frac {1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega '$$
 
\pr{} $f(z)= \ln (z) \dots $ inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\zC$.
	$$g'(z)=\left[ f^{-1}(z) \right]'$$ $f$ je holomorfní na M
	$$ e^z = 0 \qquad z=x+iy \qquad x,y \zR $$
	$$e^x e^{iy}=  \underbrace{e^x}_{\neq 0} \underbrace{(\cos y + i \sin y)}_{\neq 0}=0 \qquad \forall z \in M $$
	$$\Omega = M$$
	$$ \Omega ' \subset f(M) = \C \backslash \{0\}$$
	$$g(z)=\ln (z)$$ definovaná a spojitá na $\Omega '$
	$$ \Rightarrow g'(z)= \frac {1}{e^{\ln z}}= \frac 1 z \qquad z \neq 0 \quad \forall z \in \C \backslash P_{\rm \pi}$$
	$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_{\rm \pi}$ je logaritmus nespojitý.
 
 
 
\subsection {Integrál FKP}
\defi{Integrál komplexní funkce reálné proměnné} Pro funkci $f: \R \rightarrow \C$ definujeme:
	$$ \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^b \reca f(x) {\rm d}x + i \int_a^b \imca f(x) {\rm d}x$$
 
\defi{}  \begin{itemize}
	\item	Křivkou v\C nezveme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $<a,b> \rightarrow \C$\\
	\item	Křivku $\varphi$ nazveme \emph{uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$\\
	\item	Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou} pokud $\varphi$ prosté na $<a,b>$ - sama sebe neprotíná\\
	\item	Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou uzavřenou = Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $<a,b)$ a  $\varphi(a)=\varphi(b)$\\
	\item Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ ... geometrický obraz křivky
	\item Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $C^1$ (hladká), pokud má $\varphi$ v $<a,b>$ spojitou derivaci.
	\item Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $C^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $C^1$.
	\end{itemize}	
\defi{Součet křivek}
Součet křivek $\varphi: <a,b> \rightarrow \C$ a $\psi: <a,b> \rightarrow \C$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$\\
$$(\varphi \dot{+} \psi)(t)=\begin{cases} \varphi(t) \quad t \in <a,b>  \\
						\psi(t-b-c) \quad t \in <b,d+b-c>
				\end{cases} $$
$$(\varphi \dot{+} \psi)(t):<a,d+b-c> \rightarrow \C$$
 
\defi{Opačná křivka} Opačná křivka ke křivce $\varphi:<a,b> \rightarrow \C$ je $\dot{-}\varphi:<-b,-a> \rightarrow \C$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in <-b,-a>$
 
\pozn{} Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $C^1$.
$\varphi (t)= x(t)+iy(t)$ pro $t\in <a,b>$,pak výraz $$S_\varphi := \int^b_a |\varphi ' (t)| {\rm d}t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}{\rm d}t$$ je délka geometrického obrazu křivky. Dále platí:
$$ S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi $$
$$ S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi $$
 
\defi{Křivkový integrál prvního druhu} Nechť $\psi:<a,b> \rightarrow \C$ je po částech hladká křivka v \C a nechť FKP $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe: $$ \int_a^b f (z) {\rm d}z := \int_a^b f (\varphi(t))\dot{\varphi}(t) {\rm d}t$$
 
\pr{} $ \displaystyle \int_\varphi z^2 {\rm d}z \qquad \varphi $ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\ $\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in <0,1>$ \\ $ \dot\phi(t)=1+i$
$$\int_\varphi z^2 {\rm d}z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i){\rm d}t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 {\rm d}t = \frac {(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)} {3}$$
 
\pr{} Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$
$$ \varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in <0,phi>$$
$$ \varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in <0,phi>$$
 
\pozn{} V reálné analýze platí: $$ \left| \int^b_a f(x){\rm d}x \right| \leq \int^b_a |f(x)|{\rm d}x,$$ ale v \C toto neplatí.
 
\veta{} Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $C^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom: $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| \leq S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$
Důkaz:  $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| =  \left| \int_\varphi f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t){\rm d}t \right| \leq   \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{f \hbox{\small{omezená na}} \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t =$$
 $$= S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$
 
\veta{} Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v \C a $f$ a $g$ FKP spojité na $\langle \varphi \rangle$, resp. $<\psi>$, $\alpha, \beta \in \C$, potom platí:
\begin{itemize}
	\item linearita $ \int_\varphi \alpha f(z) + \beta g(z) {\rm d}z = \alpha \int_\varphi f(z) {\rm d}z + \beta \int_\varphi g (z) {\rm d}z$
	\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z){\rm d}z= \int_\varphi f(z){\rm d}z + \int_\psi f(z){\rm d}z$
	\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z){\rm d}z = - \int_{\varphi} f(z){\rm d}z $
\end{itemize}
 
\defi{Primitivní funkce} Nechť $f$ a $F$ jsou FKP takové, že $F'(z)=f(z) \quad \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v \C). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.
 
\veta{} Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \C$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.\\ Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \C$  a je-li $C \in \C$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.\\
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \C$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.
\\
\par
	$\varphi \ldots$ po částech hladká křivka\\
	$F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \C$, která obssahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_a^b f(\varphi(t))\dot(\varphi)(t){\rm d}t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{{\rm d}t}\left( F'(\varphi(t)\right)}{\rm d}t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$$
 
\subsubsection{Důsledky} Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \C$ primitivní funkce, potom:
	\begin{enumerate}
	\item $\int_\varphi f(z){\rm d}z=0 \qquad \forall$ uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$
	\item $\int_\varphi f(z){\rm d}z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: $$\int_\varphi f(z){\rm d}z=\int_\psi f(z){\rm d}z,$$ kde $\varphi:<a,b> \rightarrow \C \quad \psi:<c,d> \rightarrow \C$\\
	$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\
	$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, <\psi> \subset \Omega$
	\end{enumerate}
 
\pr{} Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z \qquad n \in {\bf Z} $ \\
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\
$\varphi(t)=z_0 + Re^{it} \qquad t\in <0,2{\rm \pi}>$\\
$\dot{\varphi}(t)= iRe^{it}$
$$ \int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z = \int_0^{2{\rm \pi}} (Re^{it})^n Rie^{it} {\rm d}t =  \int_0^{2{\rm \pi}} i R^{n+1} e^{i(n+1)t}{\rm d}t=\oslash$$
\begin{itemize}
\item $n \neq -1 \quad \oslash=R^{n+1}i \left[ \frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)} \right]^{2{\rm \pi}}_{0}=\frac{iR^{n+1}}{i(n+1)}\left( e^{2{\rm \pi} i (n+1)} - e^0\right)=\footnote{\hbox{Exponenciála je $2{\rm \pi} i$ periodická funkce}}0$
 
\item $n=-1 \quad \oslash = \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}{\rm d}z = i \int^{2{\rm \pi}}_0 e^{0\cdot t}{\rm d}t = i \int^{2{\rm \pi}}_0 1 {\rm d}t = 2 {\rm \pi} i$
\end{itemize}
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \zC \backslash P_{\rm \pi} = \Omega$. Hodnota skoku $f$ na $P_{\rm \pi}$ je právě $2{\rm \pi} i$.
 
\pozn{} Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v \C) rozděluje \C na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená - Int $\varphi$, tzv."vnitřek křivky". Druhá je neomezená - Ext $\varphi$, tzv."vnějšek křivky".
 
\veta{Cauchyho věta} Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a nechť $\varphi$ je po částech hlaská Jordanova křivka taková, že $\overline{\hbox{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z = 0$$
Důkaz: $z=x+iy \qquad x,y \zR \qquad f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$\\
	$\varphi: <a,b> \rightarrow \C$\\
	$\varphi (t) = x(t) + i y(t)$\\
	$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t)$\\
	$$ \int_\varphi f(z){\rm d}z= \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\phi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+i\dot{y}(t)]{\rm d}t=$$ $$= \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t+i \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)-v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t =$$ $$= \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + i\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \underbrace{=}_{\hbox{Greenova věta}}
	\int_{Int \varphi}
			\underbrace{
			\left[
				\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}
			\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy	+ i \int_{Int \varphi}
				\underbrace{
				\left[  	
				\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}
				\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy=$$ $$ = 0 $$
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.
 
\subsubsection{Důsledky:}
 Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované , po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset Int \psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{Int \psi} \, \backslash \, Int \varphi$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z$$
 Důkaz: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_2} f(z) {\rm d}z =   \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_4 \dot{-} \psi_1 \dot{+} \varphi_3} f(z) {\rm d}z +  \int_{\varphi_2 \dot{-} \varphi_3 \dot{-} \psi_2 \dot{-} \varphi_4} f(z) {\rm d}z +\int_{\psi_1 \dot{+} \psi_2} f(z) {\rm d}z =$$ $$= \int_\psi f(z) {\rm d}z$$
 
 \pozn{} Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nezveme \emph{singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.
 
 \defi{Index bodu} Nechť $\psi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \zC \, \backslash \, \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován předpisem: $$ \ind_\varphi z_0 = \frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$
 
 \pozn{} Vlastnosti $\ind_\varphi z_0$. Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \zC \, \backslash \, {z_0}$.
 \begin{itemize}
 	\item $z_0 \in Ext \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty
 	\item $z_0 \in Int \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2 {\rm \pi} i} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $<\psi> \subset Int \varphi$
 \end{itemize}
 Pokud $z_0 \in Int \varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak $$\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1$$ $\psi$ je \emph{záporně} orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $<\psi> \subset Int \varphi$.\\
 Pokud je $\varphi$ uzavřená,ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in {\bf Z}$ udává počet oběhu daného bodu křivkou $\varphi$, oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.
 
\veta{Cauchyho integrální vzorec} Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{Int \varphi}$. Potom $\forall z_0 \in Int \varphi$ platí:
$$f(z_0)= \frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}$$
Hodnoty holomorfní funkce v Int $\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}\\
Důkaz: $$\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \left[
	\underbrace{
			\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z
			}_{I_1}
			  + \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z
\right] $$
 
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset Int \varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2 {\rm \pi} R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}
	\underbrace{
		\left|
			\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
		\right|
			}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}
	$$
 
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$
$$ |I_1| \leq 2 {\rm \pi} R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \frac {1} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$
 
\pr{}
 
\veta{Rozvoj holomorfní funkce v mocninou řadu}
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí: $$ f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n,$$
$$ \hbox {kde  } a_n = \frac{1}{2 {\rm \pi} i} \int\limits_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} {\rm d} \xi $$
 
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in Int \varphi$.
 
\subsubsection{Důsledek: Cauchyho integrální vzorec pro derivace}
 
 
\pozn{}
 
\pozn{}
 
\pr{}
 
\pozn{}
 
\section{Laurentovy řady}
Zobecnění mocniných řad
 
\subsection{Laurentovy řady}
 
\defi{}
 
\pozn{}
 
\defi{}
 
\pozn{}
 
\veta{Laurentova}
 
\defi{}
 
\pozn{}
 
\pr{}
 
\defi{}
 
\pr{}
 
\pr{}
 
\pr{}
 
\veta{}
 
\veta{}
 
\subsubsection{Důsledek}
 
\pozn{}
 
\subsection{Reziduum}
 
\defi{}
 
\subsubsection{Výpočet rezidua}
 
\veta{}
 
\veta{}
 
\veta{Cauchyho reziduová}
 
\subsection{Rozvoj funkce v okolí nekonečna}
 
\defi{}
 
\pr{}
 
\pr{}
 
\pr{}
 
\pr{}
 
\defi{}
 
\pozn{}
 
\pr{}
 
\veta{Zobecněná reziduová}
 
\pr{}
 
 
\end{document}