Součásti dokumentu 01MAA3
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Úplné prostory}
\index{Cauchyovská posloupnost}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)
(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
\end{define}
\begin{remark}
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
\end{remark}
\index{úplný prostor}
\begin{define}
\label{uplnost}
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Úplnost je metrický pojem.
\item Úplnost si můžeme představit například tak, že při pohybu po lomené čáře, jejíž úseky se neustále zkracují, dojdeme do takového místa, jehož vzdálenost od počátečního bodu je dobře definovaná. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
kompaktní metrický prostor je úplný}.
\item Prostor, jehož uzavřené koule jsou kompaktní, je úplný.
\end{enumerate}
\end{remark}
\bigskip
\begin{theorem}
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je
úplná.
\begin{proof}
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.
\end{proof}
\end{theorem}
\index{kontrahující zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
právě když
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\end{define}
\begin{remark}
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
\end{remark}
\begin{define}
\index{hustá množina}
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
\index{separabilní prostor}
Prostor, který má hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
\index{řídká množina}
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou v~$X$}, právě když $X\sm\uz{B}$
je hustá v~$X$.
\end{define}
\begin{example}
Například, je-li $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$ potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní.
\end{example}
\bigskip
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
\index{Banachova věta o pevném bodě}
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
\begin{proof}
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že
\[
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
k\rho(x_m,x_{m-1})\le k^m\rho(x_1,x_0)=k^m\rho(f(x_0),x_0)
\]
což můžeme použít v cauchyovské podmínce
\[
\rho(x_{n+p},x_n)\le\sum_{i=1}^p\rho(x_{n+i-1},x_{n+i})\le
\sum_{i=1}^p k^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\le
\frac{k^n}{1-k}\rho(x_1,x_0)<\epsilon
\]
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
$\rho(x,x')\le k\rho(x,x')<\rho(x,x')$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
matematice. V~praxi často nelze zajistit, aby zobrazení $f$ bylo
kontrahující, přesto ale posloupnost postupných aproximací
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
\[
f_i(f(x))=f_{i+1}(x)=f(f_i(x))=f(x),
\]
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
Sestrojme pak $i$ posloupností:
\[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & & i \\ \hline
x_0 & x_1=f(x_0) & x_2=f_2(x_0) & \cdots & x_{i-1}=f_{i-1}(x_0) \\
x_i=f_i(x_0) & x_{i+1}=f_{i+1}(x_0) & x_{i+2}=f_{i+2}(x_0) & \cdots & x_{2i-1}=f_{2i-1}(x_0) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots
\end{array}
\]
Všechny posloupnosti jsou posloupnostmi aproximací $i$-té iterace pro
různé počáteční body. Všechny konvergují k~$x$ a podle věty o~pokrytí
celá posloupnost postupných aproximací pro zobrazení $f$ konverguje
k~$x$.
\end{remark}
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
\end{remark}
\begin{define}Lineární prostory klasifikujeme následovně:
Normovaný lineární prostor, který je úplný v metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
Banachův prostor se skalárním součinem, který indukuje příslušnou normu, se nazývá {\bf Hilbertův}.
\end{define}