Součásti dokumentu 01FIMA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FIMA}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Finanční matematika
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Finanční matematika}
Finanční matematiku začneme jednoduchým popisem rozdělení pojišťovny na jednotlivé subjekty:
\begin{itemize}
\item ŽP - životní pojišťovna
\item NP - neživotní pojišťovna
\item PF - penzijní fond
\item IS - investiční společnost
\item B - banka
\end{itemize}
Každý z těchto subjektů má nějaký úkol a nějaké své klienty. Například u ŽP a NP se mohou klienti překrývat - třeba pojištění schopnosti platit úvěr, která může být narušena jak smrtí, tak například ztrátou zaměstnání, a proto jsou na takové pojištění třeba obě licence.
\textbf{Životní pojišťovnou} a \textbf{neživotní pojišťovnou} jsme se zabývali v předchozích kapitolách.
\textbf{Penzijní fond} je v podstatě další pojištění, které však nabízí pouze jeden produkt.
Úkolem \textbf{investiční společnosti} je hospodařit s volnými finančními prostředky tak, aby z nich měla pojišťovna nějaký zisk. Především nakupuje dluhopisy a akcie, o kterých bude řeč později.
\textbf{Banka} se vyznačuje především tím, že může na rozdíl od pojišťovny i poskytovat klientům úvěry a vztahují se na ní přísnější regulace.
Dále má pojišťovna \textbf{servisní společnost}, která se stará o minimalizaci provozních nákladů. Například zpravuje počítače nebo budovy, které pak pronajímá ostatním subjektům. A navíc má pojišťovna \textbf{agenty}, kteří shánějí nové klienty.
Každá z těchto dílčích institucí musí držet určité množství financí. Typicky nejvíce je to u penzijního fondu (například řádově 30 MLD Kč), dále životní pojišťovna (5 MLD), u neživotní pojišťovny záleží na tom, zda poskytuje povinné ručení, které má velké rezervy (0,5 MLD respektive 3-5 MLD) a investiční společnost má poměrně málo (1 MLD).
\section{Kapitálový trh}
Kapitálový trh je trh s penězi. Pochopitelně má smysl jen pokud operujeme s časovou hodnotou peněz a ne v jednom okamžiku.
\subsection{Uložení peněz v zahraničí}
Někdy můžeme chtít uložit své peníze v zahraničí. Potom je však uložíme v cizí měně, například ve švýcarských francích (CHF). Potom zde začne hrát roli pohyb vzájemné hodnoty měn. Například si ve Švýcarsku uložíme 1000 Kč, za které při kurzu 1:20 dostaneme na účet 50 CHF. Na účtu máme 2\% úrok ročně, a tedy po jednom roce máme na účtu 51 CHF. Může se však stát, že se mezi tím změnil kurz na 1:25 (v reálu to nebude tak výrazné) a my tedy za uložené franky dostaneme ne 1020 Kč, ale 1275 Kč, což je obrovské zhodnocení. Může se stát, že se podobný trend dá předpovídat dopředu. Švýcarská banka se může bránit tím, že změní výši úroku (typicky jen pro zahraniční korporátní klienty - ti si ukládají značné částky). Tento nový úrok může být dokonce i záporný, ale i tak můžeme na uložení peněz vydělat.
Nyní se podíváme na tři základní formy cenných papírů, se kterými se na kapitálovém trhu obchoduje.
\subsection{Dluhopisy (obligace)}
Dluhopis je vlastně způsob získání kapitálu (alternativa například k půjčce z banky). Funguje tak, že \textbf{emitent} vydá dluhopis a stanoví nominální hodnotu a dobu, na kterou je dluhopis vydán. Po uplynutí této doby majiteli dluhopisu vyplatí emitent stanovenou částku. Dluhopisy mohou navíc být takzvaně \textbf{kuponové}, což znamená, že je určitá částka vlastníkovi vyplacena již v průběhu. (Například dluhopis na 5 let, u kterého se vlastníkovi vyplatí na konci každého roku 2\% nominální hodnoty.)
Nyní je otázka, za kolik se takový dluhopis prodá (tedy jaká je jeho hodnota). Určitě to bude částka nižší, než jeho nominální hodnota, jelikož peníze v současnosti mají větší hodnotu, než peníze v době vyplacení. Dále záleží na věrohodnosti emitenta. Je-li například emitentem stát, je téměř jisté, že do doby vyplacení peněz nezkrachuje, a tak může mít například dluhopis na 100 000 Kč na jeden rok hodnotu 98 000 Kč. Naopak u firmy, u které je nebezpečí krachu nebo u soukromé osoby (i ta může vydávat dluhopis) to může být například jen 80 000 Kč. Věřitel tedy podstupuje velké riziko a chce za to velký zisk v případě úspěchu. Existují takzvané ratingové agentury, které se zabývají odhadem důvěryhodnosti různých institucí, podle kterých je možné se řídit.
Kromě modelu: "koupím dluhopis, počkám, dostanu předen danou částku" se s dluhopisy často obchoduje průběžně. Cena dluhopisu typicky s časem roste. Mohu si například nějaký dluhopis koupit jen na měsíc a pak ho s určitým (malým) ziskem prodat. (Chci na měsíc uložit peníze a poté je zase potřebuji použít jinde.) Počáteční hodnota dluhopisu bez započtení dalších vlivů se určí podle vzorce:
\begin{large}
\begin{eqnarray}
V = F \left(\frac{1}{(1+i)^k} + \sum_{k=1}^n\frac{r}{(1+i)^k} \right),
\end{eqnarray}
\end{large}
kde $V$ je počáteční hodnota, $F$ nominální hodnota, $n$ počet let do vyplacení, $r$ kuponová sazba (část nominální hodnoty vyplacená v každém roce), $i$ rizikovost (u většího rizika chci lepší časové zhodnocení). Hodnota $i$ však závisí i na tom, s jakým úrokem je možné zhodnotit peníze jiným způsobem - například v bance. Pokud tedy například centrální banka oznámí, že zvýší úrok, klesnou v důsledku toho nárazově ceny dluhopisů. Pochopitelně člověk, který dluhopis chce nechat doběhnout se tím nemusí trápit, ale ten, kdo ho chtěl právě prodávat, má problém. Situace je znázorněna na OBR. \ref{fig:dluhopisy}. Přesto, že se tedy ceny dluhopisů stále vyvíjí, rozdíly nejsou dramatické a investice do dluhopisů nese malé riziko (u důvěryhodného emitenta).
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.5]{dluhopisy.png}
\caption{Vývoj hodnoty dluhopisu při změně úroku bank.}
\label{fig:dluhopisy}
\end{figure}
\subsection{Akcie}
Akcie jsou podíly na majetku, tedy vlastník akcie částečně vlastní společnost, která akci vydala. Přesto, že akcie mají určitou nominální hodnotu (ty, které jsou tištěné na papír), tato hodnota nemá žádný vliv na skutečnou hodnotu akcie. Ta závisí na tom, jaká je hodnota firmy a na tom, kolik je akcií celkem (tedy jakou část hodnoty firmy představuje jedna akcie). Konkrétní cena akcie v daném okamžiku je dána poptávkou a nabídkou na burze.
Některé firmy navíc vyplácejí akcionářům takzvané \textbf{dividendy}. V případě, že firma vykazuje zisk, rozdělí část tohoto zisku mezi vlastníky akcií. (Například na každou akcii vyplatí na konci každého roku 10 Kč.) Vyplácení dividend je na rozhodnutí firmy a většinou je vyplácejí velké zaběhnuté společnosti se stálým ziskem, které již minimálně rostou. (U malých dynamicky rostoucích firem akcionář získá díky rostoucí hodnotě firmy.)
Firma může také vydat nové akcie za účelem zisku peněz na určitý podnikatelský záměr (stavba elektrárny v Albánii). Tyto nové akcie přednostně nabídne stávajícím akcionářům a zbytek umístí volně na trh.
Akcie většinou také opravňují k částečnému rozhodování o dané firmě. Akcionáři tedy mají nějaké hlasovací právo, pomocí kterého se mohou vyjádřit. (Existují i mechanismy ochrany minoritních akcionářů.) Jedna společnost může vydat více druhů akcií. Například akcie bez hlasovací práva. Ty pak mohou mít nižší hodnotu nebo například zase mají výhodu přednostního vyplácení dividend.
Určení ceny akcie na základě nabídky a poptávky je znázorněno na Obr. \ref{fig:poptavka}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.7]{poptavka.png}
\caption{Diagram znázorňující protnutí poptávky a nabídky, které určí cenu akcie.}
\label{fig:poptavka}
\end{figure}
V praxi to ve zjednodušené podobě funguje tak, že je na burze "tabulka" nabídek a poptávek. Lidé dávají nabídky, za kolik jsou ochotni danou akcii prodat a jiní lidé dávají nabídky, za kolik jsou ochotni ji koupit. Většinou je mezi těmito hodnotami určitá mezera. Jakmile dojde k průniku (někdo nabídne dost levně nebo někdo za akcii nabídne dost) provede se patřičná transakce.
Pro určení toho, jaké akcie si koupíme, je možné použít nějakou \textbf{užitkovou funkci}. Jedná se o funkci parametrů akcie, která měří, jak je pro nás akcie výhodná. Jedním typem užitkové funkce je
\begin{large}
\begin{eqnarray}
EX + \alpha Var(X),
\end{eqnarray}
\end{large}
kde $X$ je cena akcie v závislosti na čase a $\alpha$ parametr závislý na daném investorovi. Investor, který je ochoten riskovat za cenu zisku bude mít $\alpha$ malé, opatrný investor zase velké. Mějme například dvě akcie s hodnotami $EX_1=10$, $EX_2=12$, $Var(X_1)=1$ a $Var(X_2)=4$. Dále máme dva investory s hodnotami $\alpha_1=1$ a $\alpha_2=4$. První akcionář dá přednost první akcii, jelikož hodnota užitkové funkce je zde 9, zatímco u druhé akcie 8. Naproti tomu druhý akcionář upřednostní druhou akcii, jelikož má hodnoty 9,9 a 11,6. Existují pochopitelně i složitější užitkové funkce a další vlivy, které mohou rozhodnutí ovlivnit.
Ve skutečnosti však bez ohledu na to, jaké jsou naše preference, není nejvýhodnější prostě vybrat jeden druh akcií a ty nakoupit. Proto pak přijdou do hry \textbf{portfolia}. Portfolio je soubor akcií, do kterých máme rozloženy naše finance (poměrové zastoupení akcií jednotlivých firem). (Pojem portfolio je obecnější. Na přednášce se také zmiňuje portfolio pojistných smluv pojišťovny, tedy rozdělení celého objemu smluv mezi jednotlivé typy.) Místo jediné akcie tedy chceme optimalizovat celé portfolio. Například se snažíme, aby naše portfolio bylo takzvaně diverzifikované. To znamená, že máme například akcie firem z různých oblastí produkce, a tedy nás nezrujnuje propad jednoho oboru průmyslu. Dále se dá využít korelace mezi cenami akcií. Pokud najdeme dva druhy akcií, které dlouhodobě vykazují negativní korelaci (jedna klesá, když druhá stoupá a naopak), můžeme jejich společným nákupem ve výsledku snížit varianci (a tedy rizikovost) portfolia. Firmy (například pojišťovny) mají takzvané portfolio manažery, kteří právě tuto problematiku řeší.
Zajímavostí z oblasti kapitálových trhů je fakt, že v průměru mají lepší výsledky v investování ženy. Je to tím, že jsou "línější", tedy provádějí méně transakcí. Naproti tomu muži se snaží z každé změny něco získat. A bývalo by se jim to asi i podařilo, nebýt všemožných poplatků za provádění příkazů, které nakonec způsobí vítězství žen.
Zvláštní oblastí, ve které se některým lidem podařilo zbohatnout, jsou automatické obchody na burze. Člověk si vymyslí nějaký algoritmus a nechá za sebe obchodovat počítač. Tento přístup má především výhodu v tom, že může extrémně rychle vyhodnocovat změny na burze a reagovat na ně.
\subsection{Opce}
Opce je právo něco v budoucnu koupit nebo prodat na předem stanovenou cenu. Může to být libovolné \textbf{rizikové aktivum} (akcie, zlato, káva), tedy něco, co v průběhu času mění hodnotu a tento vývoj není předem stanoven. My tedy na začátku za opci něco zaplatíme a po určité době ji můžeme využít k nákupu/prodeji aktiva za cenu stanovenou opcí bez ohledu na skutečnou cenu aktiva. Jedná se pouze o právo, nikoli povinnost. Pokud tedy například máme opci na nákup aktiva a nakonec je jeho cena nižší, než cena stanovená opcí, koupíme aktivum za tržní cenu. (Samozřejmě pak nevyužijeme opci, za kterou jsme na začátku něco zaplatili.) S opcemi se také průběžně obchoduje, jako například s dluhopisy.
Existují dva druhy opcí co se týče možnosti použití v čase:
\begin{itemize}
\item americká - právo je vázáno na konkrétní termín,
\item evropská - právo je možné uplatnit kdykoli do daného termínu.
\end{itemize}
\begin{example}
Mějme například akcii, jejíž cena je v čase 0 rovna 100 Kč. Můžeme si koupit opci na nákup této akcie v čase 1 za 100 Kč. Řekněme že tato opce bude stát 3 Kč. Pokud nakonec bude cena akcie v čase 1 rovna 105 Kč, tak si ji s použitím opce koupíme za 100 Kč a tím 2 Kč vyděláme. Bude-li naopak cena akcie v čase 1 třeba 98 Kč, pak si ji nekoupíme a prodělali jsme 3 Kč, které jsme utratili za opci.
\end{example}
V dalších úvahách uděláme dva předpoklady:
\begin{itemize}
\item Pohybujeme se na \textbf{bezarbitrážním} trhu. To znamená, že není možné z nulového kapitálu udělat zisk bez rizika. (Například si někde půjčit a na větší úrok to dát do banky.) Také to znamená, že stejně riziková aktiva mají stejný střední výnos.
\item Existuje bezriziková úroková míra, tedy míra, se kterou je možno zhodnotit peníze s jistotou například uložením do banky.
\item Akcie nevyplácí dividendy.
\end{itemize}
Budeme popisovat jen nejjednodušší model, ve kterém se pohybujeme z časového bodu 0 skokem do bodu 1 a aktivum v čase 1 může nabývat jedné z jen dvou možností. Nechť tedy je hodnota aktiva na začátku $S$. Tato hodnota přejde s pravděpodobností $p$ na $(1+u)S$ ("up", tedy v příznivém případě) a s pravděpodobností $1-p$ na hodnotu $(1+d)S$, kde hodnoty $u$ a $d$ mohou být i záporné. Dále označíme jako $K=(1+o)S$ hodnotu, za kterou můžeme koupit akcii díky opci, kde $o$ se nazývá \textbf{opční sazba}. Uvažujeme, že $d \le -1$ a dále by mělo platit $d < r < u$, kde $r$ je bezriziková úroková míra. V pozitivním případě má tedy vlastně opce hodnotu $C_u=max[(1+u)S-K,0]$ a v negativním $C_d=max[(1+d)S-K,0]$, kde maximum je z důvodu toho, že opci v nejhorším případě nevyužijeme. (Nebudeme nakupovat pomocí opce za více, než bychom mohli bez ní.)
Jelikož však nevíme, který scénář nastane, je třeba nějak stanovit cenu opce v čase 0. Dříve se to dělal prostě nějak odhadem. Dnes se používá Black-Sholesova formule, kterou si nyní odvodíme.
\subsection{Black-Sholesova}
Odvození formule provedeme opět v nejzákladnějším případě popsaném výše. Myšlenka je v tom, že si sestavíme portfolio z akci, na kterou se opce vztahuje a bezrizikového aktiva. Vezmeme $D$ akcií (v hodnotě $S$ za jednu) a bezrizikové aktivum v hodnotě $B$. Tím hned víme, jaké je hodnota tohoto portfolia v čase 0, a to: $SD + B$.
Máme tedy dva stupně volnosti výběru portfolia a ty použijeme k tomu, aby jeho hodnota v čase 1 byla stejná, jako hodnota opce v obou případech, které mohou nastat.
\begin{large}
\begin{align}
(1+u)SD + (1+r)B &= max[(1+u)S-K,0], \nonumber \\
(1+d)SD + (1+r)B &= max[(1+d)S-K,0]. \nonumber
\end{align}
\end{large}
Z této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme hodnoty:
\begin{large}
\begin{align}
D &= \frac{C_u-C_d}{(u-d)S}, \nonumber \\
B &= \frac{(1+u)C_d - (1+d)C_u}{(u-d)(1+r)}. \nonumber
\end{align}
\end{large}
Nyní už jednoduše vyjádříme hodnotu opce v čase 0 jako:
\begin{large}
\begin{align}
C = SD + B = \frac{qC_u+(1-q)C_d}{1+r}, \nonumber
\end{align}
\end{large}
kde jsme označili $q = \frac{r-d}{u-d}$.
