Verze z 15. 6. 2016, 13:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2Priklady}
\section{Obor konvergence mocninných řad a sčítání pomocí mocninných řad}
 
% \subsection*{\fbox{Rozcvička}} 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
 
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\odstavec{Obor konvergence mocninných řad.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty} n x^n
\end{priklad}
\res{$(-1, 1)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!}x^n
\end{priklad}
\res{$\R$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-n)^{2n} x^{2n}
\end{priklad}
\res{$\{0\}$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2^n}x^n
\end{priklad}
\res{$[-2,2)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left ( \frac{n}{100} \right ) ^n x^n
\end{priklad}
\res{$\{0\}$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{\sqrt{n}}x^n 
\end{priklad}
\res{$\left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right ) $}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n-1}{n} x^n
\end{priklad}
\res{$(-1,1)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{10^n}x^n
\end{priklad}
\res{$(-10,10)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^n}
\end{priklad}
\res{$\R$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^n}(x-2)^n
\end{priklad}
\res{$\R$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{2^n}(x-2)^n
\end{priklad}
\res{$(0,4)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \left ( \frac{2}{3}\right) ^n (x+1)^n
\end{priklad}
\res{$\left ( -\frac{5}{2}, \frac{1}{2} \right )$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{5^n}{n}(x-2)^n
\end{priklad}
\res{$\left [ \frac{9}{5}, \frac{11}{5} \right )$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n(n+1)(x-1)^{2n}
\end{priklad}
\res{$(0, 2)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{2n+1} x^{2n+1}
\end{priklad}
\res{$(-1, 1)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n!}{2}(x+1)^n
\end{priklad}
\res{$\{ -1\}$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{3^{2n}}x^n
\end{priklad}
\res{$(-9, 9)$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence řady
\begin{priklad}
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{5^{n}}(x-2)^n
\end{priklad}
\res{$(-3, 7)$}
 
 
\item 
Nalezněte poloměr konvergence mocninné řady 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n+2^n}{n} (x+1) ^n
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{3}$}
 
\item 
Nalezněte poloměr konvergence mocninné řady 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(3n)!}{n^n(2n)!}x^n 
\end{priklad}
\res{$\frac{4}{27e}$}
 
 
\item 
Nalezněte poloměr konvergence mocninné řady 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{2^n (n!)^2}{(2n+1)!}x^n
\end{priklad}
\res{$2$}
 
\item 
Nalezněte poloměr konvergence mocninné řady 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \left ( \frac{n}{e} \right )^n x^n
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n + (-2^n)}{n}(x+1)^n
\end{priklad}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^n}{n+1}(x-4)^n
\end{priklad}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x ^n
\end{priklad}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(3n)!}{n^n (2n)!} x^n
\end{priklad}
 
\item 
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} \left ( \frac{n}{e} \right )^n x^n
\end{priklad}
\res{\{0\}}
 
\item
Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-3)^n}{n}(x+1)^n
\end{priklad}
\res{$-1\pm\frac13$}
 
\item  Nalezněte obor konvergence mocninné řady
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-4)^n}{n}(x+1)^n
\end{priklad}
\res{$ \left(-\frac{5}{4}, -\frac{3}{4} \right]$}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Sčítání řad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} x^{5n+1} 
\end{priklad}
\res{$\frac{x}{1-x^5}$}
 
\item
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} 2 x^{3n+2}
\end{priklad}
\res{$\frac{2x^2}{1-x^3}$}
 
\item
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2}x^{2n-1} 
\end{priklad}
\res{$\frac{3x}{2(1-x^2)}$}
 
\item
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}
\end{priklad}
\res{$x e^x$}
 
\item
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{n!}
\end{priklad}
\res{2e}
 
\item 
Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{3^{2n+2}}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{64}$}
 
 
\item 
Sečtěte 
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{\pi ^{2n}}{(2n)!3^{2n}}
\end{priklad}
\res{$\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}$}
 
\item 
Sečtěte 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n(n+1)}{n!}
\end{priklad}
\res{$3e^2-1$}
 
\item Sečtěte 
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n(2n-1)}
\end{priklad}
\res{$2x~\mathrm{arctg}~x - \ln(1+x^2)$}
 
\item Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^{n+1}}
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item Sečtěte
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3^{2n+1}}{(2n+1)5^{2n+1}}
\end{priklad}
\res{$\ln 2$}
 
\item Sečtěte 
\begin{priklad}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1) 2 ^{2n+1}}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2} \ln 3$}
 
\item Sečtěte 
\begin{priklad}
\sum_{n = 0}^{+\infty} n (n+1) x^n
\end{priklad}
\res{$\frac{2x}{(1-x)^3}$}
 
\end{enumerate}