02LIAG:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 41: | Řádka 41: | ||
\newpage | \newpage | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Charakteristické série ideálů v~$\g$} |
\Def{ | \Def{ | ||
\emph{Centrum} $\g$ je maximální ideál $\zeta^1$ s~vlastností $[\g ,\zeta^1]=0$, tj. $\zeta^1=\{x\in \g |[x,\g]=0 \}$, značíme $\Zs (\g)=\zeta(\g)=\zeta^1 (\g) =\zeta^1$. | \emph{Centrum} $\g$ je maximální ideál $\zeta^1$ s~vlastností $[\g ,\zeta^1]=0$, tj. $\zeta^1=\{x\in \g |[x,\g]=0 \}$, značíme $\Zs (\g)=\zeta(\g)=\zeta^1 (\g) =\zeta^1$. | ||
Řádka 93: | Řádka 93: | ||
\newpage | \newpage | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Derivace $\g$} |
\Def{ | \Def{ | ||
Derivace Lieovy algebry $\g$ je lineární $D:\g \to \g$ splňující $D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy]$, $\forall x,y \in \g$. | Derivace Lieovy algebry $\g$ je lineární $D:\g \to \g$ splňující $D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy]$, $\forall x,y \in \g$. | ||
Řádka 124: | Řádka 124: | ||
} | } | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Vztah reálných a komplexních $\g$} |
\Def{ | \Def{ | ||
Pro $\g$ reálnou definujeme komplexifikaci $\g_\C=\g +\cu \g=\C \g$.\\ (Komplexifikace je určena jednoznačně a platí $[x+\cu y ,z+ \cu v]=[x,y]-[y,v]+\cu ([y,z]+[x,v])$.) | Pro $\g$ reálnou definujeme komplexifikaci $\g_\C=\g +\cu \g=\C \g$.\\ (Komplexifikace je určena jednoznačně a platí $[x+\cu y ,z+ \cu v]=[x,y]-[y,v]+\cu ([y,z]+[x,v])$.) | ||
Řádka 140: | Řádka 140: | ||
\newpage | \newpage | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Zobrazení $\g$ a $\h$ nad stejným tělesem} |
\Def{ Lineární $\phi : \g \to \h$ | \Def{ Lineární $\phi : \g \to \h$ | ||
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
Řádka 150: | Řádka 150: | ||
} | } | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Killingova forma} |
\Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{invariantní vůči automorfismům} $\g$ \\ $\Leftrightarrow$ $\omega (\phi (X) ,\phi (Y))=\omega (X,Y)$, $\forall \phi \in \Aut (\g )$. | \Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{invariantní vůči automorfismům} $\g$ \\ $\Leftrightarrow$ $\omega (\phi (X) ,\phi (Y))=\omega (X,Y)$, $\forall \phi \in \Aut (\g )$. | ||
} | } | ||
Řádka 175: | Řádka 175: | ||
} | } | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Nilpotentní a řešitelné algebry} |
\Vet{ | \Vet{ | ||
Buď $\g$ řešitelná (nilpotentní), $\phi: \g \to \h$ homomorfismus. Potom $\phi (\g)$ je řešitelná (nilpotentní). | Buď $\g$ řešitelná (nilpotentní), $\phi: \g \to \h$ homomorfismus. Potom $\phi (\g)$ je řešitelná (nilpotentní). | ||
Řádka 193: | Řádka 193: | ||
\newpage | \newpage | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Terminologie konečněrozměrných operátorů v~LIAG} |
\Def{ | \Def{ | ||
$A \in \gl (V)$ je \emph{diagonalizovatelný (poloprostý)} právě, když $\exists$ báze $V$ tvořená vl. vektory $A$.\\ | $A \in \gl (V)$ je \emph{diagonalizovatelný (poloprostý)} právě, když $\exists$ báze $V$ tvořená vl. vektory $A$.\\ | ||
Řádka 216: | Řádka 216: | ||
\newpage | \newpage | ||
− | \ | + | \subsubsection*{Věty Lieova a Engelova} |
\Vet{ | \Vet{ | ||
$\g$ podalgebra $\gl (V)$, $V$ nad $\C$. Potom je $\g$ řešitelná právě tehdy, když je možno $\forall g \in \g$ převést současně na horní trojúhelníkový tvar. | $\g$ podalgebra $\gl (V)$, $V$ nad $\C$. Potom je $\g$ řešitelná právě tehdy, když je možno $\forall g \in \g$ převést současně na horní trojúhelníkový tvar. | ||
Řádka 257: | Řádka 257: | ||
} | } | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\g^{(1)}$ nilpotentní. | + | $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\g^{(1)}$ nilpotentní. |
} | } |
Verze z 27. 2. 2016, 13:03
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Lieovy algebry} Předpokládáme konečnou dimenzi. \Def{ Nechť $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subset \g$, $[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]:=\mathrm{span}\{[x,y]|x\in \mathfrak{a}, y \in \mathfrak{b} \}$. } \Def{ $\h$ podprostor $\g$. Pokud $[\h ,\h] \subset \h$, tak $\h$ nazvu \emph{podalgebra}. } \Prl{ V~Lorentzově algebře generátory boostů komutují na rotace, tedy netvoří podalgebru. Rotace podalgebru tvoří. } \Def{ $\h$ podprostor $\g$. Pokud $[\h ,\g] \subset \h$, tak $\h$ nazvu \emph{ideál}. } \Prl{ V~Lorentzově algebře $[M^{\mu\nu},P^\alpha] \sim P^\xi$, tedy translace tvoří ideál. } \Def{ \emph{Faktoralgebra} podle $\h$ ideálu je $\g /\h=\{g+\h |g \in \g \}$, $[g_1+\h ,g_2 +\h]:=[g_1 , g_2]+\h$. } \Def{ $\g$ je \begin{itemize} \item \emph{Abelovská} $\Leftrightarrow$ $[\g,\g]=0$, \item \emph{prostá} $\Leftrightarrow$ $\dim \g >1$ a jediné ideály v~$\g$ jsou $0$ a $\g$, \item \emph{poloprostá} $\Leftrightarrow$ jediný Abelovský ideál v~$\g$ je $0$. \end{itemize} } \Def{ Pro ideály $\h_1$ a $\h_2$ řekneme, že $\g$ je přímým součtem ($\g=\h_1 \oplus \h_2$), právě když $\g=\h_1 \dotplus \h_2$ (algebraický přímý součet) a $[\h_1 ,\h_2] \subset \h_1 \cap \h_2 =\{0\}$. } \Prl{ $\gl(n)=\mfrk{sl}(n)\oplus \mfrk{a}_1$, $\mfrk{u}(n)=\mfrk{su}(n)+\mfrk{u}(1)$, ($\mfrk{a}=\mfrk{u}(1)=\mrm{span}\{e \}$). } \Def{ $\g$ nazvu \emph{rozložitelná}, právě když $\exists \h_1 , \h_2 \neq 0$, $\g=\h_1 \oplus \h_2$. Jinak $\g$ \emph{nerozložitelná}. } \newpage \subsubsection*{Charakteristické série ideálů v~$\g$} \Def{ \emph{Centrum} $\g$ je maximální ideál $\zeta^1$ s~vlastností $[\g ,\zeta^1]=0$, tj. $\zeta^1=\{x\in \g |[x,\g]=0 \}$, značíme $\Zs (\g)=\zeta(\g)=\zeta^1 (\g) =\zeta^1$. } \Def{ Charakteristické série ideálů v~$\g$ \begin{itemize} \item \emph{derivovaná posloupnost}: $\g^{(0)}=\g$, $\g^{(i)}=[\g^{(i-1)},\g^{(i-1)}]$, \item \emph{dolní centrální série}: $\g^{1}=\g$, $\g^{i}=[\g^{i-1},\g]$, \item \emph{horní centrální série}: $\zeta^1=\Zs(\g)$, $\zeta^i=\{x\in \g | [x,\g]\subset \zeta^{i-1} \}$ ($\zeta^i \supset \zeta^{i-1}$). \end{itemize} Pokud $\exists k \in \Z_+$, $\g^{(k)}\neq 0$ a $\g^{(k+1)}=0$, tak $\g$ nazvu \emph{řešitelná}, pokud $\exists \tilde{k} \in \N$, $\g^{\tilde{k}}\neq 0$ a $\g^{\tilde{k}+1}=0$, tak $\g$ nazvu \emph{nilpotentní}. } \Pzn{ $\g^2=\g^{(1)}$, $\g^{i}\supset \g^{(i-1)}$, tj. každá nilpotentní $\g$ je řešitelná. } \Vet{ $\g$ je nilpotentní $\Leftrightarrow$ $\lim_{i \to +\infty} \zeta^i = \g$. } \Prl{ Heisenbergova algebra $\h (d)=\{X_i,P_i,1| [X_i,P_j]=\delta_{ij}1, i \in \hat{d} \}$ je nilpotentní. } \Pzn{ Pro řešitelné (nilpotentní) ideály $\h_1$, $\h_2$ je $\h_1 \cap \h_2$ a $\h_1 \oplus \h_2$ řešitelný (nilpotentní) ideál. } \Def{ Maximální řešitelný ideál v~$\g$ nazvu \emph{radikál} a maximální nilpotentní ideál nazvu \emph{nilradikál}. } \Vet{ Každou $\g$ lze rozložit na (polopřímý) součet poloprosté algebry $\mathfrak{s}$ a radikálu $\mathfrak{r}$ \begin{align*} \g=\s \splus \rr \, &&\text{,tj.} && \g=\s \dotplus \rr ,\; [\s,\s]\subset \s ,\; [\s,\rr]\subset \rr ,\; [\rr,\rr]\subset \rr \,. \end{align*} (Může nastat $\rr=0$ nebo $\s=0$.) } \textbf{Vlastnosti ideálů ze cvik} \Vet{ Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je ideál. } \Vet{ Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ řešitelné ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je řešitelný ideál. \\ (Platí $(\mfrk{h}+\mfrk{l})/ \mfrk{h}=\mfrk{l} /(\mfrk{h}\cap \mfrk{l})$). } \Vet{ Buď $\mfrk{h}$ ideál v~$\g$. Potom $\mfrk{h}^k$ a $\mfrk{h}^{(k)}$ jsou ideály. } \Vet{ Buďte $\mfrk{h}, \mfrk{l}$ nilpotentní ideály v~$\g$. Potom $\mfrk{h}+\mfrk{l}$ je nilpotentní ideál. } \newpage \subsubsection*{Derivace $\g$} \Def{ Derivace Lieovy algebry $\g$ je lineární $D:\g \to \g$ splňující $D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy]$, $\forall x,y \in \g$. } \Def{ $G$ Lieova grupa a $\g$ její algebra. \begin{itemize} \item \emph{Adjugovaná akce} $G$ na $G$ je $\phi$, $\phi (g,h)=\phi_g(h)=ghg^{-1}$, ($\phi_g=L_g \circ R_{g^{-1}}$, $\phi_{g_1}\circ \phi_{g_2}=\phi_{g_1g_2}$), \item \emph{adjugovaná reprezentace} $G$ na $\g$ je $\Ad: G \to GL(\g)$, $\Ad (g)=(\phi_g)_*|_e=L_{g*} \circ R_{g^{-1}*}$, \item \emph{adjugovaná reprezentace} $\g$ na $\g$ je $\ad :\g \to \gl (\g)$, $\ad = \Ad_*$. \\ ($\ad_X Y=\left.\td{}{t}\right\rvert_{t=0}\Ad (\e^{tX})Y=\Ad_*(X)Y$.) \end{itemize} } Adjugovanou reprezentaci lze ekvivalentně zavést požadavkem $g \e^X g^{-1}=\e^{\Ad (g)X}$. Pro maticové grupy lze vypočítat jednoduše $\Ad (g)X$ vztahem \begin{align} \Ad(g)X=gXg^{-1}\,,&& \forall g\in G, \forall X \in \g \,. \end{align} Podobně se zjednoduší výpočet $\ad$. \Vet{ $\ad_X Y=[X,Y]$. } Pomocí tohoto vztahu sestavíme matice zobrazení $\ad_{e_j}$ v~bázi $\Es$ a z~linearity pro $X=\alpha^i X_i$ \begin{align} (\tensor[^\Es]{\ad}{_{e_j}})_{kl}=\T{c}{^k_{jl}} \,, && (\tensor[^\Es]{\ad}{_X})_{kl}=\alpha^j \T{c}{^k_{jl}} \,. \end{align} \Dsl{ $\ad_X$ je derivace. } \Def{ Derivace $D$ je \emph{vnitřní}, právě když $(\exists Z \in \g )(D=\ad_Z)$. Ostatní se nazývají \emph{vnější}. } \subsubsection*{Vztah reálných a komplexních $\g$} \Def{ Pro $\g$ reálnou definujeme komplexifikaci $\g_\C=\g +\cu \g=\C \g$.\\ (Komplexifikace je určena jednoznačně a platí $[x+\cu y ,z+ \cu v]=[x,y]-[y,v]+\cu ([y,z]+[x,v])$.) } \Pzn{ Pro každou komplexní $\g$ můžeme jednoznačně zkonstruovat $\g_\R$, zkonstruovanou z~$\g$ pomocí libovolné báze $\{ x_j \}_{j=1}^n$ a doplněním na $\mathrm{span}_\R \{x_j ,\cu x_j \}_{j=1}^n$. \\ (Strukturní konstanty jsou pak $\Re$ a $\Im$ části původních.) } \Pzn{ Pro $\g$ z~předchozích definic platí $\dim_\C \g_\C = \dim_\R \g$ a $\dim \g_\R=2\dim \g$. } \Def{ \emph{Reálná forma} komplexní $\g$ je libovolná reálná $\tilde{\g}$ splňující $\g=\tilde{\g}_\C$. } \newpage \subsubsection*{Zobrazení $\g$ a $\h$ nad stejným tělesem} \Def{ Lineární $\phi : \g \to \h$ \begin{itemize} \item $\phi $ je \emph{homomorfismus} $\Leftrightarrow$ $[\phi (x),\phi (y)]=\phi ([x,y])$, $\forall x,y \in \g$, \item homomorfismus $\phi$ je \emph{endomorfismus} $\Leftrightarrow$ $\h=\g$, $\forall x,y \in \g$, \item homomorfismus $\phi$ je \emph{izomorfismus} $\Leftrightarrow$ $\ker \phi = \{0\}$, $\phi (\g) =\h$, \item izomorfismus $\phi$ je \emph{automorfismus} $\Leftrightarrow$ $\h=\g$. \end{itemize} } \subsubsection*{Killingova forma} \Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{invariantní vůči automorfismům} $\g$ \\ $\Leftrightarrow$ $\omega (\phi (X) ,\phi (Y))=\omega (X,Y)$, $\forall \phi \in \Aut (\g )$. } \Def{Symetrická bilineární forma $\omega$ na $\g$ je \emph{$\ad$-invariantní (invariantní)} \\ $\Leftrightarrow$ $\omega ([X,Y],Z)=\omega(Y,[X,Z])$ $\forall X,Y,Z \in \g$. } \Pzn{Invariantní vůči automorfismům $\Rightarrow$ $\ad$-invariance (naopak neplatí). } \Def{\emph{Killingova forma} je $K: \g \times \g \to T$, $K(X,Y)=\Tr(\ad_X \circ \ad_Y)$. ($T$ je těleso.) } \Def{\label{OG_Kill} \emph{Ortogonální doplněk vzhledem ke Killingově formě ideálu $\ii$} je \\ $\ii^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \ii \}$. } \Pzn{ $\mathfrak{i}\subset \g$ ideál, pak $K_{\mathfrak{i}}= K_\g |_{\mathfrak{i} \times \mathfrak{i}}$. } \Vet{ $\ii$ ideál, potom $\ii^\perp$ ideál. } Obecně ale (asi) $\ii \cap \ii^\perp \neq \{0\}$. \Pzn{ $\g$ je prostá $\Leftrightarrow$ $\ad_{\g}$ ireducibilní. } \subsubsection*{Nilpotentní a řešitelné algebry} \Vet{ Buď $\g$ řešitelná (nilpotentní), $\phi: \g \to \h$ homomorfismus. Potom $\phi (\g)$ je řešitelná (nilpotentní). } \Vet{ $[\ii ,\g]\subset \g$ a $\ii ,\, \g /\ii$ řešitelné. Potom $\g$ řešitelná. } \Vet{ $\ii \subset \zeta(\g)$ ideál, $\g /\ii$ nilpotentní. Potom $\g$ nilpotentní. } \Vet{ $\ad_\g = \{\ad_X | X \in \g \}$ \begin{itemize} \item $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\ad_\g$ řešitelná. \item $\g$ nilpotentní $\Leftrightarrow$ $\ad_\g$ nilpotentní. \end{itemize} } \newpage \subsubsection*{Terminologie konečněrozměrných operátorů v~LIAG} \Def{ $A \in \gl (V)$ je \emph{diagonalizovatelný (poloprostý)} právě, když $\exists$ báze $V$ tvořená vl. vektory $A$.\\ $\{ A_\alpha \}_{\alpha \in \Is}$ je současně diagonalizovatelný právě, když $\exists$ $\{e_i \}_{i=1}^{\dim V}$ báze, $A_\alpha e_i = \lambda_i^{(\alpha )}e_i$. } \Def{ $N \in \gl (V)$ je \emph{nilpotentní} právě, když $\exists$ $n \in \N$, $N^n=0$ (tj. $\sigma (N)=\{0\}$). } \Vet{ $V$ nad $\C$, $\dim V < +\infty$. Potom $\exists$ jednoznačně dané $S,N \in \gl (V)$ splňující \begin{itemize} \item $A=S+N$, \item $S$ je poloprostý a $N$ nilpotentní, \item $[S,N]=0$, \item $\Xi = p_{\Xi}(A)$, $p_\Xi$ je polynom, $\Xi = S,N$. \end{itemize} } \Def{ $A \in \gl (V)$, $\lambda \in \sigma (A)$, $V_\lambda =\lim_{n \to +\infty} \ker (A-\lambda )^n$ je \emph{zobecněný vlastní podprostor $A$ příslušející $\lambda$}. } \newpage \subsubsection*{Věty Lieova a Engelova} \Vet{ $\g$ podalgebra $\gl (V)$, $V$ nad $\C$. Potom je $\g$ řešitelná právě tehdy, když je možno $\forall g \in \g$ převést současně na horní trojúhelníkový tvar. } \Def{ $X \in \g$ je \emph{$\ad$-nilpotentní} právě, když $\exists n \in \N$, $(\ad_X )^n=0$. } \Vet{ $\g$ je nilpotentní právě, když $\forall X \in \g$ jsou $\ad$-nilpotentní.\\ Každá komplexní maticová nilpotentní algebra $\tilde{\g}$ je izomorfní podalgebře matic ve tvaru (prázdné prvky značí $0$) \begin{align*} \setcounter{MaxMatrixCols}{15} \begin{pmatrix} \lambda_1 & \xi^{(\lambda_1)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_1)}_{1,{m_1}} \\ & \ddots & \cdots & \vdots \\ && \lambda_1 & \xi^{(\lambda_1)}_{(m_1-1),m_1} \\ &&& \lambda_1 \\ &&&& \lambda_2 & \xi^{(\lambda_2)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_2)}_{1,{m_2}} \\ &&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\ &&&& && \lambda_2 & \xi^{(\lambda_2)}_{(m_2-1),m_2} \\ &&&& &&& \lambda_2 \\ &&&& &&&& \ddots \\ &&&&&&&&& \lambda_n & \xi^{(\lambda_n)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_n)}_{1,{m_n}} \\ &&&&&&&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\ &&&&&&&&& && \lambda_n & \xi^{(\lambda_n)}_{(m_n-1),m_n} \\ &&&&&&&&& &&& \lambda_n \end{pmatrix}\,. \end{align*} (to znamená, že libovolné $X \in \tilde{\g}$ je v~tomto tvaru, maticové prvky musí záviset na $X$ lineárně, tj. $\lambda_j,\xi^{(\lambda_j)}_{k_j,l_j} \in \tilde{\g}^*$). } \lemma{ Seznam lemmat pro důkaz předchozích vět. \begin{enumerate} \item $\forall X \in \gl (V)$ nilpotentní je $X$ $\ad$-nilpotentní. \item $\ii$ ideál v~$\g \subset \gl (V)$, $W=\{v \in V | Xv=0, \forall X \in \ii \}$. Pak $\g W \subset W$. \item $P$ podprostor $\gl (V)$ $\forall X \in P$ jsou nilpotentní. Pak $\exists 0 \neq v \in V$, $\forall X \in P$: $Xv=0$. \item $\forall \g$ nilpotentních operátorů jsou nilpotentní. \\ (Tj. $\g$ je izomorfní podalgebře horních trojúhelníkových matic s~nulovou diagonálou.) \item $V$ nad $\C$, $\g$ řešitelná podalgebra $\gl (V)$. Pak $\exists 0\neq v \in V$, $\forall X \in \g$, $\exists \lambda_X \in V^*$ : $Xv=\lambda_X v$. \end{enumerate} } \Vet{ $\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $\g^{(1)}$ nilpotentní. }