Verze z 8. 9. 2015, 17:13

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Souvislé prostory}
 
\index{souvislost}
\begin{define}
Topologický prostor $(X,\tau)$ nazveme {\bf souvislý}, právě když jeho jediné
obojetné podmnožiny jsou $X$ a $\emptyset$.
\end{define}
 
\begin{example}
Příklad topologického prostoru, který není souvislý je množina X s více než dvěma prvky a s diskrétní topologií.
Protože je každá podmnožina X obojetná.
\end{example}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
  \item Prostor $X$ je souvislý, právě když ho nelze zapsat jako
    sjednocení dvou otevřených neprázdných disjunktních podmnožin.
    \begin{proof}
      Pokud by $X$ byl souvislý a přitom ho šlo zapsat jako $X
      = B_1\cup B_2$, $\emptyset \neq B_\iota=\vn{B_\iota} $, $B_1\cap
      B_2=\emptyset$, pak by $X \sm B_{1} = B_{2}$ byla uzavřená a
      tedy i další obojetná množina, což je ve sporu s úplností $X$.
    \end{proof}
  \item V předchozí ekvivalentní definici by $B_{\iota}$ mohly být uzavřené. Důkaz by byl téměř stejný.
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor. Množinu $A \subset X$ nazveme souvislou, pokud je souvislá jako topologický podprostor.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $A_\alpha$ systém souvislých množin takový, že každé dvě mají
neprázdný průnik. Potom sjednocení $A=\bigcup A_\alpha$ je souvislá
množina.
\begin{proof}
Buď $A=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$, $B_1\cap
B_2=\emptyset$. Potom $A_\alpha=(B_1\cap A_\alpha)\cup(B_2\cap
A_\alpha)$ a protože $B_\iota$ jsou v~$A$ otevřené, platí, že
$(B_\iota\cap A_\alpha)=\vn{(B_\iota\cap A_\alpha)}^{A_\alpha}$.
 
Protože $A_\alpha$ jsou souvislé, $A_\alpha$ musí být buď podmnožinou
$B_1$ nebo $B_2$. Všechny $A_\alpha$ pak musí ležet buď v~$B_1$ nebo
$B_2$, neboť každé dvě mají neprázdný průnik. Pak ale $B_1$ nebo $B_2$
je prázdná, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $A\subset X$, $A\subset B\subset\uz{A}$. Pak je-li $A$ souvislá,
jsou i $\uz A$ a $B$ souvislé.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item \emph{ (sporem)} Buď $x\in A'$, $B=A\cup\{x\}$. Nechť $B=B_1\cup B_2$,
$B_\iota=\vn{B_\iota}^B$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom
$A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)$.
Platí, že $(B_\iota\cap A)=\vn{(B_\iota\cap
A)}^{A}$, proto buď $A\subset B_1$ nebo $A\subset B_2$
$\implies$ buď $\uz{A}^B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $\uz{A}^B\subset\uz{B_2}^B$,
$\implies$ buď $B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $B\subset\uz{B_2}^B$, což je
spor.
\item $B=\bigcup_{x\in B}(A\cup\{x\})$, tedy $B$ vzniklo sjednocením
souvislých množin s~neprázdným průnikem.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Jedinými souvislými množinami v~$\R$ jsou intervaly.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item $A$ není interval $\implies$ $A$ není souvislá:
 
Nechť tedy $A$ není interval, tj. platí, že
\[
(\exists x_1,x_2\in A)(\exists c\in\R)(x_1<c<x_2\wedge c\not\in A).
\]
Buďte $B_1=A\cap(-\infty,c)$, $B_1=A\cap(c,+\infty)$, tedy
$B_\iota=\vn{B_\iota}^A$. $A=B_1\cup B_2$ a přitom $B_1$ a $B_2$ jsou
otevřené, neprázdné a disjunktní, tudíž $A$ není souvislá množina.
\item $A$ je interval $\implies$ $A$ je souvislá:
 
Nechť $A=/\alpha,\beta/$ je libovolný interval, $B=\uz{B}^A=\vn{B}^A$,
$B\not=\emptyset$ neprázdná obojetná podmnožina $A$. Dokážeme, že
$B=A$. Buď $c\in B$, $b=\sup\{x\in\R|\left[ c,x\right] \subset B\}$.
 
Předpokládejme, že $b<\beta$. Z~2. vlastnosti supréma vyplývá, že
\[(\forall\epsilon>0)(\exists x\in \left( b-\epsilon,b\right] )
(\left[  c,x\right] \subset B),\] tedy v~libovolném okolí bodu $b$ leží bod
z~$B$, z~čehož vyplývá, že $b\in\uz{B}^A=B$.
 
Protože $b\in B$, z~otevřenosti $B$ vyplývá existence takového
$\epsilon$, že platí $\left[ b-\epsilon,b+\epsilon\right] \subset B$. Současně
ale $\left[ c,b\right] \subset B$, takže $\left[  c,b+\epsilon\right] \subset B$, což
je spor s~1. vlastností supréma, tedy $b=\beta$.
 
Analogicky se dokáže tvrzení pro dolní hranici intervalu a z~obou pak
vyplývá, že nutně $A=B$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Spojitý obraz souvislé množiny je souvislý.
\begin{proof}
Buď $f(X)=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^{f(X)}$, $B_1\cap
B_2=\emptyset$. Pak $X=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$. Množiny
$f^{-1}(B_1)$ a $f^{-1}(B_2)$ jsou otevřené (to vyplývá ze spojitosti
$f$) a disjunktní (to vyplývá z~jednoznačnosti obrazu), tedy vzor není
souvislý, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé kompaktní množině infima, suprema a všeho mezi tím.
\end{theorem}
% chybí důkaz
 
\index{svázanost}
\index{komponenta souvislosti}
\begin{define}
Definujme na $X\times X$ relaci svázanosti: $x\sv y$, právě když
existuje souvislá množina $A\subset X$ taková, že $x\in A$ a $y\in
A$. Všechny třídy podle ekvivalence $x\sv y$ nazveme {\bf komponentami
souvislosti}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Komponenta souvislosti bodu $x$ je největší souvislá nadmnožina bodu $x$.
\item Komponenta souvislosti bodu $x$ je uzavřená množina v X.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{lokální souvislost}
\begin{define}
Řekneme, že prostor $X$ je {\bf lokálně souvislý}, právě když každé okolí má souvislé podokolí.
\end{define}
 
 
\begin{remark}
Otevřené množiny v~lineárním prostoru jsou lokálně souvislé.
\end{remark}
 
\index{dráha}
\index{stopa dráhy}
\begin{define}
{\bf Dráhou v~topologickém prostoru} rozumíme každé spojité zobrazení
kompaktního intervalu z~$\R$ do $(X,\tau)$.
 
Množinu $\la\phi\ra=\{\phi(x)~|~x\in\left[ \alpha, \beta\right] \}$ nazýváme {\bf stopa
dráhy}, resp. {\bf geometrický obraz dráhy}.
 
Jestliže $\la\phi\ra\cap A\not=\emptyset$, říkáme, že dráha {\bf protíná}
$A$. Jestliže dráha protíná jednobodovou množinu $\{x\}$, říkáme, že
dráha {\bf prochází} bodem $x$.
 
\index{orientovaný součet drah}
{\bf Orientovaný součet dvou drah}: Jestliže koncový bod jedné dráhy splývá
s~počátečním bodem druhé dráhy ($\phi_1(\beta_1)=\phi_2(\alpha_2)$), pak
\[
(\phi_1\dotp\phi_2)(t)=\phi(t)=
\begin{cases}
\phi_1(t) & \text{pro $t\in\left[ \alpha_1,\beta_1\right] $}\\
\phi_2( t+ \alpha_2 - \beta_1) & \text{pro $t\in\left[ \beta_1,\beta_1+\beta_2-\alpha_2\right] $}
\end{cases}
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Stopa dráhy je vždy souvislá.
\item Dráha se též nazývá křivka. Tyto pojmy tedy splývají.
\item V cizí literatuře se používá místo pojmu \it{stopa dráhy} spíše \it{geometrický obraz křivky}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Opačně orientovanou drahou k~dráze $\phi$ je dráha
$\dotm\phi(t)=\phi(-t)$, kde $t\in\left[ -\beta,-\alpha\right]$.
\end{define}
 
\begin{remark}
$\phi_1\dotm\phi_2=\phi_1\dotp(\dotm\phi_2)$ za předpokladu, že dráhy
mají stejný koncový bod.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $A \subset X$ a $\phi$ dráha spojující nějaký vnitřní a
vnější bod množiny $A$, tj. $\la\phi\ra\cap\vn{A}\not=\emptyset \wedge\la\phi\ra\cap\vn{(X\sm
A)}\not=\emptyset$. Potom $\la\phi\ra\cap\hr{A}\not=\emptyset$.
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Buď $B$ souvislá množina $(B\cap A\not=\emptyset\wedge
B\cap \vn{(X\sm A)}\not=\emptyset)$ a předpokládejme, že
$B\cap\hr{A}=\emptyset$. Pak ale
$B=(B\cap\vn{A})\cup(B\cap\vn{(X\sm A)})$, tedy $B$ lze vyjádřit jako
sjednocení dvou disjunktních otevřených množin, což je spor s~tím, že
$B$ je souvislá. Tvrzení věty pak dostáváme, pokud položíme $B=\la\phi\ra$, neboť stopa dráhy je souvislá množina (spojitý obraz intervalu v $\R$, tj. souvislé množiny je souvislý).
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\index{lineární souvislost}
\begin{define}
Množina $X$ je lineárně souvislá, právě když libovolné dva body z~$X$ lze
spojit dráhou.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Lineárně souvislý prostor je souvislý, opačná implikace neplatí.
\begin{proof}
Libovolný bod $x\in X$ lze spojit s~ostatními body $X$ dráhou. Tyto
dráhy mají neprázdný průnik a jejich sjednocením je prostor $X$. Tedy
$X$ lze vyjádřit jako sjednocení množin s~neprázdným průnikem, takže
$X$ je souvislý.
\end{proof}
\item Naopak to neplatí --- např. množina
\[
\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup
\left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x\in\R\sm\{0\}\right\}
\]
je souvislá, ale není souvislá lineárně. Množiny
$\{(x,\sin\frac1x)|~x\in\Rm\}$ a $\{(x,\sin\frac1x)|~x\in\Rp\}$ jsou
souvislé (jsou to spojité obrazy intervalu), souvislé jsou tedy i
jejich uzávěry $\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup\{\dots\}$. Sjednocení
uzávěrů je souvislé, ale body $(x,\sin\frac1x)$ a $(y,\sin\frac1y)$
pro $x\in\Rm$ a $y\in\Rp$ nelze spojit dráhou.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
 
\index{lokální lineární souvislost}
\begin{define}
Prostor $X$ je {\bf lokálně lineárně souvislý}, právě když každé okolí
na $X$ má lineárně souvislé podokolí.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $X$ lokálně lineárně souvislý prostor. Potom
\begin{enumerate}[(I)]
\item Je-li $X$ souvislý, pak je souvislý lineárně.
\item Není-li $X$ souvislý, pak všechny komponenty $X$ jsou obojetné a
lineárně souvislé.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(I)]
\item Zvolme bod $x\in X$ pevně, nechť $A_x=\{y \mid x\phi y\}$ množina
všech bodů $y$, které lze spojit drahou s~$x$. Množina $A_x$ je
neprázdná (obsahuje přinejmenším bod $x$). Dokážeme, že $A_x$ je
obojetná:
\begin{enumerate}[a)]
\item Důkaz, že $A_x$ je otevřená:
 
Buď $y\in A_x$. Pak existuje lineárně souvislé okolí $\H_y$. Pro
libovolné $z\in\H_y$ platí, že $z\psi y\wedge y\phi x$, tedy
$x(\phi\dotp\psi)z$, tedy $z$ lze spojit drahou s~$x$ a $z\in
A_x$. Každý bod $y\in A_x$ leží v~$A_x$ i~s~okolím, tedy $A_x$ je
otevřená.
 
\item Důkaz, že $A_x$ je uzavřená:
 
Buď $y\not\in A_x$. Bod $y$ má lineárně souvislé okolí
$\H_y$. Předpokládejme, že $\H_y\cap A_x\not=\emptyset$. Pak ale pro
$z\in \H_y\cap A_x$ existují $\phi$ a $\psi$ takové, že $x\phi z\wedge
z\psi y$, tedy $y\in A_x$, což je spor. Tedy
$\H_y\cap A_x=\emptyset$ a $A_x$ je uzavřená.
\end{enumerate}
Prostor $X$ je souvislý, tedy jedinými jeho obojetnými podmnožinami
jsou $X$ a $\emptyset$. Protože $A_x$ je obojetná a neprázdná, je
$A_x=X$, takže $X$ je lineárně souvislý.
 
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Každá komponenta je souvislá, podle předchozích úvah je souvislá
lineárně.
\item Pro každý bod $x\in A$ platí, že $A$ je největší souvislá
množina obsahující bod $x$, tedy $A$ je uzavřená.
\item Každý bod $x\in A$ má lineárně souvislé okolí, které je
podmnožinou $A$, takže $A$ je otevřená.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{oblast}
\begin{define}
V~topologickém prostoru se {\bf oblastí} rozumí otevřená a souvislá
množina.
\end{define}
 
\begin{remark}
V~lineárním prostoru je každá oblast lokálně lineárně souvislá a každé dva body v~ní lze spojit lomenou čarou tvořenou konečně mnoha úseky, tedy dráha spojitá po částech.
\end{remark}
 
\begin{define}
Omezená oblast $G\subset\R^2$ se nazývá {\bf jednoduše souvislá},
právě když $G$ i $\R^2\sm G$ jsou souvislé množiny.
\end{define}
 
\begin{remark}
Jednoduše souvislá oblast je tedy množina \uv{bez děr}.
\end{remark}