01MAA4:Kapitola20: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobná úprava.) |
m (Drobné úpravy.) |
||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Křivkový integrál druhého druhu} | \section{Křivkový integrál druhého druhu} | ||
− | \begin{remark} | + | %\begin{remark} |
Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce. | Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce. | ||
− | \end{remark} | + | %\end{remark} |
\begin{define} | \begin{define} | ||
Řádka 51: | Řádka 51: | ||
g(t)= | g(t)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | -t\cos\frac1t&\ | + | -t\cos\frac1t&t\in\left[-\frac1\pi,0\right)\\ |
− | 0& | + | 0&t=0 |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\] | \] | ||
Řádka 60: | Řádka 60: | ||
\end{example} | \end{example} | ||
− | \begin{define} | + | \begin{define}[křivkový integrál druhého druhu] |
Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$, | Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$, | ||
− | $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma taková, že | + | $\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma taková, že |
$[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. | $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. | ||
− | \[\S(\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1})) | + | \[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1})) |
\text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf | \text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf | ||
integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze | integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze | ||
Řádka 71: | Řádka 71: | ||
Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť | Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť | ||
pro každou takovou posloupnost existuje limita | pro každou takovou posloupnost existuje limita | ||
− | \[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)=\int_g\boldsymbol\omega.\] | + | \[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)\overset{\text{def.}}=\int_g\boldsymbol\omega.\] |
Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ | Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ | ||
a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy | a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy | ||
− | $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$. | + | $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$, resp. {\bf křivkovým integrálem druhého druhu}. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální | Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální | ||
− | formy po dráze $g$. | + | formy po dráze $g$. Má-li jedna strana smysl, platí |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item \[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)= | + | \item (aditivita)\[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)= |
\int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\] | \int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\] | ||
− | \item | + | \item (homogenita) $\forall c\in\R$ \[\int_g(c\boldsymbol\omega)= |
c\int_g\boldsymbol\omega.\] | c\int_g\boldsymbol\omega.\] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 94: | Řádka 94: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. | + | Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega= | \item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega= | ||
\int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\] | \int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\] | ||
− | |||
\item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega= | \item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega= | ||
− | -\int_{g}\boldsymbol\omega | + | -\int_{g}\boldsymbol\omega.\] |
− | + | \item Buď $l(g)$ délka dráhy $g$. Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak | |
− | \item Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak | + | |
\[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\] | \[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 128: | Řádka 126: | ||
− | \begin{theorem}[ | + | \begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu druhého druhu]\label{VSubsKrivII} |
− | Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha | + | Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha |
− | třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\omega$. Pak $\omega$ je integrabilní po | + | třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. Pak $\boldsymbol\omega$ je integrabilní po |
dráze $g$ a existuje integrál | dráze $g$ a existuje integrál | ||
− | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\] | + | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\underleftarrow{\omega(g(t))}\,\overrightarrow{g'(t)}\d t.\] |
− | + | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item V integradu se skrývá působení kovektoru na vektor, tedy skalární součin! | ||
+ | \item Uvědomme si, že výraz $\overrightarrow{g'(t)}$ neznačí totální derivaci zobrazení $g$, nýbrž (jednořádkovou) Jacobiho matici dráhy $g$, tedy $\overrightarrow{g'(t)} =(\pd_1 g(t)\dots \pd_n g(t)).$ Šipka tedy značí řádkový vektor. Pro korektnost dodáváme, že je nutné jej transponovat, abychom získali vektor sloupcový. Transpozici však pro zjednodušení zápisu neuvádíme. | ||
+ | \item Pojmy křivka a dráha se často libovolně zaměňují, integrál je však téměř vždy křivkový, nikoli drahový. Křivkový integrál druhého druhu je {\bf orientovaný}, je tedy závislý na parametrizaci dráhy. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 156: | Řádka 161: | ||
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] | \[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] | ||
− | Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max | + | Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max{m_1,m_2}$. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak | + | Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak (tečka značí násobení čísel, nikoliv skalární součin) |
− | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))g'(t)\,\d t= | + | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))\cdot g'(t)\,\d t= |
− | \int_a^b f'(g(t))g'(t)\,\d t= | + | \int_a^b f'(g(t))\cdot g'(t)\,\d t= |
\int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\] | \int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\] | ||
− | tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy. | + | tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy, jen na počátečním a koncovém bodě. |
+ | |||
+ | Odsud vidíme, že určitý integrál z~funkce $f$, tj. | ||
+ | $\int_{a}^{b}f=f(b)-f(a)$ je vlastně křivkový integrál z~0-formy $f$. Z~exaktnosti 0-formy poté plyne závislost pouze na koncových bodech dráhy (tj. mezích určitého integrálu). | ||
+ | |||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 172: | Řádka 181: | ||
taková, že | taková, že | ||
\[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\] | \[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\] | ||
− | pak | + | pak (konečná aditivita) |
\[\int_\phi\boldsymbol\omega= | \[\int_\phi\boldsymbol\omega= | ||
− | \sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega\] | + | \sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega.\] |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 185: | Řádka 194: | ||
\[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] | \[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Integrál po uzavřené dráze se v matematice i fyzice často značí s kroužkem, tj. \[\oint_g f.\] | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 192: | Řádka 205: | ||
\item $\boldsymbol\omega$ je exaktní. | \item $\boldsymbol\omega$ je exaktní. | ||
\item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$, | \item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$, | ||
− | $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\ | + | $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\oint_g\boldsymbol\omega=0$, |
− | \item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní | + | \item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 208: | Řádka 221: | ||
Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními | Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními | ||
a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak | a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak | ||
− | \[0=\ | + | \[0=\oint_g\boldsymbol\omega= |
\int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] | \int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] | ||
\item $3\implies 1$: | \item $3\implies 1$: | ||
Řádka 245: | Řádka 258: | ||
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) | množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) | ||
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená. | $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. | ||
− | \item | + | \item Z Riezsovy věty: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F,\vec h\ra$ víme, že pro každou složku $\omega_i$ existuje složka $F^i$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu (zvednutí indexu přes jednotkovou matici). |
− | \item | + | \item Nechť $\cdot$ značí standardní skalární součin a $\d\vec r=(\d x,\d y,\d z)^T$. Práci po dráze $g$ lze vyjádřit |
− | \[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3 | + | \[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3{\omega_i}\,\d x^i= |
\int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\] | \int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\] | ||
− | \item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když | + | \item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když diferenciální 1-forma |
− | $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, | + | $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. |
− | + | \item Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$, taková, že $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, | |
− | $\boldsymbol\omega | + | je konzervativní, právě když existuje funkce $f$ taková, že |
− | \item | + | $\boldsymbol\omega=\d f=f'$. |
+ | \item Říkáme, že vektorové pole $\vec F(\vec r)$ je konzervativní, pokud existuje $\grad U(x)$ tak, že $\grad U(x)=\vec F(\vec r)$. Jinými slovy, $\vec F(\vec r)$ má potenciál $U(x)$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Verze z 24. 1. 2014, 14:54
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Křivkový integrál druhého druhu} %\begin{remark} Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce. %\end{remark} \begin{define} Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[ a_\iota,b_\iota\right] $. \begin{enumerate}[(i)] \item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak \[(g_1\dotp g_2)(t)= \begin{cases} g_1(t)&\text{na }\left[ a_1,b_1\right] \\ g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[ b_1,b_1+b_2-a_2\right] \end{cases} \] je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}. \item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[ -b_1,-a_1\right] $ je {\bf opačně orientovaná dráha}. \item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah $g_1$ a $g_2$} \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Je dána dráha $g$. Jestliže \[g=\dot{\sum_{i=1}^m}g_i,\] pak $\sigma=(g_1,\dots,g_m)$ nazveme {\bf rozdělením dráhy} $g$. \end{define} \begin{define} Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina \[\left\{l(\sigma)\left | l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} \right.\right\}\] je omezená. Délka je potom $\sup_{\sigma}l(\sigma)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu $\left[ a,b \right] $. \item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme {\bf norma rozdělení}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{example} \[ g(t)= \begin{cases} -t\cos\frac1t&t\in\left[-\frac1\pi,0\right)\\ 0&t=0 \end{cases} \] \[\sigma=\left(-\frac1\pi,-\frac1{2\pi},-\frac1{3\pi},\dots,-\frac1{p\pi}\right)\] \[l(\sigma)\ge\sum_{i=1}^p\abs{g\left(\frac1{(i+1)\pi}\right)-g\left(\frac1{i\pi}\right)-}= \sum_{i=1}^p\abs{\frac1{(i+1)\pi}+\frac1{i\pi}}\to +\infty\] \end{example} \begin{define}[křivkový integrál druhého druhu] Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$, $\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma taková, že $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. \[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1})) \text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$ při rozdělení $\sigma$. Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť pro každou takovou posloupnost existuje limita \[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)\overset{\text{def.}}=\int_g\boldsymbol\omega.\] Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$, resp. {\bf křivkovým integrálem druhého druhu}. \end{define} \begin{theorem} Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální formy po dráze $g$. Má-li jedna strana smysl, platí \begin{enumerate}[(i)] \item (aditivita)\[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)= \int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\] \item (homogenita) $\forall c\in\R$ \[\int_g(c\boldsymbol\omega)= c\int_g\boldsymbol\omega.\] \end{enumerate} \begin{proof} \[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)= \sum_{i=1}^p\omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))\] Z~linearity $\boldsymbol\omega$ v~této sumě vyplývá linearita integrálu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí \begin{enumerate}[(i)] \item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega= \int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\] \item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega= -\int_{g}\boldsymbol\omega.\] \item Buď $l(g)$ délka dráhy $g$. Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak \[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Nechť existuje $\int_g\boldsymbol\omega$, $g=g_1 \dotplus g_2$. Předpokládejme, že $\int_{g_1}\boldsymbol\omega$ neexistuje. Pak existují integrální součty $\S_1$ a $\S_2$ takové, že $\S_1(\mathbb{\boldsymbol\omega},g_1,\sigma_1^{(m)})\to S_1$ a $\S_2(\boldsymbol\omega,g_1,\tilde\sigma_1^{(m)})\to S_2$, $S_1\not=S_2$. Vezmu $g_2$, $\sigma_2^{(m)}$, sjednocením získám rozdělení $g$, $\sigma=\sigma_1 \cup\sigma_2$, $\tilde\sigma=\tilde\sigma_1 \cup\sigma_2$ a hned vyleze spor s~jednoznačností limity. Důkaz rovnosti: \[S(\boldsymbol\omega,g,\sigma^{(m)})= S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_1^{(m)})+ S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_2^{(m)}).\] \item \[\S(\boldsymbol\omega,\dotm g,\sigma^{(m)})= \sum_{i=1}^p\omega(x_i)(-g(t_i)+g(t_{i-1})).\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu druhého druhu]\label{VSubsKrivII} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. Pak $\boldsymbol\omega$ je integrabilní po dráze $g$ a existuje integrál \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\underleftarrow{\omega(g(t))}\,\overrightarrow{g'(t)}\d t.\] \begin{remark} \begin{enumerate} \item V integradu se skrývá působení kovektoru na vektor, tedy skalární součin! \item Uvědomme si, že výraz $\overrightarrow{g'(t)}$ neznačí totální derivaci zobrazení $g$, nýbrž (jednořádkovou) Jacobiho matici dráhy $g$, tedy $\overrightarrow{g'(t)} =(\pd_1 g(t)\dots \pd_n g(t)).$ Šipka tedy značí řádkový vektor. Pro korektnost dodáváme, že je nutné jej transponovat, abychom získali vektor sloupcový. Transpozici však pro zjednodušení zápisu neuvádíme. \item Pojmy křivka a dráha se často libovolně zaměňují, integrál je však téměř vždy křivkový, nikoli drahový. Křivkový integrál druhého druhu je {\bf orientovaný}, je tedy závislý na parametrizaci dráhy. \end{enumerate} \end{remark} \begin{proof} Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme zajistit, že $\abs{\sigma^{(m)}}\to 0$. \[ \begin{split} \S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_g^{(m)})&=\sum_{i=1}^{p_m}\omega(g(\xi_i^{(m)}))(g(t_i^{(m)})-g(t_{i-1}^{(m)}))= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) {g^j}'(\eta_{ij}^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})=\\ &=\underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))(g^j)'(\xi_i^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{A_m}+\\ &\quad + \underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) ((g^j)'(\eta_{ij}^{(m)})-(g^j)'(\xi_i^{(m)}))(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{B_m} \end{split} \] \[(\forall\epsilon>0)(\exists m_1)(\forall m>m_1) \left(\abs{\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t-A_m}<\frac\epsilon2\right)\] \[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\] \[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[ a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta \Rightarrow \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\] \[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max{m_1,m_2}$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak (tečka značí násobení čísel, nikoliv skalární součin) \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))\cdot g'(t)\,\d t= \int_a^b f'(g(t))\cdot g'(t)\,\d t= \int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\] tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy, jen na počátečním a koncovém bodě. Odsud vidíme, že určitý integrál z~funkce $f$, tj. $\int_{a}^{b}f=f(b)-f(a)$ je vlastně křivkový integrál z~0-formy $f$. Z~exaktnosti 0-formy poté plyne závislost pouze na koncových bodech dráhy (tj. mezích určitého integrálu). \end{remark} \begin{define} Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $\phi$ po částech $\in\c{1}$, taková, že \[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\] pak (konečná aditivita) \[\int_\phi\boldsymbol\omega= \sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega.\] \end{define} \begin{define} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$. Řekneme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf konzervativní}, právě když pro každé dvě dráhy $g_1,g_2$ po částech $\c{1}$ splňující podmínku $[g_1]\cup[g_2]\subset\df\boldsymbol\omega$, $g_1(a_1)=g_2(a_2)$, $g_1(b_1)=g_2(b_2)$ platí \[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] \end{define} \begin{remark} Integrál po uzavřené dráze se v matematice i fyzice často značí s kroužkem, tj. \[\oint_g f.\] \end{remark} \begin{theorem} Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$. Potom následující výroky jsou ekvivalentní: \begin{enumerate}[(i)] \item $\boldsymbol\omega$ je exaktní. \item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$, $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\oint_g\boldsymbol\omega=0$, \item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $1\implies 2$: Buď $\omega=\d f$, \[g=\sum_{i=1}^p g_i\] libovolná dráha po částech $\c{1}$, $g_i\in\c{1}$. \[\int_g\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^p\int_{g_i}\boldsymbol\omega= \sum_{i=1}^p(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(x_p)-f(x_0).\] Platí \[x_p=x_0\implies\int_g\boldsymbol\omega=0.\] \item $2\implies 3$: Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak \[0=\oint_g\boldsymbol\omega= \int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] \item $3\implies 1$: Definiční obor nemusí být souvislý a proto se rozdělí na jednotlivé komponenty souvislosti a pro každou se definuje funkce $f$ zvlášť. Buď $A$ souvislá podmnožina $\df\boldsymbol\omega$, zvolím pevně $x_0\in A$. Když si zvolím jiný bod, výsledná funkce se liší o konstantu (křivkový integrál z $\boldsymbol\omega$ mezi původním a novým bodem). V~$\R^n$ (lineární prostor) je každá oblast lokálně lineárně souvislá a lze v ní každé dva body spojit lomenou čarou: $x\in A$; $[g_x]\subset A$. \\ \\ Definujme $f(x)=\int_{g_x}\boldsymbol\omega$ (definice je jednoznačná, neboť $\boldsymbol\omega$ je konzervativní). $f$ je reálná funkce na $A$, dokážeme, že $f'(x)=\omega(x)$: \[ \begin{split} f_i(x)&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\vec{e_i})-f(x)}{t}= \lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)= %\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_x\dotp g_i}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=\\ \lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\underbrace{\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega -\int_{g_i}\boldsymbol\omega}_{\text{uzavřená dráha}}+\int_{g_i}\boldsymbol\omega\right)=\\ &=\lim_{t\to 0}\frac1t\int_{g_i}\boldsymbol\omega= \lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\omega(x+\tau\vec{e_i})\vec{e_i}\,\d\tau= \lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\underbrace{\omega_i(x+\tau\vec{e_i})}_{\text{spojité}}\,\d\tau= \omega_i(x) \end{split} \] $g_{(x+t\vec{e_i})}$ je libovolná křivka z bodu $x_0$ do $x+t\vec{e_i}$, nemusí se s $g_x$ shodovat v jediném bodě. Poslední krok plyne z věty o střední hodnotě. $\omega_i(x)$ je spojité a $f$ má tedy spojité parciální derivace s proto je diferencovatelná, takže $\omega_i(x)=f_i(x)$, $\boldsymbol\omega=\d f$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V~případě, že $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ na jednoduše souvislé množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. \item Z Riezsovy věty: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F,\vec h\ra$ víme, že pro každou složku $\omega_i$ existuje složka $F^i$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu (zvednutí indexu přes jednotkovou matici). \item Nechť $\cdot$ značí standardní skalární součin a $\d\vec r=(\d x,\d y,\d z)^T$. Práci po dráze $g$ lze vyjádřit \[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3{\omega_i}\,\d x^i= \int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\] \item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. \item Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$, taková, že $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, je konzervativní, právě když existuje funkce $f$ taková, že $\boldsymbol\omega=\d f=f'$. \item Říkáme, že vektorové pole $\vec F(\vec r)$ je konzervativní, pokud existuje $\grad U(x)$ tak, že $\grad U(x)=\vec F(\vec r)$. Jinými slovy, $\vec F(\vec r)$ má potenciál $U(x)$. \end{enumerate} \end{remark} %\begin{example} %$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní. %\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\] %\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\] %\end{example}