01MAA4:Kapitola34: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m (Drobná úprava.) |
||
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buďte $f,g\in | + | Buďte $f,g\in \c{1}\left[ \alpha,\beta\right] $, množinu |
− | $D=\{(x,y)\in\R^2|x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$ | + | $D=\{(x,y)\in\R^2~|~x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$ |
nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}. | nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 13: | Řádka 13: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{array}{l} | \begin{array}{l} | ||
− | \phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\ | + | \phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\ |
− | \phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\ | + | \phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\left[ 0,1\right]\\ |
− | \phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\ | + | \phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\ |
− | \phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\ | + | \phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\left[ 0,1\right]. |
\end{array} | \end{array} | ||
\] | \] | ||
Řádka 47: | Řádka 47: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu | Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu | ||
− | $y(x)=\{(x,y)\in\R^2|y\in\ | + | $y(x)=\{(x,y)\in\R^2~|~y\in\left[\alpha,\beta\right],\ g(y)<x<f(y)\}$. Buď |
$\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$. | $\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$. | ||
Pak | Pak | ||
Řádka 53: | Řádka 53: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
$\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$, | $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$, | ||
− | $\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\ | + | $\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\left[\alpha,\beta\right]$, |
$\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$, | $\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$, | ||
− | $t\in\ | + | $t\in\left[ 0,1\right]$ atd... analogicky, jako v předchozí větě. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $\phi\in\c{0}\ | + | Buď $\phi\in\c{0}\left[\alpha,\beta\right]$, |
− | $\phi:\ | + | $\phi:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto\R^n$. Potom $\phi$ je {\bf Jordanova |
dráha}, právě když | dráha}, právě když | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
Řádka 76: | Řádka 76: | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem}[Green] | + | |
− | Buď $D$ | + | \begin{theorem}[Green]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\phi$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí |
− | + | ||
− | + | ||
− | $ | + | |
− | + | ||
\[ | \[ | ||
\int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( | \int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( | ||
Řádka 87: | Řádka 83: | ||
\right)\d x\d y. | \right)\d x\d y. | ||
\] | \] | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Vnitřek Jordanovy dráhy je jednoduše souvislý. (jednoduchá souvislost viz \ref{simplyconnected}) | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{remark} | + | \begin{remark} |
− | + | Je-li forma $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$ je uzavřená na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru, z definice platí \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}.\] Z Greenovy věty pak získám | |
+ | \[\int_\phi P\d x+Q\d y=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\] forma $\boldsymbol\omega$ je tedy konzervativní. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Verze z 5. 10. 2013, 01:18
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Newtonova formule v $\R^2$} \begin{define} Buďte $f,g\in \c{1}\left[ \alpha,\beta\right] $, množinu $D=\{(x,y)\in\R^2~|~x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$ nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}. \end{define} \begin{remark} Definujeme $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$., kde \[ \begin{array}{l} \phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\ \phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\left[ 0,1\right]\\ \phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\ \phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\left[ 0,1\right]. \end{array} \] \end{remark} \begin{theorem} Buď $P:\uz{D}\mapsto\R$ reálná funkce spojitá na $\uz{D}$ a třídy $\c{1}$ na $D$. Pak \[\int_\phi P\,\d x=-\iint_D\frac{\pd P}{\pd y}\,\d x\d y.\] \begin{proof} Z~Fubiniho věty a věty o~derivaci podle parametru \[ \begin{split} \int_\phi P\,\d x + 0\d y &=\int_{\phi_g}+\int_{\phi_\beta} -\int_{\phi_f}-\int_{\phi_\alpha}= \int_\alpha^\beta(P(t,g(t)),0)(1, g'(t))\,\d t+ \int_0^1(P,0)(0,f(\beta)-g(\beta))\,\d t-\\ &\quad -\int_\alpha^\beta(P(t,f(t)),0)(1,f'(t))\,\d t- \int_0^1(P,0)(0,f(\alpha)-g(\alpha))\,\d t=\\ &=\int_\alpha^\beta(P(t,g(t))-P(t,f(t)))\,\d t= -\int_\alpha^\beta[P(x,y)]_{g(x)}^{f(x)}\,\d x= -\int_\alpha^\beta\left( \int_{g(x)}^{f(x)}\frac{\pd P}{\pd y}(x,y)\,\d y \right)\d x. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu $y(x)=\{(x,y)\in\R^2~|~y\in\left[\alpha,\beta\right],\ g(y)<x<f(y)\}$. Buď $\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$. Pak \[\int_\phi Q\,\d y=\iint_D\frac{\pd Q}{\pd x}\,\d x\d y.\] \begin{proof} $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$, $\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\left[\alpha,\beta\right]$, $\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$, $t\in\left[ 0,1\right]$ atd... analogicky, jako v předchozí větě. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $\phi\in\c{0}\left[\alpha,\beta\right]$, $\phi:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto\R^n$. Potom $\phi$ je {\bf Jordanova dráha}, právě když \begin{enumerate}[(i)] \item $\phi(\alpha)=\phi(\beta)$, \item $\phi$ je na $\left[ \alpha,\beta\right) $ prostá. \end{enumerate} \end{define} \begin{theorem}[Jordan] Buď $\varphi$ {\bf Jordanova dráha} v~$\R^2$. Pak $\R^2$ se jednoznačně disjunktně rozloží $\R^2=A\cup[\phi]\cup B$, kde $A$ je neomezená a $B$ omezená. Označíme $A=\extd\phi$ --- {\bf vnějšek dráhy}, $B=\intd\phi$ --- {\bf vnitřek dráhy}. \end{theorem} \begin{theorem}[Green]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\phi$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( \frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y} \right)\d x\d y. \] \end{theorem} \begin{theorem} Vnitřek Jordanovy dráhy je jednoduše souvislý. (jednoduchá souvislost viz \ref{simplyconnected}) \end{theorem} \begin{remark} Je-li forma $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$ je uzavřená na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru, z definice platí \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}.\] Z Greenovy věty pak získám \[\int_\phi P\d x+Q\d y=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\] forma $\boldsymbol\omega$ je tedy konzervativní. \end{remark}