Verze z 22. 9. 2013, 13:59

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Metrika}
 
\index{metrika}
\index{metrický prostor}
\begin{define}
Buď $X$ neprázdná množina, na níž je definováno zobrazení
$\rho:X\times X\mapsto \Rop$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\rho(x,y)=0 \iff x=y \quad\forall x,y\in X$,
\item $\rho(x,y)=\rho(y,x) \quad\forall x,y\in X$,
\item $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) \quad\forall x,y,z\in X$,
\end{enumerate}
Potom $\rho$ nazveme {\bf metrikou} na množině $X$ a dvojici
$(X,\rho)$ nazveme {\bf metrický prostor}.
 
\index{vzdálenost bodů}
Prvky nosné množiny se nazývají {\bf body}, $\rho(x,y)$ je {\bf
vzdálenost bodů} $x,y$.
\end{define}
\bigskip
\index{diskrétní metrika}
\index{diskrétní prostor}
\begin{remark}
Na každé množině jde zavést vzdálenost --- přinejmenším
tzv. diskrétní metrika:
\[\mathrm{d}(x,y)\left\{
\begin{array}{ll}
0 & x=y \\
1 & x\not=y \\
\end{array}
\right.
\]
\item 
\end{remark}
 
\index{norma}
\index{normovaný prostor}
\begin{define}
Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení
$\norm{\ }:V\mapsto \Rop$ takové, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$,
\item $\norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x} \quad\forall\vec x\in
V,\lambda\in T$,
\item $\norm{\vec x+\vec y}\le\norm{\vec x}+\norm{\vec y}$,
\end{enumerate}
pak dvojice $(V,\norm{\ })$ se nazývá {\bf normovaný prostor}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{metrika indukovaná normou}
\item $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$ --- metrika indukovaná normou.
\index{maximová norma}
\item $\norm{\vec x}_m=\max\{\abs{x_i}\}$ --- maximová norma
\index{$p$--norma}
\index{Euklidovská norma}
\item $\displaystyle p\in\Rp\quad\norm{\vec
  x}_p=\left(\sum_{i=1}^{\dim V} \abs{x_i}^p\right)^{1/p}$ ---
  $p$--norma; $p=2$ --- euklidovská norma
\item $\lim_{p\to +\infty}\norm{\cdot}_p=\norm{\cdot}_m$
\item pro $p<q$ a $x\in V$ platí, že $\norm{x}_p\geq \norm{x}_q$
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom:
\begin{enumerate}[(i)]
\index{průměr množiny}
\item $\forall A\subset X: d(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$ --- {\bf
průměr množiny}
\index{vzdálenost množiny}
\item $\forall A,B\subset X: \rho(A,B)=\inf\limits_{x\in A,y\in
B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin}
\end{enumerate}
\end{define}
 
\index{omezená množina}
\begin{define}
Říkáme, že množina $A\subset X$ je omezená, právě když $d(A)<+\infty$.
\end{define}
 
\index{otevřená koule}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom
(otevřenou) {\bf koulí} rozumíme množinu $B(x,r)=\{y\in X | \rho(y,x)<r\}$.
\end{define}
 
\index{uzavřená koule}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Prostor je omezený, právě když $\exists r,x: X\subset B(x,r)$,
tj. když se vejde do koule.
 
\item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky generované normou konvexní bude. 
\item V~diskrétním prostoru: $B(x,1)=\{x\}$, $B(x,r>1)=X$.
\item Uzavřená koule --- $S(x,r)=\{y\in X|\rho(y,x)\leq r\}$. 
Obecně se v metrickém prostoru $\uz{B(x,r)}\subset S(x,r)$, např. v diskrétní metrice
$S(x,1) = X \neq \uz{B(x,1)} = \{x\}$
\item $(\R,\mathrm{d})$ je omezený (diskrétní metrika, nikoli průměr množiny), $(\R,\abs{\ })$ není omezený.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť $x,y\in X$, $x\not=y$. Pak existuje $r>0$ tak, že platí:
$B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$.
\begin{proof}
Například $r=\frac12\rho(x,y)$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{otevřená množina}
\begin{define}
Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když $(\forall x\in
A)(\exists B(x,r)\subset A)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Každý prostor je otevřená množina; otevřená koule je otevřená množina.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom
$\bigcap\limits_{i=1}^n A_i$ je otevřená množina.
\item Jsou-li $A_\alpha$ otevřené množiny ($\alpha\in\I$ {\bf libovolná}
indexová množina), je $\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha$ je otevřená množina.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pokud je průnik prázdný, je tvrzení triviální. Pro libovolný bod $x$
neprázdného průniku pak platí: 
$(\forall i\in\n)(\exists r_i>0)(B(x,r_i)\subset A_i)$. Vzhledem k~tomu,
že množin je konečný počet, existuje $r=\min_{i\in\n}r_i$, tedy platí
\[B(x,r)\in\bigcap\limits_{i=1}^n A_i,\]\bigskip
což je tvrzení věty.
\item Libovolný bod $x$ ze sjednocení leží alespoň v~jedné množině
$A_\alpha$, tudíž podle předpokladu existuje koule 
\[B(x, r)\subset A_\alpha\subset\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}