01MAA3:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA3} | %\wikiskriptum{01MAA3} | ||
− | \section{ | + | \section{Souvislé prostory} |
− | \index{ | + | \index{souvislost} |
− | + | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf souvislý}, právě když jeho jedinými | |
− | + | obojetnými podmnožinami jsou $X$ a $\emptyset$. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | \bigskip | ||
+ | \begin{example} | ||
+ | Příklad topologického prostoru, který není souvislý je množina X s více než dvěma prvky a s diskrétní topologií. | ||
+ | Protože je každá podmnožina X obojetná. | ||
+ | \end{example} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | Prostor $X$ je souvislý, právě když ho nelze zapsat jako sjednocení | |
+ | dvou otevřených neprázdných disjunktních podmnožin. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
+ | \bigskip | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buď $A_\alpha$ systém souvislých množin takový, že každé 2 mají | ||
+ | neprázdný průnik. Potom sjednocení $A=\bigcup A_\alpha$ je souvislá | ||
+ | množina. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $A=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$, $B_1\cap | ||
+ | B_2=\emptyset$. Potom $A_\alpha=(B_1\cap A_\alpha)\cup(B_2\cap | ||
+ | A_\alpha)$ a protože $B_\iota$ jsou v~$A$ otevřené, platí, že | ||
+ | $(B_\iota\cap A_\alpha)=\vn{(B_\iota\cap A_\alpha)}^{A_\alpha}$. | ||
− | \ | + | Protože $A_\alpha$ jsou souvislé, $A_\alpha$ musí být buď podmnožinou |
− | \ | + | $B_1$ nebo $B_2$. Všechny $A_\alpha$ pak musí ležet buď v~$B_1$ nebo |
− | + | $B_2$, neboť každé 2 mají neprázdný průnik. Pak ale $B_1$ nebo $B_2$ | |
− | + | je prázdná, což je spor. | |
− | \end{ | + | \end{proof} |
− | + | \end{theorem} | |
− | \begin{ | + | \bigskip |
− | \begin{ | + | \begin{theorem} |
− | \ | + | Nechť $A\subset X$, $A\subset B\subset\uz{A}$. Pak je-li $A$ souvislá, |
− | \item | + | jsou i $\uz A$ a $B$ souvislé. |
− | + | \begin{proof} | |
− | \ | + | \begin{enumerate}[a)] |
− | \ | + | \item \emph{ (sporem)} Buď $x\in A'$, $B=A\cup\{x\}$. Nechť $B=B_1\cup B_2$, |
− | \ | + | $B_\iota=\vn{B_\iota}^B$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom |
− | \item | + | $A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)$. |
− | \ | + | Platí, že $(B_\iota\cap A)=\vn{(B_\iota\cap |
+ | A)}^{A}$, proto buď $A\subset B_1$ nebo $A\subset B_2$ | ||
+ | $\implies$ buď $\uz{A}^B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $\uz{A}^B\subset\uz{B_2}^B$, | ||
+ | $\implies$ buď $B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $B\subset\uz{B_2}^B$, což je | ||
+ | spor.\bigskip | ||
+ | \item $B=\bigcup_{x\in B}(A\cup\{x\})$, tedy $B$ vzniklo sjednocením | ||
+ | souvislých množin s~neprázdným průnikem. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | \end{ | + | \end{proof} |
− | + | \end{theorem} | |
+ | \bigskip | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | + | Jedinými souvislými množinami v~$\R$ jsou intervaly. | |
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | + | \begin{enumerate}[a)] | |
− | + | \bigskip\item $A$ není interval $\implies$ $A$ není souvislá: | |
− | platí, | + | |
+ | Nechť tedy $A$ není interval, tj. platí, že | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | (\exists x_1,x_2\in A)(\exists c\in\R)(x_1<c<x_2\wedge c\not\in A). |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\] | \] | ||
− | + | Buďte $B_1=A\cap(-\infty,c)$, $B_1=A\cap(c,+\infty)$, tedy | |
− | \ | + | $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$. $A=B_1\cup B_2$ a přitom $B_1$ a $B_2$ jsou |
− | \ | + | otevřené, neprázdné a disjunktní, tudíž $A$ není souvislá množina. |
+ | \bigskip | ||
+ | \item $A$ je interval $\implies$ $A$ je souvislá: | ||
− | + | Nechť $A=/\alpha,\beta/$ je libovolný interval, $B=\uz{B}^A=\vn{B}^A$, | |
− | + | $B\not=\emptyset$ neprázdná obojetná podmnožina $A$. Dokážeme, že | |
− | + | $B=A$. Buď $c\in B$, $b=\sup\{x\in\R~|~\left[ c,x\right] \subset B\}$. | |
− | + | ||
− | \ | + | Předpokládejme, že $b<\beta$. Z~2. vlastnosti supréma vyplývá, že |
− | + | \[(\forall\epsilon>0)(\exists x\in \left( b-\epsilon,b\right] ) | |
− | \ | + | (\left[ c,x\right] \subset B),\] tedy v~libovolném okolí bodu $b$ leží bod |
− | + | z~$B$, z~čehož vyplývá, že $b\in\uz{B}^A=B$. | |
− | \[\ | + | |
− | + | Protože $b\in B$, z~otevřenosti $B$ vyplývá existence takového | |
− | $ | + | $\epsilon$, že platí $\left[ b-\epsilon,b+\epsilon\right] \subset B$. Současně |
− | + | ale $\left[ c,b\right] \subset B$, takže $\left[ c,b+\epsilon\right] \subset B$, což | |
− | \[ | + | je spor s~1. vlastností supréma, tedy $b=\beta$. |
+ | |||
+ | Analogicky se dokáže tvrzení pro dolní hranici intervalu a z~obou pak | ||
+ | vyplývá, že nutně $A=B$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | \end{ | + | \end{proof} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | + | ||
− | \ | + | \clearpage |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | + | Spojitý obraz souvislé množiny je souvislý. | |
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Buď $ | + | Buď $f(X)=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^{f(X)}$, $B_1\cap |
− | + | B_2=\emptyset$. Pak $X=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$. Množiny | |
− | + | $f^{-1}(B_1)$ a $f^{-1}(B_2)$ jsou otevřené (to vyplývá ze spojitosti | |
− | + | $f$) a disjunktní (to vyplývá z~jednoznačnosti obrazu), tedy vzor není | |
− | + | souvislý, což je spor. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
\bigskip | \bigskip | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé kompaktní množině infima, suprema a všeho mezi tím. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | % chybí důkaz | ||
+ | |||
+ | \index{svázanost} | ||
+ | \index{komponenta souvislosti} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | Definujme na $X\times X$ relaci svázanosti: $x\sv y$, právě když | ||
+ | existuje souvislá množina $A\subset X$ taková, že $x\in A$ a $y\in | ||
+ | A$. Všechny třídy podle ekvivalence $x\sv y$ nazveme {\bf komponentami | ||
+ | souvislosti}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | \begin{enumerate} | |
− | \begin{ | + | \item Komponenta souvislosti bodu $x$ je největší souvislá množina |
− | + | obsahující $x$. | |
− | + | \item Komponenta souvislosti bodu x je uzavřená množina v X. | |
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
\end{remark} | \end{remark} | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \index{lokální souvislost} |
+ | \begin{define} | ||
+ | Řekneme, že prostor $X$ je {\bf lokálně souvislý}, právě když každé okolí má | ||
+ | souvislé podokolí. | ||
+ | \end{define} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | + | \begin{remark} |
+ | Otevřené množiny v~lineárním prostoru jsou lokálně souvislé. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \bigskip | ||
+ | \index{dráha} | ||
+ | \index{stopa dráhy} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | {\bf Dráhou v~topologickém prostoru} rozumíme každé spojité zobrazení | ||
+ | kompaktního intervalu z~$\R$ do $X$. | ||
− | + | Množinu $[\phi]=\{\phi(x)~|~x\in\left[ \alpha, \beta\right] \}$ nazýváme {\bf stopa | |
− | + | dráhy}. | |
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | Jestliže $[\phi]\cap A\not=\emptyset$, říkáme, že dráha {\bf protíná} | |
− | + | $A$. Jestliže dráha protíná jednobodovou množinu $\{x\}$, říkáme, že | |
− | $ | + | dráha {\bf prochází} bodem $x$. |
− | + | \bigskip | |
− | + | \index{orientovaný součet drah} | |
− | + | {\bf Orientovaný součet dvou drah}: Jestliže koncový bod jedné dráhy splývá | |
− | + | s~počátečním bodem druhé dráhy ($\phi_1(\beta_1)=\phi_2(\alpha_2)$), pak | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | (\phi_1\dotp\phi_2)(t)=\phi(t)= |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \phi_1(t) & \text{pro $t\in\left[ \alpha_1,\beta_1\right] $}\\ | ||
+ | \phi_2( t+ \alpha_2 - \beta_1) & \text{pro $t\in\left[ \beta_1,\beta_1+\beta_2-\alpha_2\right] $} | ||
+ | \end{cases} | ||
\] | \] | ||
− | + | \bigskip | |
− | + | \end{define} | |
− | |||
− | |||
− | + | \begin{remark} | |
− | + | Stopa dráhy je vždy souvislá. | |
− | + | \end{remark} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | \begin{define} | |
− | \[ | + | Opačně orientovanou drahou k~dráze $\phi$ je dráha |
− | \ | + | $\dotm\phi(t)=\phi(-t)$, kde $t\in\left[ -\beta,-\alpha\right] $ |
− | \ | + | \end{define} |
− | + | ||
− | \ | + | \begin{remark} |
− | \ | + | $\phi_1\dotm\phi_2=\phi_1\dotp(\dotm\phi_2)$ za předpokladu, že dráhy |
− | \] | + | mají stejný koncový bod. |
− | + | \end{remark} | |
− | \ | + | \bigskip |
− | \ | + | \begin{theorem} |
− | \ | + | Buď $A$ množina z~$X$, buď $\phi$ dráha spojující nějaký vnitřní a |
− | + | vnější bod z~$A$, tj. $[\phi]\cap\vn{A}\not=\emptyset \wedge[\phi]\cap\vn{(X\sm | |
− | + | A)}\not=\emptyset$. Potom $[\phi]\cap\hr{A}\not=\emptyset$. | |
− | \ | + | |
− | \ | + | \begin{proof} |
+ | \emph{ (sporem)} Buď $B$ souvislá množina $(B\cap A\not=\emptyset\wedge | ||
+ | B\cap \vn{(X\sm A)}\not=\emptyset)$ a předpokládejme, že | ||
+ | $B\cap\hr{A}=\emptyset$. Pak ale | ||
+ | $B=(B\cap\vn{A})\cup(B\cap\vn{(X\sm A)})$, tedy $B$ lze vyjádřit jako | ||
+ | sjednocení dvou disjunktních otevřených množin, což je spor s~tím, že | ||
+ | $B$ je souvislá. Důkaz věty pak dostáváme, pokud položíme $B=[\phi]$, neboť stopa dráhy je souvislá množina (spojitý obraz intervalu v $\R$ tj. souvislé množiny je souvislý). | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | \bigskip | ||
− | \index{ | + | |
+ | \index{lineární souvislost} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | $X$ je lineárně souvislá, právě když libovolné dva body z~$X$ lze | |
− | právě když | + | spojit dráhou. |
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Lineárně souvislý prostor je souvislý, opačná implikace neplatí. |
− | + | ||
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | + | Libovolný bod $x\in X$ lze spojit s~ostatními body $X$ dráhou. Tyto | |
− | + | dráhy mají neprázdný průnik a jejich sjednocením je prostor $X$. Tedy | |
− | + | $X$ lze vyjádřit jako sjednocení množin s~neprázdným průnikem, takže | |
− | + | $X$ je souvislý. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | $X | + | |
− | + | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
+ | \item Naopak to neplatí --- např. množina | ||
+ | \[ | ||
+ | \{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup | ||
+ | \left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)~\right|~x\in\R\sm\{0\}\right\} | ||
+ | \] | ||
+ | je souvislá, ale není souvislá lineárně. Množiny | ||
+ | $\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rm\}$ a $\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rp\}$ jsou | ||
+ | souvislé (jsou to spojité obrazy intervalu), souvislé jsou tedy i | ||
+ | jejich uzávěry $\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup\{\dots\}$. Sjednocení | ||
+ | uzávěrů je souvislé, ale body $(x,\sin\frac1x)$ a $(y,\sin\frac1y)$ | ||
+ | pro $x\in\Rm$ a $y\in\Rp$ nelze spojit dráhou. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \index{lokální lineární souvislost} | |
+ | \begin{define} | ||
+ | Prostor $X$ je {\bf lokálně lineárně souvislý}, právě když každé okolí | ||
+ | na $X$ má lineárně souvislé podokolí. | ||
+ | \end{define} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\bigskip | \bigskip | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem} |
− | + | Buď $X$ lokálně lineárně souvislý prostor. Potom | |
− | Buď $ | + | \begin{enumerate}[(I)] |
− | + | \item Je-li $X$ souvislý, pak je souvislý lineárně. | |
− | \ | + | \item Není-li $X$ souvislý, pak všechny komponenty $X$ jsou obojetné a |
− | + | lineárně souvislé. | |
− | + | \end{enumerate}\bigskip | |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate}[(I)] | ||
+ | \item Zvolme bod $x\in X$ pevně, nechť $A_x=\{y~|~x\phi y\}$ množina | ||
+ | všech bodů $y$, které lze spojit drahou s~$x$. Množina $A_x$ je | ||
+ | neprázdná (obsahuje přinejmenším bod $x$). Dokážeme, že $A_x$ je | ||
+ | obojetná: | ||
+ | \begin{enumerate}[a)] | ||
+ | \bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je otevřená: | ||
− | + | Buď $y\in A_x$. Pak existuje lineárně souvislé okolí $\H_y$. Pro | |
+ | libovolné $z\in\H_y$ platí, že $z\psi y\wedge y\phi x$, tedy | ||
+ | $x(\phi\dotp\psi)z$, tedy $z$ lze spojit drahou s~$x$ a $z\in | ||
+ | A_x$. Každý bod $y\in A_x$ leží v~$A_x$ i~s~okolím, tedy $A_x$ je | ||
+ | otevřená. | ||
− | + | \bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je uzavřená: | |
− | \ | + | Buď $y\not\in A_x$. Bod $y$ má lineárně souvislé okolí |
− | \ | + | $\H_y$. Předpokládejme, že $\H_y\cap A_x\not=\emptyset$. Pak ale pro |
− | \ | + | $z\in \H_y\cap A_x$ existují $\phi$ a $\psi$ takové, že $x\phi z\wedge |
− | \ | + | z\psi y$, tedy $y\in A_x$, což je spor. Tedy |
− | + | $\H_y\cap A_x=\emptyset$ a $A_x$ je uzavřená. | |
− | + | \end{enumerate} | |
− | \ | + | Prostor $X$ je souvislý, tedy jedinými jeho obojetnými podmnožinami |
+ | jsou $X$ a $\emptyset$. Protože $A_x$ je obojetná a neprázdná, je | ||
+ | $A_x=X$, takže $X$ je lineárně souvislý. | ||
+ | |||
+ | \bigskip\item | ||
\begin{enumerate}[a)] | \begin{enumerate}[a)] | ||
− | \ | + | \bigskip\item Každá komponenta je souvislá, podle předchozích úvah je souvislá |
− | \item $ | + | lineárně. |
− | $ | + | \bigskip\item Pro každý bod $x\in A$ platí, že $A$ je největší souvislá |
− | + | množina obsahující bod $x$, tedy $A$ je uzavřená. | |
− | + | \bigskip\item Každý bod $x\in A$ má lineárně souvislé okolí, které je | |
− | + | podmnožinou $A$, takže $A$ je otevřená. | |
− | + | \end{enumerate} | |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \ | + | \index{oblast} |
− | + | \begin{define} | |
− | + | V~topologickém prostoru se {\bf oblastí} rozumí otevřená a souvislá | |
− | \begin{ | + | množina. |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | V~lineárním prostoru je každá oblast lokálně lineárně souvislá a každé | |
+ | 2 body v~ní lze spojit lomenou čarou tvořenou konečně mnoha | ||
+ | \uv{segmenty.} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Omezená oblast $D\subset\R^2$ se nazývá {\bf jednoduše souvislá}, | |
− | + | právě když $D$ i $\R^2\sm D$ jsou souvislé množiny. | |
− | + | ||
− | \ | + | |
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
− | \begin{ | + | \begin{remark} |
− | + | Jednoduše souvislá oblast je tedy množina \uv {bez děr}. | |
− | + | \end{remark} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + |
Verze z 22. 9. 2013, 13:52
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA3
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA3 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:09 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:36 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 09:50 | preamble.tex | |
Kapitola1 | editovat | Funkční posloupnosti | Kubuondr | 21. 1. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkční řady | Dedicma2 | 22. 2. 2016 | 00:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Trigonometrické řady | Peckaja1 | 11. 2. 2016 | 14:14 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Metrika | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 18:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Topologie | Kubuondr | 3. 2. 2017 | 22:08 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Spojitost | Kubuondr | 22. 1. 2017 | 19:14 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Kompaktní prostory | Kubuondr | 8. 2. 2017 | 22:51 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Souvislé prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 11:28 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Úplné prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 12:08 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Afinní prostory | Kubuondr | 23. 1. 2017 | 13:43 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Totální derivace | Kubuondr | 7. 10. 2017 | 18:50 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Derivace vyšších řádů | Kubuondr | 20. 1. 2017 | 10:50 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Lokální extrémy | Klinkjak | 9. 9. 2015 | 14:31 | kapitola14.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA3} \section{Souvislé prostory} \index{souvislost} \begin{define} Topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf souvislý}, právě když jeho jedinými obojetnými podmnožinami jsou $X$ a $\emptyset$. \end{define} \bigskip \begin{example} Příklad topologického prostoru, který není souvislý je množina X s více než dvěma prvky a s diskrétní topologií. Protože je každá podmnožina X obojetná. \end{example} \begin{remark} Prostor $X$ je souvislý, právě když ho nelze zapsat jako sjednocení dvou otevřených neprázdných disjunktních podmnožin. \end{remark} \bigskip \begin{theorem} Buď $A_\alpha$ systém souvislých množin takový, že každé 2 mají neprázdný průnik. Potom sjednocení $A=\bigcup A_\alpha$ je souvislá množina. \begin{proof} Buď $A=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom $A_\alpha=(B_1\cap A_\alpha)\cup(B_2\cap A_\alpha)$ a protože $B_\iota$ jsou v~$A$ otevřené, platí, že $(B_\iota\cap A_\alpha)=\vn{(B_\iota\cap A_\alpha)}^{A_\alpha}$. Protože $A_\alpha$ jsou souvislé, $A_\alpha$ musí být buď podmnožinou $B_1$ nebo $B_2$. Všechny $A_\alpha$ pak musí ležet buď v~$B_1$ nebo $B_2$, neboť každé 2 mají neprázdný průnik. Pak ale $B_1$ nebo $B_2$ je prázdná, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \bigskip \begin{theorem} Nechť $A\subset X$, $A\subset B\subset\uz{A}$. Pak je-li $A$ souvislá, jsou i $\uz A$ a $B$ souvislé. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \item \emph{ (sporem)} Buď $x\in A'$, $B=A\cup\{x\}$. Nechť $B=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^B$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Potom $A=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2)$. Platí, že $(B_\iota\cap A)=\vn{(B_\iota\cap A)}^{A}$, proto buď $A\subset B_1$ nebo $A\subset B_2$ $\implies$ buď $\uz{A}^B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $\uz{A}^B\subset\uz{B_2}^B$, $\implies$ buď $B\subset\uz{B_1}^B$ nebo $B\subset\uz{B_2}^B$, což je spor.\bigskip \item $B=\bigcup_{x\in B}(A\cup\{x\})$, tedy $B$ vzniklo sjednocením souvislých množin s~neprázdným průnikem. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \bigskip \begin{theorem} Jedinými souvislými množinami v~$\R$ jsou intervaly. \begin{proof} \begin{enumerate}[a)] \bigskip\item $A$ není interval $\implies$ $A$ není souvislá: Nechť tedy $A$ není interval, tj. platí, že \[ (\exists x_1,x_2\in A)(\exists c\in\R)(x_1<c<x_2\wedge c\not\in A). \] Buďte $B_1=A\cap(-\infty,c)$, $B_1=A\cap(c,+\infty)$, tedy $B_\iota=\vn{B_\iota}^A$. $A=B_1\cup B_2$ a přitom $B_1$ a $B_2$ jsou otevřené, neprázdné a disjunktní, tudíž $A$ není souvislá množina. \bigskip \item $A$ je interval $\implies$ $A$ je souvislá: Nechť $A=/\alpha,\beta/$ je libovolný interval, $B=\uz{B}^A=\vn{B}^A$, $B\not=\emptyset$ neprázdná obojetná podmnožina $A$. Dokážeme, že $B=A$. Buď $c\in B$, $b=\sup\{x\in\R~|~\left[ c,x\right] \subset B\}$. Předpokládejme, že $b<\beta$. Z~2. vlastnosti supréma vyplývá, že \[(\forall\epsilon>0)(\exists x\in \left( b-\epsilon,b\right] ) (\left[ c,x\right] \subset B),\] tedy v~libovolném okolí bodu $b$ leží bod z~$B$, z~čehož vyplývá, že $b\in\uz{B}^A=B$. Protože $b\in B$, z~otevřenosti $B$ vyplývá existence takového $\epsilon$, že platí $\left[ b-\epsilon,b+\epsilon\right] \subset B$. Současně ale $\left[ c,b\right] \subset B$, takže $\left[ c,b+\epsilon\right] \subset B$, což je spor s~1. vlastností supréma, tedy $b=\beta$. Analogicky se dokáže tvrzení pro dolní hranici intervalu a z~obou pak vyplývá, že nutně $A=B$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \clearpage \begin{theorem} Spojitý obraz souvislé množiny je souvislý. \begin{proof} Buď $f(X)=B_1\cup B_2$, $B_\iota=\vn{B_\iota}^{f(X)}$, $B_1\cap B_2=\emptyset$. Pak $X=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$. Množiny $f^{-1}(B_1)$ a $f^{-1}(B_2)$ jsou otevřené (to vyplývá ze spojitosti $f$) a disjunktní (to vyplývá z~jednoznačnosti obrazu), tedy vzor není souvislý, což je spor. \end{proof} \end{theorem} \bigskip \begin{theorem} Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé kompaktní množině infima, suprema a všeho mezi tím. \end{theorem} % chybí důkaz \index{svázanost} \index{komponenta souvislosti} \begin{define} Definujme na $X\times X$ relaci svázanosti: $x\sv y$, právě když existuje souvislá množina $A\subset X$ taková, že $x\in A$ a $y\in A$. Všechny třídy podle ekvivalence $x\sv y$ nazveme {\bf komponentami souvislosti}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Komponenta souvislosti bodu $x$ je největší souvislá množina obsahující $x$. \item Komponenta souvislosti bodu x je uzavřená množina v X. \end{enumerate} \end{remark} \bigskip \index{lokální souvislost} \begin{define} Řekneme, že prostor $X$ je {\bf lokálně souvislý}, právě když každé okolí má souvislé podokolí. \end{define} \begin{remark} Otevřené množiny v~lineárním prostoru jsou lokálně souvislé. \end{remark} \bigskip \index{dráha} \index{stopa dráhy} \begin{define} {\bf Dráhou v~topologickém prostoru} rozumíme každé spojité zobrazení kompaktního intervalu z~$\R$ do $X$. Množinu $[\phi]=\{\phi(x)~|~x\in\left[ \alpha, \beta\right] \}$ nazýváme {\bf stopa dráhy}. Jestliže $[\phi]\cap A\not=\emptyset$, říkáme, že dráha {\bf protíná} $A$. Jestliže dráha protíná jednobodovou množinu $\{x\}$, říkáme, že dráha {\bf prochází} bodem $x$. \bigskip \index{orientovaný součet drah} {\bf Orientovaný součet dvou drah}: Jestliže koncový bod jedné dráhy splývá s~počátečním bodem druhé dráhy ($\phi_1(\beta_1)=\phi_2(\alpha_2)$), pak \[ (\phi_1\dotp\phi_2)(t)=\phi(t)= \begin{cases} \phi_1(t) & \text{pro $t\in\left[ \alpha_1,\beta_1\right] $}\\ \phi_2( t+ \alpha_2 - \beta_1) & \text{pro $t\in\left[ \beta_1,\beta_1+\beta_2-\alpha_2\right] $} \end{cases} \] \bigskip \end{define} \begin{remark} Stopa dráhy je vždy souvislá. \end{remark} \begin{define} Opačně orientovanou drahou k~dráze $\phi$ je dráha $\dotm\phi(t)=\phi(-t)$, kde $t\in\left[ -\beta,-\alpha\right] $ \end{define} \begin{remark} $\phi_1\dotm\phi_2=\phi_1\dotp(\dotm\phi_2)$ za předpokladu, že dráhy mají stejný koncový bod. \end{remark} \bigskip \begin{theorem} Buď $A$ množina z~$X$, buď $\phi$ dráha spojující nějaký vnitřní a vnější bod z~$A$, tj. $[\phi]\cap\vn{A}\not=\emptyset \wedge[\phi]\cap\vn{(X\sm A)}\not=\emptyset$. Potom $[\phi]\cap\hr{A}\not=\emptyset$. \begin{proof} \emph{ (sporem)} Buď $B$ souvislá množina $(B\cap A\not=\emptyset\wedge B\cap \vn{(X\sm A)}\not=\emptyset)$ a předpokládejme, že $B\cap\hr{A}=\emptyset$. Pak ale $B=(B\cap\vn{A})\cup(B\cap\vn{(X\sm A)})$, tedy $B$ lze vyjádřit jako sjednocení dvou disjunktních otevřených množin, což je spor s~tím, že $B$ je souvislá. Důkaz věty pak dostáváme, pokud položíme $B=[\phi]$, neboť stopa dráhy je souvislá množina (spojitý obraz intervalu v $\R$ tj. souvislé množiny je souvislý). \end{proof} \end{theorem} \bigskip \index{lineární souvislost} \begin{define} $X$ je lineárně souvislá, právě když libovolné dva body z~$X$ lze spojit dráhou. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Lineárně souvislý prostor je souvislý, opačná implikace neplatí. \begin{proof} Libovolný bod $x\in X$ lze spojit s~ostatními body $X$ dráhou. Tyto dráhy mají neprázdný průnik a jejich sjednocením je prostor $X$. Tedy $X$ lze vyjádřit jako sjednocení množin s~neprázdným průnikem, takže $X$ je souvislý. \end{proof} \item Naopak to neplatí --- např. množina \[ \{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup \left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)~\right|~x\in\R\sm\{0\}\right\} \] je souvislá, ale není souvislá lineárně. Množiny $\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rm\}$ a $\{(x,\sin\frac1x)~|~x\in\Rp\}$ jsou souvislé (jsou to spojité obrazy intervalu), souvislé jsou tedy i jejich uzávěry $\{0\}\times\left[ -1,1\right] \cup\{\dots\}$. Sjednocení uzávěrů je souvislé, ale body $(x,\sin\frac1x)$ a $(y,\sin\frac1y)$ pro $x\in\Rm$ a $y\in\Rp$ nelze spojit dráhou. \end{enumerate} \end{remark} \bigskip \index{lokální lineární souvislost} \begin{define} Prostor $X$ je {\bf lokálně lineárně souvislý}, právě když každé okolí na $X$ má lineárně souvislé podokolí. \end{define} \bigskip \begin{theorem} Buď $X$ lokálně lineárně souvislý prostor. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item Je-li $X$ souvislý, pak je souvislý lineárně. \item Není-li $X$ souvislý, pak všechny komponenty $X$ jsou obojetné a lineárně souvislé. \end{enumerate}\bigskip \begin{proof} \begin{enumerate}[(I)] \item Zvolme bod $x\in X$ pevně, nechť $A_x=\{y~|~x\phi y\}$ množina všech bodů $y$, které lze spojit drahou s~$x$. Množina $A_x$ je neprázdná (obsahuje přinejmenším bod $x$). Dokážeme, že $A_x$ je obojetná: \begin{enumerate}[a)] \bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je otevřená: Buď $y\in A_x$. Pak existuje lineárně souvislé okolí $\H_y$. Pro libovolné $z\in\H_y$ platí, že $z\psi y\wedge y\phi x$, tedy $x(\phi\dotp\psi)z$, tedy $z$ lze spojit drahou s~$x$ a $z\in A_x$. Každý bod $y\in A_x$ leží v~$A_x$ i~s~okolím, tedy $A_x$ je otevřená. \bigskip\item Důkaz, že $A_x$ je uzavřená: Buď $y\not\in A_x$. Bod $y$ má lineárně souvislé okolí $\H_y$. Předpokládejme, že $\H_y\cap A_x\not=\emptyset$. Pak ale pro $z\in \H_y\cap A_x$ existují $\phi$ a $\psi$ takové, že $x\phi z\wedge z\psi y$, tedy $y\in A_x$, což je spor. Tedy $\H_y\cap A_x=\emptyset$ a $A_x$ je uzavřená. \end{enumerate} Prostor $X$ je souvislý, tedy jedinými jeho obojetnými podmnožinami jsou $X$ a $\emptyset$. Protože $A_x$ je obojetná a neprázdná, je $A_x=X$, takže $X$ je lineárně souvislý. \bigskip\item \begin{enumerate}[a)] \bigskip\item Každá komponenta je souvislá, podle předchozích úvah je souvislá lineárně. \bigskip\item Pro každý bod $x\in A$ platí, že $A$ je největší souvislá množina obsahující bod $x$, tedy $A$ je uzavřená. \bigskip\item Každý bod $x\in A$ má lineárně souvislé okolí, které je podmnožinou $A$, takže $A$ je otevřená. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \index{oblast} \begin{define} V~topologickém prostoru se {\bf oblastí} rozumí otevřená a souvislá množina. \end{define} \begin{remark} V~lineárním prostoru je každá oblast lokálně lineárně souvislá a každé 2 body v~ní lze spojit lomenou čarou tvořenou konečně mnoha \uv{segmenty.} \end{remark} \begin{define} Omezená oblast $D\subset\R^2$ se nazývá {\bf jednoduše souvislá}, právě když $D$ i $\R^2\sm D$ jsou souvislé množiny. \end{define} \begin{remark} Jednoduše souvislá oblast je tedy množina \uv {bez děr}. \end{remark}