Aktuální verze z 7. 6. 2011, 11:44

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01VYMA}
 
\section{Fourierovy řady}		% KAPITOLA 1
 
	\subsection{Opakování}			% Opakování
	\begin{description}
		\item[Skalární součin] \hfill \\												% skalární součin %
		Nechť $\mathcal{V}$ je vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $\langle.|.\rangle : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathbb{C}$ nazveme skalárním součinem, pokud splňuje axiomy:
		\begin{enumerate}
			\item levá linearita: $\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \mathcal{V} \wedge \alpha \in \mathbb{C} : \langle \alpha \vec{x} + \vec{y}|\vec{z}\rangle = \alpha \langle \vec{x}|\vec{z}\rangle + \langle \vec{y}|\vec{z}\rangle$
			\item hermiticita: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : \langle \vec{x}|\vec{y}\rangle = \overline{\langle \vec{y}|\vec{x}\rangle}$
			\item pozitivní definitnost: $\forall \vec{x} \in \mathcal{V} : \langle \vec{x}|\vec{x}\rangle \geq 0 \wedge \langle \vec{x}|\vec{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}$
		\end{enumerate}
		Dvojici $\{\mathcal{V},\langle.|.\rangle \}$ nazýváme pre-Hilbertovým prostorem.
 
		\item[Norma] \hfill \\															% norma %
		Nechť $\mathcal{V}$ je vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $||.||: \mathcal{V} \to \mathbb{R}$ nazveme normou, pokud splňuje axiomy:
		\begin{enumerate}
			\item nulovost: $||\vec{x}||=0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{0}$
			\item homogenita: $\forall x \in \mathcal{V} \wedge \lambda \in \mathbb{C} : ||\lambda \vec{x}|| = |\lambda| \ ||\vec{x}||$
			\item trojúhelníkouvá nerovnost: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : ||\vec{x}+\vec{y}|| \leq ||\vec{x}|| + ||\vec{y}||$
		\end{enumerate}
		Dvojici $\{\mathcal{V},||.||\}$ nazýváme lineárním normovaným prostorem. Na prostorech se skalárním součinem $||\vec{x}||:=\sqrt{\langle \vec{x}|\vec{x}\rangle}$. Připomeňme ještě Schwarz-Cauchy-Buňakovského nerovnost
		\begin{equation}
			|\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle| \leq ||\vec{x}||\cdot||\vec{y}||
		\end{equation}
 
 
		\item[Metrika] \hfill \\														% metrika %
		Zobrazení $\varrho: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{R}$ nazveme metrikou, pokud splňuje axiomy:
		\begin{enumerate}
			\item nulovost: $\varrho(\vec{x},\vec{y})=0 \Leftrightarrow \vec{x} = \vec{y}$
			\item symetrie: $\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathcal{V} : \varrho(\vec{x},\vec{y}) = \varrho(\vec{y},\vec{x})$
			\item trojúhelníkouvá nerovnost: $\forall \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \mathcal{V} : \varrho(\vec{x},\vec{y}) \leq \varrho(\vec{x},\vec{z}) + \varrho(\vec{z},\vec{y})$
		\end{enumerate}
		Dvojici $\{\mathcal{V},\varrho\}$ nazýváme metrickým prostorem. Na prostorech s normou platí $||\vec{x}-\vec{y}||=:\varrho(\vec{x},\vec{y})$.
 
		\item[Limita ve $\mathcal{V}$] \hfill \\
		Posloupnost vektorů $(\vec{x_n})$ z $\mathcal{V}$ má limitu $\vec{x} \in \mathcal{V} \Leftrightarrow$
		\begin{equation*}
			(\forall \varepsilon > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n > n_0): \varrho(\vec{x_n},\vec{x})<\varepsilon
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\lim_{n\to+\infty} \varrho(\vec{x_n},\vec{x})=0
		\end{equation*}
 
	\end{description}
 
		\subsubsection{Věta}
		Pokud $(\vec{x_n}) \to \vec{x}$ a $(\vec{y_n}) \to \vec{y}$ ve $\mathcal{V}$, potom
		\begin{align*}
			\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle & \to \langle \vec{x}|\vec{y}\rangle \\
			\lim_{n \to \infty} \langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle & = \langle \lim_{n \to \infty} \vec{x_n}|\lim_{n \to \infty} \vec{y_n}\rangle
		\end{align*}
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item budeme upravovat následující výraz (chceme aby šel k nule)
			\begin{equation*}
				|\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|
			\end{equation*}
			\item nejprve přičteme a odečteme 1, tím dostaneme
			\begin{equation*}
				=|\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x_n}|\vec{y}\rangle+\langle \vec{x_n}|\vec{y}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|
			\end{equation*}
			\item použijeme trojúhelníkovou nerovnost
			\begin{equation*}
				\leq |\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}-\vec{y}\rangle|+|\langle \vec{x_n}-\vec{x}|\vec{y}\rangle|
			\end{equation*}
			\item nakonec upravíme pomocí Schwarz-Cauchy-Buňakovského nerovnosti
			\begin{equation} \label{eq:posledni}
				\leq ||\vec{x_n}||\cdot||\vec{y_n}-\vec{y}||+||\vec{x_n}-\vec{x}||\cdot||\vec{y}||
			\end{equation}
			\item z předpokladů víme, že
			\begin{equation*}
				||\vec{y_n}-\vec{y}|| \ \mathrm{a} \ ||\vec{x_n}-\vec{x}|| \to 0 \qquad ||\vec{y}||= \ \mathrm{konst.}
			\end{equation*}
			dále platí podle nějaké věty
			\begin{equation*}
				\vec{x_n} \to \vec{x} \implies ||\vec{x_n}|| \ \mathrm{omezená}
			\end{equation*}
			\item poslední nerovnost \eqref{eq:posledni} tedy jde k nule a tudíž platí
			\begin{equation*}
				\lim_{n \to \infty} |\langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle-\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle|=0 \iff \lim_{n \to \infty} \langle \vec{x_n}|\vec{y_n}\rangle=\langle \vec{x}|\vec{y}\rangle
			\end{equation*}
		\end{itemize}
 
	\subsection{Obecné Fourierovy řady}			% obecné Fourierky
 
		%
		\subsubsection{Definice - Ortogonální systém}
		Systém vektorů $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ z $\mathcal{V}$ je ortogonální
		\begin{equation*}
			\iff \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = 0 \ \mathrm{ pro } \ i \neq j
		\end{equation*}
		respektive ortonormální
		\begin{equation*}
			\iff \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \delta_{ij}
		\end{equation*}
		Pokud je systém vektorů $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ ortonormální, $k \leq$ dim$\mathcal{V}$. Pro $k=$ dim$\mathcal{V}$ tvoří soubor $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ ortonormální bázi prostoru $\mathcal{V}$.
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $\{\vec{x_i}\}^k_{i=1}$ je ortogonální báze $\mathcal{V}$ ($k=$ dim$\mathcal{V}$) a $\vec{x} \in \mathcal{V}$. Potom existují koeficienty $(\alpha_1,\dots,\alpha_k) \in \mathbb{C}$ takové, že
		\begin{equation} \label{eq:vektor_z_baze}
			\vec{x}=\sum^k_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
		\end{equation}
 
		\emph{Jak najít koeficienty $\alpha_i$?}
		\begin{itemize}
			\item vztah \eqref{eq:vektor_z_baze} vynásobíme zprava vektorem $\vec{x_j}$
			\begin{equation*}
				\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = \langle \sum^k_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \sum^k_{i=1} \alpha_i \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle
			\end{equation*}
			\item v posledním skalárním součinu jsou všechny členy pro $i \neq j$ nulové, zbyde nám
			\begin{equation*}
				\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j \langle \vec{x_j}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j ||\vec{x_j}||^2
			\end{equation*}
			\item dostáváme tedy vztah pro koeficient $\alpha_j$ (v případě OG souboru)
			\begin{equation}
				\alpha_j=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
			\end{equation}
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Předchozí větu se pokusíme zobecnit na prostor $\mathcal{H}$ se skalárním součinem nekonečné dimenze. Pojem ortogonální báze je nahrazen pojmem {\bf úplný soubor ortogonálních vektorů} $\{\vec{x_i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ a platí pro něj
		\begin{itemize}
			\item $\langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle=0$ pro $i \neq j$
			\item každý vektor z $\mathcal{H}$ lze nakombinovat ze systému $\{\vec{x_i}\}_{i\in \mathbb{N}}$
				\begin{equation} \label{eq:uplny_soubor}
					\vec{x}=\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
				\end{equation}
				přesněji: neexistuje $\vec{x}\neq\vec{0}$ takový, že $\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle = 0 \ \forall i \in \mathbb{N}$.
		\end{itemize}
		%
		Máme ortogonální systém $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ vektorů v $\mathcal{H}$. Každý vektor $\vec{x} \in \mathcal{H}$ lze tedy nakombinovat z OG systému podle \eqref{eq:uplny_soubor}. Snažíme se najít koeficienty $\alpha_j$
		\begin{align*}
			\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle & = \langle \sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \langle \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle \\
			& = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} \langle \vec{x_i}|\vec{x_j}\rangle = \alpha_j ||x_j||^2 \\
			\implies \alpha_j & = \frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Definice - Fourierova řada}
		Koeficienty $\alpha_j=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}$ se nazývají Fourierovy koeficienty prvku $\vec{x}$ vzhledem k ortogonálnímu systému $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. Řada $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ se nazývá Fourierova řada prvku $\vec{x}$ vzhledem k ortogonálnímu systému $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. $S_n(\vec{x})=\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ se nazývá $n$-tý částečný součet Fourierovy řady.
 
		%
		\subsubsection{Věta - o nejlepší aproximaci}
		Nechť $T_n(\vec{x})=\sum^n_{i=1} c_i \vec{x_i}$, kde $c_i, i = \widehat{n}$ jsou libovolná čísla. Pak
		\begin{enumerate}
			\item $||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 = ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$
			\item $||\vec{x}-T_n||^2 = ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 + \sum^n_{i=1} |\alpha_i-c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$
		\end{enumerate}
		Důsledek: $||\vec{x}-T_n||^2 \geq ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2$, rovnost nastává právě tehdy, když $\alpha_i=c_i \ \forall i$
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz}
		\begin{itemize}
			\item 1. plyne ze 2. pro $c_i=0 \ \forall i$
			\item dokážeme 2.
			\begin{align*}
				||\vec{x}-T_n||^2 & = \underset{+S_n(\vec{x}) - S_n(\vec{x})}{\langle \vec{x}-T_n|\vec{x}-T_n \rangle} \\
				& = ||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 + \underbrace{\langle S_n(\vec{x})-T_n|\vec{x}-S_n(\vec{x}) \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{x}-T_n|S_n(\vec{x})-T_n \rangle}_{=0} + ||S_n(\vec{x})-T_n||^2
			\end{align*}
			\item tím je důkaz dokončen
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Důsledky věty o aproximaci}
		\begin{enumerate}
			\item $||\vec{x}-S_n(\vec{x})||^2 \geq 0 \implies ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \geq 0 \implies ||\vec{x}||^2 \geq \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \quad / \lim_{n \to \infty}$ \\
			Dostáváme Besselovu nerovnost
			\begin{equation} \label{eq:bessel}
				\sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \leq ||\vec{x}||^2
			\end{equation}
 
			\item $\sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$ konverguje (řada s kladnými členy, částečné součty má omezené). Plyne z toho konvergence řady $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ v $\mathcal{H}$? Na úplných prostorech ano.
 
			\subsubsection{Bolzano-Cauchyho podmínka}
			\begin{equation*}
				(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}): (\forall n > n_0)(\forall p \in \mathbb{N}): ||\sum^{n+p}_{i=n+1} \alpha_i \vec{x_i}|| < \varepsilon
			\end{equation*}
			Na úplných prostorech plyne z této podmínky konvergence.
 
			\subsubsection{Věta}
			Nechť $\mathcal{H}$ je úplný prostor, dim$\mathcal{H}=\infty$, $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$ a $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty prostoru $\mathcal{H}$ vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$. Potom řada
			\begin{equation*}
				\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
			\end{equation*}
			konverguje v prostoru $\mathcal{H}$.
 
			\item konverguje $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ vždy k $\vec{x}$?
			\begin{align} \label{eq:Parseval}
				S_n(\vec{x}) & = \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} \xrightarrow[\text{v } \mathcal{H}]{\text{?}} \vec{x}\nonumber \\ 
				\iff & \lim_{n \to \infty} ||\vec{x}-\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}||^2 = 0\nonumber \\ 
				\iff & ||\vec{x}||^2 - \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 \to 0\nonumber \\ 
				\iff & \lim_{n \to \infty} \sum^n_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 = ||\vec{x}||^2\nonumber \\ 
				\iff & \sum^{\infty}_{i=1} |\alpha_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 = ||\vec{x}||^2
			\end{align}
			Poslední rovnost se nazývá Parsevalova (jde o rovnost v Besselově nerovnosti \eqref{eq:bessel}) a platí pokud suma $\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}$ konverguje k $\vec{x}$
		\end{enumerate}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $\mathcal{H}$ je Hilbertův prostor, dim$\mathcal{H}=\infty$, $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$, $\vec{x} \in \mathcal{H}$. Potom
		\begin{equation*}
			S_n(\vec{x}) \xrightarrow[]{n \to \infty} \vec{x} \in \mathcal{H}
		\end{equation*}
		$\iff$ platí Parsevalova rovnost \eqref{eq:Parseval}.
 
		%
		\subsubsection{Věta - Riesz-Fisherova}
		Nechť číselná řada $\sum^{\infty}_{i=1} |c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2$ konverguje v $\mathbb{R}$, kde $c_i \in \mathbb{R}$ jsou libovolná čísla a $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je ortogonální systém na $\mathcal{H}$. Potom řada $\sum^{\infty}_{i=1} c_i \vec{x_i}$ konverguje v $\mathcal{H}$ a je Fourierovou řadou svého součtu.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item platí Bolzano-Cauchyho podmínka
			\begin{equation*}
				(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}): (\forall n > n_0)(\forall p \in \mathbb{N}): ||\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i}|| < \varepsilon
			\end{equation*}
 
			\item upravíme poslední sumu pomocí Pythagorovy věty
			\begin{equation*}
				||\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i}||^2 = \sum^{n+p}_{i=n+1} |c_i|^2 ||\vec{x_i}||^2 < \varepsilon
			\end{equation*}
 
			\item výsledná suma je úsek konvergentní řady, proto také konverguje.
			\item z toho plyne, že konverguje i suma
			\begin{equation*}
				\sum^{n+p}_{i=n+1} c_i \vec{x_i} = \vec{x}
			\end{equation*}
 
			\item a koeficienty $c_i$ jsou Fourierovy koeficienty
			\begin{equation*}
				c_i=\frac{\langle \vec{x}|\vec{x_j}\rangle}{||\vec{x_j}||^2}
			\end{equation*}
		\end{itemize}
 
		\hfill \\
		\emph{Otázka:}
		Konverguje Fourierova řada prvku $\vec{x}$ vždy k $\vec{x}$? Obecně ne. Pro úplné ortogonální systémy ano. Připomeňme, že ortogonální systém je úplný právě tehdy, když jediný vektor kolmý na všechny prvky $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je vektor nulový.
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť platí
		\begin{enumerate}
			\item $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém
			\item $S_n(\vec{x}) \xrightarrow[\text{v } \mathcal{H}]{n \to \infty} \vec{x} \quad \forall \vec{x} \in \mathcal{H}$
			\item $\forall \vec{x} \in \mathcal{H}$ platí Parsevalova rovnost \eqref{eq:Parseval}.
		\end{enumerate}
		Pak jsou tyto podmínky navzájem ekvivalentní.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item nejprve dokážeme implikaci 1. $\implies$ 2. sporem
			\item Nechť $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém v $\mathcal{H}$ a existuje $\vec{x} \in \mathcal{H}$ takové, že
			\begin{equation*}
				\lim_{n \to \infty} S_n(\vec{x})=\vec{y} \neq \vec{x}
			\end{equation*}
			\begin{equation*}
				S_n(\vec{x}) = \sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}
			\end{equation*}
			kde $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty $\vec{x}$.
			\begin{equation*}
				\sum^{\infty}_{i=1} \alpha_i \vec{x_i}=\vec{y}
			\end{equation*}
			kde $\alpha_i$ jsou Fourierovy koeficienty $\vec{y}$.
 
			\item vyšetřujeme vektor $\vec{y}-\vec{x} \in \mathcal{H}$, který má všechny Fourierovy koeficienty vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ rovny 0.
 
			\item potom ale rovnost
			\begin{equation*}
				\langle \vec{y}-\vec{x}|\vec{x_i}\rangle = 0 \ \forall i \in \mathbb{N}
			\end{equation*}
			implikuje, že $\vec{x}=\vec{y}$ což je spor.
 
			\item nyní dokážeme implikaci 2. $\implies$ 1. opět sporem
			\item předpokládejme, že platí 2. a neplatí 1., tedy že
			\begin{equation*}
				(\exists \vec{x} \in \mathcal{H})(\forall i \in \mathbb{N}): \langle \vec{x}|\vec{x_i} \rangle = 0 \wedge \vec{x} \neq \vec{0}
			\end{equation*}
 
			\item Fourierovy koeficienty pro $\vec{x} \neq \vec{0}$ vzhledem k $\{\vec{x_i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ jsou
			\begin{equation*}
				\alpha_i=0 \ \forall i \in \mathbb{N}
			\end{equation*}
			protože $\langle \vec{x}|\vec{x_i} \rangle = 0$.
 
			\item z toho vyplývá
			\begin{equation*}
				\sum^n_{i=1} \alpha_i \vec{x_i} = \vec{x} =	\vec{0}
			\end{equation*}
			což je spor s předpokladem, že $\vec{x} \neq \vec{0}$
		\end{itemize}
 
	%
	\subsection{Prostor $\mathcal{L}^2(a,b)$}		% prostory L^2 (a,b)
 
		\subsubsection{Definice}
		\begin{equation*}
			\mathrm{Prostor} \ \mathcal{L}^2(a,b):=\{f:(a,b) \to \mathbb{R} \ | \int^b_a |f(x)|^2\ud x < +\infty \}
		\end{equation*}
		Jako vlastní podmnožinu obsahuje všechny funkce spojité nebo po částech spojité na $\langle a,b\rangle$. \\
		Platí: 
		\begin{itemize}
			\item $f,g \in \mathcal{L}^2(a,b) \implies c_1f+c_2g \in \mathcal{L}^2(a,b)$
			\item existují $\int_a^b f(x)\cdot g(x)\ud x$ a $\int_a^b |f(x)|\cdot|g(x)| \ud x$
			\item $\langle f(x)|g(x) \rangle := \int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} \ud x$
			\item $||f(x)||^2 := \langle f(x)|f(x) \rangle$
			\item $\varrho^2(f(x),g(x)):=\int_a^b |f(x)-g(x)|^2 \ud x$
		\end{itemize}
		Poslední tři definice ovšem nesplňují některé axiomy, například nulovost normy. Aby byly axiomy splněny, je třeba definovat nulovou funkci jako takovou, jejíž integrál je roven nule. Dále v prostoru $\mathcal{L}^2(a,b)$ prohlašujeme za stejné funkce takové, pro které
		\begin{equation*}
			\int_a^b |f(x)-g(x)|^2 \ud x = 0
		\end{equation*}
 
		%
		\subsubsection{Příklad}
		$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ na (0,1)
		\begin{equation}
			\int_0^1 \frac{1}{x} \ud x = [\ln x]_0^1 = +\infty \implies f(x) \notin \mathcal{L}^2(0,1)
		\end{equation}
 
		%
		\subsubsection{Příklad}
		$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ na (0,1)
		\begin{equation}
			\int_0^1 \frac{1}{x^{2/3}} \ud x = [3x^{1/3}]_0^1 = 3 \implies f(x) \in \mathcal{L}^2(0,1)
		\end{equation}
 
		%
		\subsubsection{Věta - konvergence podle normy (středu)}
		Řekneme, že funkční posloupnost $f_n(x)$ konverguje k funkci $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ podle středu (normy) právě tehdy, když
		\begin{equation*}
			\int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2 \ud x \xrightarrow[]{n \to \infty} 0
		\end{equation*}
		ekvivalentně lze psát
		\begin{equation*}
			(\forall \varepsilon >0)(\exists n_0 \in \mathbb{N}):(\forall n > n_0) \implies \int_a^b|f_n(x)-f(x)|^2 \ud x < \varepsilon
		\end{equation*}
		\begin{equation*}
			\lim_{n \to \infty} ||f_n(x)-f(x)|| = 0
		\end{equation*}
		Z konvergence podle středu {\bf neplyne} bodová konvergence a naopak. Funkci $f(x)$ lze změnit v konečném počtu bodů $x \in (a,b)$ a při tom
		\begin{equation*}
			f_n(x) \xrightarrow[]{s}f(x) \wedge f_n(x) \xrightarrow[]{s} \tilde{f}(x) \wedge (\exists c \in (a,b)): f(c)\neq\tilde{f}(c)
		\end{equation*} 
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť posloupnost funkcí $f_n(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ konverguje k funkci $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b)$ stejnoměrně na $(a,b)$. Pak $f_n(x)$ konverguje k $f(x)$ podle středu na $(a,b)$.
 
		%
		\subsubsection{Definice - ortogonální systém funkcí}
		Ortogonální systém funkcí $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ na $\mathcal{L}^2(a,b)$ je takový, pro který platí
		\begin{equation*}
			\langle \varphi_j(x)|\varphi_k(x)\rangle = \int_a^b \varphi_j(x) \cdot \overline{\varphi_k(x)} \ud x = 0 \qquad \forall j \neq k
		\end{equation*}
		Ortonormální systém funkcí $(\psi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ na $\mathcal{L}^2(a,b)$ je potom jednoduše
		\begin{equation*}
			\psi_k:=\frac{\varphi_k}{||\varphi_k||}
		\end{equation*}
		Pokud v $\mathcal{L}^2(a,b)$ budeme mít  nějaký ortogonální systém, budeme moci vyšetřovat konvergenci Fourierových řad
		\begin{equation*}
			f(x) \in \mathcal{L}^2(a,b) \to \sum_{k=1}^{\infty} \alpha_k \varphi_k(x) \quad \mathrm{kde} \ \alpha_k = \frac{\langle f(x) | \varphi_k(x) \rangle}{||\varphi_k(x)||^2}
		\end{equation*}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ je úplný ortogonální systém v $\mathcal{L}^2(a,b)$. Pak Fourierova řada funkce $f(x)$ vzhledem k systému $(\varphi_k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ konverguje k $f(x)$ podle středu.
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		Předchozí věta mluví pouze o konvergenci podle středu, obecně řada nekonverguje bodově, natož stejnoměrně.
 
		%
		\subsubsection{Věta - trigonometrický systém}
		Systém funkcí $1, \sin(x), \cos(x), \sin(2x), \cos(2x), \dots$ je v $\mathcal{L}^2(-\pi,\pi)$ ortogonální a úplný.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz ortogonality:}
		\begin{align*}
			\int_{-\pi}^{\pi} \sin(px) \cdot \cos(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\sin(px+qx)+\sin(px-qx))\ud x = 0 \\
			\int_{-\pi}^{\pi} \sin(px) \cdot \sin(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(px-qx)-\cos(px+qx))\ud x = 0 \\
			\int_{-\pi}^{\pi} \cos(px) \cdot \cos(qx) \ud x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(px+qx)+\cos(px-qx))\ud x = 0 \\
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $L>0$, $a \in \mathbb{R}$. Potom systém funkcí
		\begin{equation*}
			\{1\} \cup \left\{\sin(\frac{2\pi nx}{L})\right\}_{n=1}^{\infty} \cup \left\{\cos(\frac{2\pi nx}{L})\right\}_{n=1}^{\infty}
		\end{equation*}
		je ortogonální a úplný v $\mathcal{L}^2(a,a+L)$.
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, kde $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Řada
		\begin{equation} \label{eq:f_rada}
			\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(\frac{2\pi nx}{L})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{L}) \right)
		\end{equation}
		je Fourierova řada funkce $f(x)$, kde
		\begin{align*}
			a_n & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\cdot \cos(\frac{2\pi nx}{L})\ud x \\
			b_n & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\cdot \sin(\frac{2\pi nx}{L})\ud x \\
			a_0 & =\frac{2}{L}\int_a^{a+L} f(x)\ud x
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		Speciální případ $a=-\pi$, $L=2\pi$
		\begin{align*}
			\frac{a_0}{2} & + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx) \right) \\
			a_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \cos(nx)\ud x \\
			b_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot \sin(nx)\ud x \\
			a_0 & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\ud x
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		\begin{align*}
			\int_a^{a+L} \cos(\frac{2\pi nx}{L})\ud x =\int_a^{a+L} \sin(\frac{2\pi nx}{L})\ud x= \frac{L}{2} \\
			\int_a^{a+L} 1\ud x = L
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Věta - Besselova nerovnost pro trigonometrickou řadu}
		Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Nechť $f(x)$ má na $(a,a+L)$ Fourierovu řadu. Potom platí $\forall n \in \mathbb{N}$
		\begin{equation} \label{eq:bessel2}
			\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n ( a_k^2 + b_k^2 ) \leq \frac{2}{L}\int_a^{a+L} f^2(x)\ud x
		\end{equation}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Protože trigonometrický systém je úplný v $\mathcal{L}^2(a,a+L)$, platí Parsevalova rovnost
		\begin{equation} \label{eq:parseval2}
			\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} ( a_k^2 + b_k^2 ) = \frac{2}{L}\int_a^{a+L} f^2(x)\ud x
		\end{equation}
		pro každou funkci $f(x)$ z prostoru $\mathcal{L}^2(a,b)$.
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $f(x) \in \mathcal{L}^2(a,a+L)$, $a \in \mathbb{R}$, $L>0$. Potom trigonometrická Fourierova řada funkce $f(x)$ konverguje k $f(x)$ podle středu na $(a,a+L)$.
 
		%
	\subsection{Konvergence Fourierových řad}			% konvergence Fourierových řad
 
		\subsubsection{Poznámka}
		Konverguje-li řada bodově, její součet je funkce $L$-periodocká. Jinak: máme funkci $f(x)$ definovanou na $(a,a+L)$, najdeme Fourierovy koeficienty $a_0, a_n, b_n$, sestavíme Fourierovu řadu \eqref{eq:f_rada}, která je $L$-periodická $\implies$ nezávisí na chování funkce $f(x)$ mimo interval $(a,a+L)$.
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Normalizované periodické prodloužení funkce $f(x)$ definované na $\langle a,a+L)$ lze definovat pro funkce, které mají v každém bodě $x \in \langle a,a+L\rangle$ konečné jednostranné limity
		\begin{equation*}
			\lim_{t \to x^{\pm}} f(t) \qquad \lim_{t \to a^+} f(t) \qquad \lim_{t \to a+L^-} f(t)
		\end{equation*}
		Potom pro každé $x \in (-\infty,+\infty)$ definuji
		\begin{align*}
			\overline{f}(x) & =\frac{1}{2} \left[ \lim_{t \to x^+} f(t) + \lim_{t \to x^-} f(t) \right] \quad \mathrm{pro} \ x \in (a,a+L) \\
			& = \frac{1}{2} \left[ \lim_{t \to a^+} f(t) + \lim_{t \to a+L^-} f(t) \right] \quad \mathrm{pro} \ x =a \\
			& = f(x+kL) \quad k \in \mathbb{Z} \quad \mathrm{pro} \ x \notin \langle a,a+L)
		\end{align*}
		V každém bodě $x \in (a,a+L)$, kde je funkce $f(x)$ spojitá, platí $\overline{f}(x)=f(x)$. Pokud je $f(x)$ v bodě $x$ nespojitá, pak se jedná o nespojitost maximálně 1. druhu (odstranitelnou nebo konečný skok) a hodnotu $\overline{f}(x)$ pokládáme rovnou aritmetickému průměru limit zleva a zprava.
 
		Pro každou funkci $f(x)$ po částech spojitou na $(a,a+L)$ lze vytvořit její normalizované periodické prodloužení.
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Funkce $f(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,b\rangle$, má-li v $\langle a,b\rangle$ nejvýše konečný počet bodů nespojitosti -- buď odstranitelné nebo konečné skoky. Takové funkce jsou vždy omezené a mají v každém bodě konečné jednostranné limity.
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Fourierova řada funkce $\overline{f}(x)$ pro interval $\langle a,a+L\rangle$ se shoduje s trigonometrickou Fourierovou řadou funkce $f(x)$ pro $\langle a,a+L\rangle$.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item funkce $f(x)$ je po částech spojitá.
			\item $\implies f(x)$ a $\overline{f}(x)$ se na $\langle a,a+L\rangle$ liší jen v konečném počtu bodů.
			\item $\implies$ integrály pro koeficienty jsou stejné
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Věta - o bodové konvergenci Fourierových řad}
		Nechť $f(x)$ je definovaná na $\langle a,a+L\rangle$ a nechť $f(x)$ a $f'(x)$ jsou po částech spojité na $\langle a,a+L\rangle$, řada \eqref{eq:f_rada} je Fourierova řada funkce $f(x)$ pro interval $\langle a,a+L\rangle$. Potom řada konverguje bodově na $\mathbb{R}$ k limitní funkci $\overline{f}(x)$
 
		%
		\subsubsection{Věta - o stejnoměrné konvergenci}
		Nechť $f(x)$ je spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, její derivace $f'(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, $f(a)=f(a+L)$. Potom Fourierova řada funkce $f(x)$ konverguje stejnoměrně na $\mathbb{R}$ k funkci $\overline{f}(x)$.
 
		%
		\subsubsection{Věta - o lokálně stejnoměrné konvergenci}
		Nechť $f(x)$ je po částech spojitá i se svojí první derivací $f'(x)$ na $\langle a,a+L\rangle$. Potom Fourierova řada konverguje stejnoměrně k funkci $\overline{f}(x)$ na každém uzavřeném podintervalu intervalu $(a,a+L)$, ve kterém funkce $f(x)$ nemá nespojitosti.
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Řekneme, že funkci $f(x)$ lze rozvinout do trigonometrické řady, pokud existuje
		\begin{equation*}
			\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos(\frac{2\pi nx}{L})+b_n\sin(\frac{2\pi nx}{L}) \right)
		\end{equation*}
		jejíž součet $s(x)=f(x) \ \forall x \in \mathbb{R}$.
 
		%
		\subsubsection{Věta - o rozvoji funkce do řady}
		Nechť funkce $f(x)$ splňuje:
		\begin{enumerate}
			\item $f(x)$ je definovaná na $\mathbb{R}$ a $L$-periodická ($(\exists L >0):(\forall x \in \mathbb{R}) \implies f(x+L)=f(x)$)
			\item $f(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$, $a \in \mathbb{R}$, pro každý bod nespojitosti $x_0$ funkce $f(x)$ platí
			\begin{equation*}
				f(x_0)= \frac{1}{2} \left[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) + \lim_{x \to x_0^-} f(x) \right]
			\end{equation*}
			\item $f'(x)$ je po částech spojitá na $\langle a,a+L\rangle$.
		\end{enumerate}
		Potom funkci $f(x)$ lze rozvinout do trigonometrické řady na $\mathbb{R}$, za kterou lze volit Fourierovu trigonometrickou řadu funkce $f(x)$ pro $(a,a+L)$.
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		Do trigonometrické řady lze rozvinout daleko víc funkcí než do mocninné řady.